사원수군 문서 원본 보기

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[[파일:GroupDiagramQ8.svg|frame|right|사원수군을 도식화한 그림. 각 색깔은 사원수군의 어떤 원소든지 거듭하여 연산을 하면 항등원(1로 표기)이 된다는 것을 보여주고 있다. 예를 들어, 붉은색으로 표시된 부분은 ''i''<sup>2</sup> = -1, ''i''<sup>3</sup> = -''i'', ''i''<sup>4</sup> = 1이라는 것을 설명한다. 또한 (-''i'')<sup>2</sup> = -1, (-''i'')<sup>3</sup> = ''i'', (-''i'')<sup>4</sup> = 1이라는 것도 알 수 있다.]]

[[군론]]에서 '''사원수군'''(四元數群, {{llang|en|quaternion group}})은 단위 [[사원수]] ''i'', ''j'', ''k''로 생성되는 [[유한군]]이다.

== 정의 ==
'''사원수군'''은 원소의 개수가 8개인 비[[아벨 군]]이다. 사원수군은 흔히 ''Q''로 표기되며, 다음의 원소들로 구성되어 있다.
:''Q'' = {1, &minus;1, ''i'', &minus;''i'', ''j'', &minus;''j'', ''k'', &minus;''k''}

여기에서 1은 [[항등원]]을 나타내며 (-1)<sup>2</sup> = 1이 성립한다. 또한 ''Q''의 임의의 원소 ''a''에 대해 (-1)''a'' = ''a''(-1) = -''a''가 성립한다. 이 외에도 원소들간에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
:<math>i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1</math>
사원수군의 [[군 표]](Cayley table)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
{| class="wikitable" style="margin: auto; text-align: center;"
!  !! 1 !! −1 !! i !! −i !! j !! −j !! k !! −k
|-
! 1
| 1 || −1 || i || −i || j || −j || k || −k
|-
! −1
| −1 || 1 || −i || i || −j || j || −k || k
|-
! i
| i || −i || −1 || 1 || k || −k || −j || j
|-
! −i
| −i || i || 1 || −1 || −k || k || j || −j
|-
! j
| j || −j || −k || k || −1 || 1 || i || −i
|-
! −j
| −j || j || k || −k || 1 || −1 || −i || i
|-
! k
| k || −k || j || −j || −i || i || −1 || 1
|-
! −k
| −k || k || −j || j || i || −i || 1 || −1
|}

표를 살펴보면, 이 군이 비가환군이라는 사실을 확인할 수 있다. 즉 교환법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어 ''ij'' = -''ji''이다.

===  행렬 표현 ===
사원수군은 GL<sub>2</sub>('''C''')의 [[부분군]]으로 나타낼 수 있다.<ref>{{서적 인용|제목=Algebra|연도=1974|url=https://archive.org/details/algebra0000hung_f8t3|쪽=[https://archive.org/details/algebra0000hung_f8t3/page/n60 33]|저자=Thomas W. Hungerford|출판사=Springer-Verlag}}</ref> <math>Q=\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}</math>의 원소들은 각각 다음 행렬에 대응된다.
<math>\ 1= \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 1
\end{pmatrix}</math>
<math>\ i= \begin{pmatrix}
  i & 0 \\
  0 & -i
\end{pmatrix}</math>
<math>\ j= \begin{pmatrix}
  0 & 1 \\
  -1 & 0
\end{pmatrix}</math>
<math>\ k= \begin{pmatrix}
  0 & i \\
  i & 0
\end{pmatrix}</math>

여기에서 <math>i</math>는 [[허수 단위]]이다.

== 성질 ==
=== 자기 동형 ===
사원수군의 [[군의 중심|중심]]은 <math>\{\pm1\}</math>이며, 사원수군의 [[교환자 부분군]] 역시 <math>\{\pm1\}</math>이다. 이에 대한 몫군(내부 자기 동형군)은 [[클라인 4원군]] <math>\operatorname{Cyc}(2)\times\operatorname{Cyc}(2)</math>이다.

사원수군의 [[자기 동형군]]은 4차 [[대칭군 (군론)|군론]] <math>\operatorname{Sym}(4)</math>이다. 외부 자기 동형군은 <math>\operatorname{Sym}(4)/(\operatorname{Cyc}(2)\times\operatorname{Cyc}(2))\cong\operatorname{Sym}(3)</math>이다.

=== 부분군 ===
사원수군의 부분군은 ([[자명군]]과 스스로를 포함하여) 총 6개가 있으며, 이들은 다음과 같다.
* 크기 8: <math>Q</math>
* 크기 4: <math>\langle i\rangle,\langle j\rangle,\langle k\rangle\le\mathbb Q</math>. 이들은 모두 4차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(4)</math>와 동형이다. 이에 대한 몫군은 2차 순환군이다.
* 크기 2: <math>\langle-1\rangle\le Q</math>. 이는 2차 순환군과 동형이다. 이에 대한 몫군은 [[클라인 4원군]]과 동형이다.
* 크기 1: [[자명군]] <math>1</math>
이들은 모두 [[정규 부분군]]이다. 즉, 사원수군은 [[데데킨트 군]]을 이룬다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[사원수]]
* [[쌍순환군]]
* [[클라인 4원군]]

{{전거 통제}}

[[분류:유한군]]
[[분류:군론]]
[[분류:사원수]]