사영 평면 문서 원본 보기

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[[사영기하학]]에서 '''사영 평면'''(射影平面, {{llang|en|projective plane}})은 일반적인 평면과 유사하지만, “무한대”의 점이 존재하여 모든 두 직선이 항상 교차하게 되는 [[결합 구조]]이다.

== 정의 ==
=== 다각형 ===
[[결합 구조]] <math>(X,L,\vartriangleleft)</math> 속의, 크기 <Math>n</math>의 [[유한 집합]] <math>P\subseteq X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''<math>n</math>각형'''(<math>n</math>角形, {{llang|en|<math>n</math>-gon}})이라고 한다.
* 임의의 서로 다른 세 점 <Math>x,y,z\in P</math>에 모두 인접하는 직선 <Math>l\in L</math>은 존재하지 않는다.

=== 사영 평면 ===
[[결합 구조]] <math>(X,L,\vartriangleleft)</math> 가운데, 다음 세 조건을 만족시키는 것을 '''사영 평면'''이라고 한다.
* 임의의 서로 다른 두 점 <math>x,y\in X</math> (<math>x\ne y</math>)에 대하여, <math>x\vartriangleleft l\vartriangleright y</math>인 유일한 직선 <Math>l\in L</math>이 존재한다. 이를 보통 <math>\overline{xy}</math>로 표기한다.
* 임의의 서로 다른 두 선 <Math>l,m\in L</math>에 대하여, <math>l\vartriangleright x\vartriangleleft m</math>인 유일한 점 <Math>x\in X</math>이 존재한다. 이를 <math>\underline{lm}</math>으로 표기하자.
* 사각형이 존재한다.

=== 데자르그 사영 평면 ===
사영 평면 <math>(X,L,\vartriangleleft)</math> 속의 두 삼각형 <math>(x,y,z)</math>, <math>(x',y',z')</math>이 주어졌다고 하고, 그 변들을 각각 <math>(l,m,n),(l',m',n')</math>이라고 하자.

만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 '''축배경적'''({{llang|en|axially in perspective}})이라고 한다.
* <math>\underline{ll'}</math>, <math>\underline{mm'}</math>, <math>\underline{nn'} </math> 세 점에 모두 인접하는 직선이 존재한다.

만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 '''중심 배경적'''({{llang|en|centrally in perspective}})이라고 한다.
* <math>\overline{xx'}</math>, <math>\overline{yy'}</math>, <math>\overline{zz'}</math> 세 직선에 모두 인접한 점이 존재한다.

만약 주어진 사영 평면 속의 임의의 두 삼각형에 대하여, 축배경성이 중심 배경성과 [[동치]]라면, 이 사영 평면이 '''데자르그 사영 평면'''(Desargues{{llang|en|Desarguesian projective plane}})이라고 한다.

== 연산 ==
=== 쌍대 사영 평면 ===
사영 평면 <math>P=(X,L,\vartriangleleft)</math>이 주어졌을 때, <math>(L,X,\vartriangleright)</math>, 즉
* <Math>P</math>의 각 점에 대응하는 직선을 가지며,
* <math>P</math>의 각 직선에 대응하는 점을 가지며,
* <math>P</math>에서 인접하는 점과 직선은 인접하는 직선과 점에 대응되는
사영 평면을 구성할 수 있다. 이를 <math>P</math>의 '''쌍대 사영 평면'''({{llang|en|dual projective plane}})이라고 한다.

== 성질 ==
모든 사영 평면 <math>(X,L,\vartriangleright)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* <math>\forall l\in L\colon |\{x\in X\colon x\vartriangleleft l\}|=q+1</math>인 2 이상의 (유한 또는 무한) [[기수 (수학)|기수]] <math>q</math>가 존재한다. 즉, 모든 직선은 <math>q+1</math>개의 점과 인접한다.
* 모든 점은 <Math>q+1</math>개의 직선과 인접한다.
* <math>|X|=|L|=q^2+q+1</math>이다.
* <math>q\not\in\{6, 10\}</math>이다.

다음과 같은 추측이 존재하지만, 이는 아직 미해결 난제이다.
:유한 사영 평면의 차수 <math>q</math>는 항상 소수의 거듭제곱이다 (즉, 크기 <math>q</math>의 [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math>가 존재한다.)
예를 들어, <math>\mathbb P^2(\mathbb F_q)</math>는 차수 <math>q</math>의 유한 사영 평면이다.

또한, 다음과 같은 추측이 존재하지만, 이 역시 미해결 난제이다.
:[[소수 (수론)|소수]] 차수 <math>p</math>의 사영 평면은 <math>\mathbb P^2(\mathbb F_p)</math> 밖에 없다.

