사영 표현 문서 원본 보기

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[[군 표현론]]에서, '''사영 표현'''(射影表現, {{llang|en|projective representation}})은 어떤 군의 원소들을 어떤 [[벡터 공간]] 위의 [[행렬]] 또는 [[선형 변환]]으로 나타내되, 행렬로서의 [[교환자]]가 군의 연산과 [[단위 행렬]]의 스칼라배만큼 다른 것을 허용한 것이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[체 (수학)|체]] <math>K</math>
* <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math>
* [[군 (수학)|군]] <math>G</math>
그렇다면, <math>G</math>의 <math>V</math> 위의 <math>K</math>-선형 '''사영 표현'''은 [[군 준동형]]
:<math>G \to \operatorname{PGL}(V;K) =\operatorname{GL}(V;K)/K^\times</math>
이다. 여기서 <math>\operatorname{PGL}(V)</math>는 [[사영 선형군]]이다.

=== 사영 유니터리 표현 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C \}</math>
* <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] <math>H</math>
* [[리 군]] <math>G</math>
그렇다면, <math>H</math>의 '''사영 유니터리 표현'''(射影unitary表現, {{llang|en|projective unitary representation}})은 [[연속 함수]]인 [[군 준동형]]
:<math>G \to \operatorname{PU}(H) = \operatorname U(H) / \mathbb K^\times </math>
이다. 여기서 <Math>\operatorname{PU}(-)</math>는 [[사영 유니터리 군]]을 뜻한다. 사영 유니터리 표현은 사영 표현의 특수한 경우이다.

== 성질 ==
=== 선형 표현과의 관계 ===
모든 (선형) 표현
:<Math>G \to \operatorname{GL}(V;K)</math>
이 주어졌을 때, [[몫군]] 사상
:<math>q\colon\operatorname{GL}(V;K) \twoheadrightarrow \operatorname{PGL}(V;K)</math>
을 통하여 사영 표현
:<math>G \to \operatorname{PGL}(V;K)</math>
을 정의할 수 있다. 즉, 모든 선형 표현은 사영 표현을 유도한다.

반대로, 사영 표현
:<math>\rho\colon G \to \operatorname{PGL}(V;K)</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 [[군 (수학)|군]]을 정의하자.
:<math>H = G \times_{\pi,q} \operatorname{GL}(V;K) = 
\{(g,T)\in G\times\operatorname{GL}(V;K)\colon \pi(g) = q(T) \}</math>
이는 [[군 (수학)|군]]의 범주의 다음과 같은 [[올곱]]이다.
:<math>\begin{matrix}
H & \overset{\rho_H}\to & \operatorname{GL}(V;K) \\
{\scriptstyle\phi}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\phi} & & {\scriptstyle\color{White}q}\downarrow{\scriptstyle q}\\
G & \underset\rho \to & \operatorname{PGL}(V;K) \\
\end{matrix}</math>
이에 따라서, 군 준동형
:<math>\rho_H\colon H \to \operatorname{GL}(V;K)</math>
:<math>\rho_H\colon (g,T) \mapsto T</math>
이 존재한다. 또한, [[군 준동형]]
:<math>\phi \colon H \to G</math>
:<math>\phi \colon (g,T) \mapsto g</math>
은 [[전사 함수]]이며, 그 [[핵 (수학)|핵]]인 [[정규 부분군]]은
:<math>H \ge \operatorname Z(H) \ge \ker\phi = \{(1_G,\alpha 1_V)\colon \alpha\in K^\times\} \cong K^\times</math>
이다. 즉, <math>H</math>는 <math>G</math>의 [[중심 확대]]이며, [[군 (수학)|군]]의 범주에서 다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1 \to K^\times \to H \to G \to 1</math>

