사영 스펙트럼 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''사영 스펙트럼'''(射影spectrum, {{llang|en|projective spectrum}})은 [[등급환]]으로부터 [[스킴 (수학)|스킴]]을 만드는 한 방법이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|76–77}} 이를 [[다항식]]들의 [[등급환]]에 적용하면 통상적인 [[사영 공간]]을 얻는다. 기호는 Proj(''R'').

== 정의 ==
[[가환환]] <math>R</math> 위에 [[자연수]] 등급이 주어져 [[등급환]]
:<math>R=\bigoplus_{i=0}^\infty R_i = R_0 \oplus R_1 \oplus R_2\oplus \dotsb</math>
을 이룬다고 하자. (즉, 등급 가환이 아니라 가환이다.) 이 등급환의 [[무관 아이디얼]] <math>\textstyle R_+=\bigoplus_{i=1}^\infty R_i</math>을 생각하자. 그렇다면,  <math>R</math>의 '''사영 스펙트럼''' <math>\operatorname{Proj}R</math>는 집합으로서 다음 조건들을 만족시키는 <math>R</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak a</math>들의 집합이다.
# 동급이다. 즉, 임의의 <math>r\in\mathfrak a</math>에 대하여, 그 성분들을 <math>r_i\in R_i</math>라고 하면, <math>\forall i\in\mathbb N\colon r_i\in\mathfrak a</math>이다.
# [[무관 아이디얼]]을 부분 집합으로 포함하지 않는다. 즉, <math>R_+\not\subseteq\mathfrak a</math>이다.
여기서 두 번째 조건은 (고전적) [[사영 공간]]에서 [[무관 아이디얼]]을 포함하는 아이디얼의 영점의 집합은 [[공집합]]이기 때문이다.

=== 자리스키 위상 ===
<math>\operatorname{Proj}R</math>에 다음과 같은 '''[[자리스키 위상]]'''을 주어, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로 만든다. <math>\operatorname{Proj}R</math>의 [[열린집합]]들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들로 이루어진다. <math>R</math>의 임의의 동급 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a</math>에 대하여,
:<math>U(\mathfrak a)=\{\mathfrak b\in\operatorname{Proj}R|b\not\subset\mathfrak a\}\subset\operatorname{Proj}R</math>
이다. 이들은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 공리들을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다.

=== 구조층 ===
<math>\operatorname{Proj}R</math>에 다음과 같은 [[가환환]] 값의 [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal O</math>를 주어, [[환 달린 공간]]으로 만들 수 있다. 임의의 열린 집합 <math>U</math>에 대하여, <math>\mathcal O(U)</math>는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들
:<math>f\colon\mathcal O(U)\to\bigcup_{\mathfrak p\in U}R_{\mathfrak p}</math>
이 이루는 [[가환환]]이다. 여기서 <math>S\subset R\setminus\mathfrak p</math>를 <math>\mathfrak p</math>의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, <math>R_{(\mathfrak p)}</math>는 <math>R</math>의 <math>S</math>에서의 [[국소화 (환론)|국소화]]이다. 모든 <math>\mathfrak p\in U</math>에 대하여,
# <math>f(\mathfrak p)\in R_{(\mathfrak p)}</math>
# <math>\mathfrak p</math>는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, [[근방]] <math>\mathfrak p\in V\subset U</math>가 존재하여, 모든 <math>\mathfrak q\in V</math>에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 <math>r,s\in R</math>가 존재한다.
## <math>f(\mathfrak q)=r/s</math>
## <math>r</math>와 <math>s</math>는 둘 다 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, <math>r,s\in R_i</math>인 <math>i\in\mathbb N</math>이 존재한다.
## <math>s\not\in\mathfrak q</math>.
이렇게 층을 주면, <math>\operatorname{Proj}R</math>는 [[스킴 (수학)|스킴]]의 구조를 이루는 것을 보일 수 있다.

=== 사영 스펙트럼 위의 가군층 ===
[[등급환]] <math>R</math> 위에 [[등급 가군]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면 사영 스펙트럼의 정의와 유사하게, <math>\operatorname{Proj}R</math> 위의 [[가군층]] <math>\tilde M</math>을 정의할 수 있다. 구체적으로, 임의의 [[열린집합]] <math>U</math>에 대하여, <math>\mathcal O_{\tilde M}(U)</math>는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들
:<math>f\colon\mathcal O_{\tilde M}(U)\to\bigcup_{\mathfrak p\in U}M_{\mathfrak p}</math>
이 이루는 [[가환환]]이다. 여기서 <math>S\subset R\setminus\mathfrak p</math>를 <math>\mathfrak p</math>의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, <math>M_{(\mathfrak p)}</math>는 <math>M</math>의 <math>S</math>에서의 [[국소화 (환론)|국소화]]이다. 모든 <math>\mathfrak p\in U</math>에 대하여,
# <math>f(\mathfrak p)\in M_{(\mathfrak p)}</math>
# <math>\mathfrak p</math>는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, [[근방]] <math>\mathfrak p\in V\subset U</math>가 존재하여, 모든 <math>\mathfrak q\in V</math>에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 <math>m\in M</math>, <math>s\in R</math>가 존재한다.
## <math>f(\mathfrak q)=m/s</math>
## <math>m</math>과 <math>s</math>는 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, <math>m\in M_i</math>, <math>s\in R_i</math>인 <math>i\in\mathbb N</math>이 존재한다.
## <math>s\not\in\mathfrak q</math>.
특히, <math>R</math> 자체를 <math>R</math>의 [[등급 가군]]으로 간주하면, <math>\tilde R</math>는 <math>\operatorname{Proj}R</math>의 구조층이다.