== 예 ==
=== 사각형이 존재하지 않는 결합 구조 ===
[[파일:Nearpencil.svg|섬네일|오른쪽|[[결합 구조]] <math>C_7</math>]]
[[결합 구조]] 가운데, 사영 평면의 세 공리 중 처음 두 개를 만족시키지만 셋째를 만족시키지 못하는 것들은 모두 분류되었으며, 다음 세 족 가운데 하나에 속한다.
* <math>X=L=\varnothing</math>. 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 <math>A</math>로 표기하자.
* <math>X</math>와 <math>L</math>은 [[공집합]]이 아닌 임의의 집합, <math>x\in X</math>, <math>l\in L</math>, <math>R=\{x\}\times L\cup X\times\{l\}</math>. 이를 <Math>B_{|X|,|L|}</math>로 표기하자. <Math>B_{|X|,|L|}</math>의 쌍대 사영 평면은 <math>B_{|L|,|X|}</math>이다.
* <math>S</math>는 임의의 집합, <math>L=\{l\}\sqcup S</math>, <math>X=\{x\}\sqcup S</math>, <math>R=\{x\}\times S \cup S\times \{l\}\cup \{(s,s)\colon s\in S\}</math>. 이는 스스로의 쌍대 사영 평면이다. 이를 <math>C_{|X|}</math>로 표기하자.

<math>B_{2,2}=C_2</math>이다. 이 경우를 제외하면, 이 세 족들은 [[서로소 집합|서로소]]이다.

=== 데자르그 사영 평면 ===
[[파일:Fano plane.svg|섬네일|오른쪽|파노 사영 평면 <math>\mathbb P^2(\mathbb F_2)</math>]]
모든 데자르그 사영 평면은 분류되었으며, 다음과 같은 꼴이다. 어떤 [[나눗셈환]] <Math>K</math>에 대하여,
* <math>X=\frac{K\times K\times K\setminus\{(0,0,0)\}}{(x,y,z)\sim(ax,ay,az)\qquad\forall a\in K^\times,x,y,z\in K}</math>
* <math>L</math>의 원소는 <math>K\times K\times K</math> 속의 2차원 부분 공간에서 0을 제거한 뒤, [[동치 관계]]를 취한 것이다.
이를 <Math>\mathbb P_K^2</math>로 표기한다.

특히, 크기 2의 [[유한체]] <math>\mathbb F_2</math> 위의 사영 평면은 '''파노 사영 평면'''({{llang|en|Fano projective plane}})이라고 한다.

=== 작은 유한 사영 평면 ===
작은 차수 <math>q</math>의 유한 사영 평면들을 생각하자. <math>q\le10</math>인 유한 사영 평면들은 다음과 같다.
* 유한체 위의 사영 평면 <Math>\mathbb P^2(\mathbb F_2)</math>, <Math>\mathbb P^2(\mathbb F_3)</math>, <Math>\mathbb P^2(\mathbb F_4)</math>, <Math>\mathbb P^2(\mathbb F_5)</math>, <Math>\mathbb P^2(\mathbb F_7)</math>, <Math>\mathbb P^2(\mathbb F_8)</math>, <Math>\mathbb P^2(\mathbb F_9)</math>
* 이 밖에도, 차수가 9인 세 개의 비(非)데자르그 사영 평면이 존재한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1406.7857|제목=Poncelet’s Theorem in the four non-isomorphic finite projective planes of order 9|이름=Norbert|성=Hungerbühler|이름2=Katharina|성2=Kusejko|날짜=2014|언어=en}}</ref>

=== 비(非)데자르그 사영 평면 ===
[[교대 대수]] <math>(A,+,0,\star)</math>에서, 0이 아닌 모든 원소가 [[가역원]]이라고 하자. 그렇다면, <math>A</math> 위의 사영 평면을 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 사영 평면을 '''무팡 사영 평면'''({{llang|en|Moufang projective plane}})이라고 한다. 모든 데자르그 사영 평면은 무팡 사영 평면이다. 반면, 예를 들어 [[팔원수]] 위의 사영 평면은 데자르그 사영 평면이 아닌 무팡 사영 평면이다.

=== 삼진환을 통한 구성 ===
{{본문|삼진환}}
모든 사영 평면은 [[삼진환]]으로부터 구성될 수 있다. 반대로, 각 삼진환에는 사각형이 주어진 사영 평면을 대응시킬 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[블록 설계]]
* [[결합 구조]]
* [[일반화 다각형]]
* [[사영기하학]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|url=http://www.ams.org/notices/200710/tx071001294p.pdf|제목=Survey of non-Desarguesian planes|이름=Charles|성=Weibel|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=54|호=10|날짜=2007-11|쪽=1294–1303|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Helmut|성=Salzmann|성2=Betten|이름2=Dieter|성3=Grundhöfer|이름3=Theo|성4=Hähl|이름4=Hermann|성5=Löwen|이름5=Rainer|성6=Stroppel|이름6=Markus|제목=Compact projective planes. With an introduction to octonion geometry|총서=De Gruyter Expositions in Mathematics|권=21|출판사=Walter de Gruyter & Co.|날짜=1995|isbn=978-3-11-087683-3|url=https://www.degruyter.com/view/product/45837|언어=en|access-date=2017-06-16|archive-date=2015-11-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20151101055112/http://www.degruyter.com/view/product/45837|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Projective plane}}
* {{매스월드|id=ProjectivePlane|title=Projective plane}}
* {{매스월드|id=ProjectivePlanePK2|title=Projective plane PK²}}
* {{매스월드|id=MoufangPlane|title=Moufang plane}}

{{전거 통제}}

[[분류:사영기하학]]
[[분류:결합기하학]]
[[분류:유클리드 평면기하학]]