=== 사영 유니터리 표현 ===
리 군 <math>G</math>의 유한 차원 복소수 사영 유니터리 표현은 항상 그 [[범피복군]] <math>\tilde G</math>의 유니터리 표현으로 유도된다. 즉, 임의의 [[연결 공간|연결]] [[리 군]] <math>G</math>의 사영 유니터리 표현
:<math>\rho\colon G \to \operatorname{PU}(n)</math>
이 주어졌을 때, 항상 다음 가환 네모를 완성하는 유니터리 표현 <math>\tilde\rho\colon\tilde G \to \operatorname U(n)</math>을 찾을 수 있다.
:<math>\begin{matrix}
G & \overset\rho\to & \operatorname{PU}(n) \\
\uparrow && \uparrow \\
\tilde G& \underset{\tilde\rho}\to & \operatorname U(n) 
\end{matrix}</math>
무한 차원 표현의 경우, 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 그러나 '''바르그만 정리'''({{llang|en|Bargmann’s theorem}})에 따르면, 만약 실수 계수 2차 [[리 대수 코호몰로지]] <math>\operatorname H^2(\mathfrak{lie}(G);\mathbb R)</math>가 자명하다면, 무한 차원 사영 유니터리 표현도 역시 범피복군의 유니터리 표현으로부터 유도된다.

== 예 ==
[[특수 직교군]] <math>\operatorname{SO}(n;\mathbb R)</math>의 유한 차원 실수 사영 유니터리 표현 가운데 선형 표현으로부터 유도되지 않는 것은 [[스피너]] 사영 표현이다. 이들은 중심 확대이자 [[범피복군]]인 [[스핀 군]]
:<math>1 \to \operatorname{Cyc}(2) \cong \operatorname Z(\operatorname{Spin}(n)) \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to 1 \qquad(n\ge3)</math>
의 [[유니터리 표현]]으로부터 유도된다.

=== 범피복군으로부터 유도되지 않는 사영 유니터리 표현 ===
아벨 [[리 군]]
:<math>\mathbb R^{2n} = \{(\mathbf x,\mathbf p)\colon \mathbf x,\mathbf p \in \mathbb R^n\}</math>
의, [[르베그 공간]] <Math>\operatorname L^2(\mathbb R^n)</math> 위의 다음과 같은 사영 표현
:<math>\rho \colon \mathbb R^{2n} \to \operatorname L^2(\mathbb R^n)</math>
을 생각하자.
:<math>\rho(\mathbf x,\mathbf0)f(\mathbf y) = f(\mathbf y-\mathbf x)</math>
:<math>\rho(\mathbf0,\mathbf p)f(\mathbf y) = \exp(\mathrm i\mathbf p\cdot\mathbf y)f(\mathbf y)</math>
이는 [[양자역학]]에서 위치 및 운동량 연산자에 해당한다. 이 두 연산자의 [[교환자]]는 절댓값 1의 [[복소수]]이므로, 이는 사영 유니터리 표현을 이룬다.

<math>\mathbb R^{2n}</math>은 [[단일 연결 공간]]이다 (스스로의 [[범피복군]]이다). 그러나 이 사영 유니터리 표현은 <math>\mathbb R^{2n}</math>의 유니터리 표현으로부터 유도되지 못하며, <math>\mathbb R^{2n}</math>의 [[중심 확장]]인 [[하이젠베르크 군]]
:<math>1 \to \mathbb R^\times \to \operatorname{Heis}(n;\mathbb R) \to \mathbb R^{2n} \to 1</math>
의 유니터리 표현으로 유도된다.

== 역사 ==
바르그만 정리는 발렌티네 바르그만({{llang|de|Valentine Bargmann}}, 1908〜1989)이 1954년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|성=Bargmann|이름 =Valentine |날짜=1954|제목=On unitary ray representations of continuous groups|저널=Annals of Mathematics|권=59|쪽= 1–46|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[군의 확대]]
* [[입자물리학과 표현론의 관계]]
* [[스피너]]
* [[하이젠베르크 군]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Projective representation}}
* {{nlab|id=projective representation|title=Projective representation}}

{{전거 통제}}

[[분류:표현론]]