사원수 벡터 공간 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''사원수 벡터 공간'''({{llang|en|quaternionic vector space}})는 [[사원수]] 대수 <math>\mathbb H</math> 위의 [[가군]]이다.

== 정의 ==
'''사원수 벡터 공간'''은 [[환론]]에서의 [[가군]]의 개념으로 직접적으로 정의할 수도 있고, 대신 추가 구조를 갖춘 실수 또는 복소수 벡터 공간으로 정의할 수도 있다. 이 세 가지 정의는 서로 동치이다.

=== 사원수 대수의 가군 ===
사원수 대수 <math>\mathbb H</math>는 노름을 갖춘 [[나눗셈환]]이며, 따라서 그 위의 [[가군]]들은 모두 [[자유 가군]]이다. 또한, <math>\mathbb H</math>는 비가환환이지만 사원수 켤레 연산
:<math>\bar{}\colon\mathbb H\to\mathbb H</math>
:<math>\bar{}\colon a+ib+jc+kd\mapsto a-ib-jc-kd</math>
아래 스스로의 [[반대환]]과 표준적으로 동형이다.
:<math>\mathbb H\cong\mathbb H^{\operatorname{op}}</math>
따라서, <math>\mathbb H</math> 위의 [[왼쪽 가군]]과 [[오른쪽 가군]]은 표준적으로 [[일대일 대응]]하며, 왼쪽 · 오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다.

사원수 대수 <math>\mathbb H</math> 위의 (자유) 가군을 '''사원수 벡터 공간'''이라고 한다.

=== 복소수 벡터 공간 위의 사원수 구조 ===
<math>2n</math> 차원 복소수 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 '''사원수 구조'''는 다음 조건을 만족시키는 <math>\mathbb C</math>-반선형 변환 <math>K\colon V\to V</math>이다.
:<math>K^2=-1</math>
사원수 구조를 갖춘 <math>2n</math> 차원 복소수 벡터 공간을 <math>n</math> 차원의 '''사원수 벡터 공간'''이라고 한다.

=== 실수 벡터 공간 위의 사원수 구조 ===
<math>4n</math> 차원 실수 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 '''사원수 구조''' <math>(I,J,K)</math>는 다음 조건을 만족시키는, 세 개의 <math>\mathbb R</math>-[[선형 변환]]
:<math>I,J,K\colon V\to V</math>
로 구성된다.
:<math>I^2=J^2=K^2=IJK=-1</math>
즉, <math>(I,J,K)</math>는 <math>-1</math>을 보존하는 [[군 준동형]]
:<math>\phi\colon Q\to\operatorname{GL}(V;\mathbb R)</math>
:<math>\phi\colon-1\mapsto-\operatorname{id}_V</math>
를 정의한다. 여기서 <math>Q</math>는 [[사원수군]]이다.

사원수 구조를 갖춘 <math>2n</math> 차원 실수 벡터 공간을 <math>n</math> 차원의 '''사원수 벡터 공간'''이라고 한다.

=== 사원수 선형 변환 ===
사원수 벡터 공간 <math>V</math>가 주어졌을 때, <math>V</math> 위의 '''사원수 선형 변환''' <math>T\colon V\to V</math>는 <math>\mathbb H</math> 위의 가군으로서의 준동형이다. 이들은 사원수 일반 선형군 <math>\operatorname{GL}(V;\mathbb H)</math>를 이루며, <math>V</math>가 유한 차원일 경우 그 원소는 사원수 행렬들로 생각할 수 있다.

=== 사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조 ===
<math>n</math>차원 복소수 벡터 공간 <math>V</math> 위의 실수 구조는 <math>C^2=1</math>인 반선형 변환 <math>C\colon V\to V</math>에 의하여 주어진다. 이 경우 <math>C</math>는 각 성분의 복소수 켤레 연산에 해당한다. 마찬가지로, 사원수 벡터 공간 위의 '''복소수 구조'''({{llang|en|complex structure}})는 <math>C^2=1</math>인 반선형 변환으로서 주어진다.

== 예 ==
복소수 벡터 공간 <math>V</math>가 주어졌을 때, <math>V\oplus\bar V</math>는 다음과 같은 자연스러운 사원수 구조를 가진다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.physics.rutgers.edu/~gmoore/ViennaLecturesF.pdf|이름=Gregory W.|성=Moore|저자링크=그레고리 윈스럽 무어|제목=Quantum symmetries and ''K''-theory|날짜=2014-08-22|언어=en}}</ref>{{rp|§1.6.3}}
:<math>J\colon(v_1,\bar v_2)\mapsto(-v_2,\bar v_1)</math>
이 함수가 <math>\mathbb C</math>-반선형이라는 것은 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.
:<math>J\left(z(v_1,v_2)\right)=J\left((zv_1,\overline{\bar zv_2})\right)=(-\bar zv_2,\overline{zv_1})=\bar z(-v_2,\bar v_1)=\bar zJ\left((v_1,v_2)\right)</math>

이 경우, 나머지 두 복소수 구조는 구체적으로 다음과 같다.
:<math>I\colon(v_1,\bar v_2)\mapsto(iv_1,-\overline{iv_2})</math>
:<math>K=IJ=\colon(v_1,\bar v_2)\mapsto(-iv_2,-\overline{iv_1})</math>
그렇다면
:<math>I^2=J^2=K^2=IJK=-1</math>
임을 쉽게 확인할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[벡터 공간]]
* [[일반선형군]]
* [[특수선형군]]
* [[심플렉틱 군]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Topics in Quaternion Linear Algebra|이름=Leiba|성=Rodman|url=http://press.princeton.edu/titles/10408.html|출판사=Princeton University Press|날짜=2014|isbn=978-069116185-3|zbl=1304.15004|총서=Princeton Series in Applied Mathematics|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Quaternionic structure}}
* {{nlab|id=quaternionic structure|title=Quaternionic structure}}

{{전거 통제}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:가군론]]
[[분류:사원수]]