임의의 [[등급 가군]] <math>\textstyle M=\bigoplus_iM_i</math>가 주어지면, 임의의 정수 <math>l\in\mathbb Z</math>에 대하여 그 '''뒤틀림'''(twist) <math>M(l)</math>은
:<math>M(l)_i=M_{i+l}</math>
인 등급 가군이다. 즉, 등급을 단순히 <math>l</math>만큼 이동시킨 것이다. 이 연산을 층에 정의하면, 층 <math>\tilde M</math>의 '''뒤틀림''' <math>\tilde M(l)</math>을 정의할 수 있다. 구조층 <math>\tilde R=\mathcal O</math>의 뒤틀림 <math>\mathcal O(1)</math>은 '''세르 뒤틀림 층'''({{llang|en|Serre twisting sheaf}})이라고 한다. 이는 항상 [[가역층]]이며, [[장피에르 세르]]의 이름을 딴 것이다.

=== 대역적 사영 스펙트럼 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[스킴 (수학)|스킴]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>
* <math>\mathcal O_X</math>-[[준연접층]]들의 족  <math>(\mathcal S_i)_{i\in\mathbb N}</math>. 또한, <math>\textstyle\mathcal S=\bigoplus_{i\in\mathbb N}\mathcal S_i</math>로 놓자.
* 각 [[열린집합]] <math>U\in\operatorname{Open}(X)</math>에 대하여, <math>\textstyle\bigoplus_{i\in\mathbb N}\Gamma(U,\mathcal S_i)</math> 위의 <math>\mathbb N</math>-[[등급 대수|등급]] <math>\mathcal O_X(U)</math>-[[결합 대수]] 구조

그렇다면, 각 [[아핀 스킴|아핀]] [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여 다음과 같은 [[스킴 (수학)|스킴]]을 정의하자.
:<math>Y_U=\operatorname{Proj} \Gamma(U,\mathcal S) </math>
이제, 자연스러운 [[스킴 사상]]
:<math>\pi_U\colon Y_U\to U</math>
이 존재한다. (이는 <math>\Gamma(U,\mathcal S)</math>가 <math>\mathcal O_X(U)</math>-[[등급 대수]]이기 때문이다.) 이에 따라, 위 스킴 사상들을 통해 <math>\pi_U</math>들을 짜깁기할 수 있다. 이렇게 하여 얻는 스킴을 '''대역적 사영 스펙트럼'''(大譯的射影spectrum{{llang|en|global projective spectrum}}) 또는 '''상대 사영 스펙트럼'''(相對射影spectrum, {{llang|en|relative projective spectrum}}) <math>\operatorname{\underline{Proj}}\mathcal S</math>라고 한다. (이 단계에서 [[준연접층]] 조건이 필요하다.)

== 성질 ==
<math>\operatorname{Proj}R</math>의 구조층 <math>\mathcal O</math>의 <math>\mathfrak p\in\operatorname{Proj}R</math>에서의 [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal O_{\mathfrak p}=R_{(\mathfrak p)}</math>이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|76}} 여기서 <math>R_{(\mathfrak p)}</math>는 <math>\mathfrak p</math>의 원소가 아닌 동급 원소들에 대한 [[국소화 (환론)|국소화]]다. 이러한 환은 항상 [[국소환]]이다.

=== 함자성의 실패 ===
[[환의 스펙트럼|아핀 스펙트럼]]은 [[가환환]]의 범주의 [[반대 범주]]에서 스킴의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다. 반면, 사영 스펙트럼은 함자를 이루지 않는다. 즉, 등급환 사이의 등급 준동형은 일반적으로 그 [[사영 스펙트럼]] 사이의 [[스킴 사상]]을 정의할 필요가 없다.

다만, 가환 등급환 <math>R</math>의 [[동차 아이디얼]] <math>\mathfrak i</math>이 주어졌을 때, 몫 사상 <math>R \to R/\mathfrak i</math>는 [[사영 스펙트럼]] 사이의 [[닫힌 몰입]]
:<math>\operatorname{Proj}\frac R{\mathfrak i} \to \operatorname{Proj}R</math>
을 정의한다.<ref name="EH">{{서적 인용 | last=Eisenbud | first=David | 저자링크=데이비드 아이젠버드|이름2=Joe|성2= Harris | title=The geometry of schemes | publisher=Springer-Verlag |총서=Graduate Texts in Mathematics|권=197|issn=0072-5285 | isbn=978-0-387-98638-8 | mr=1730819  | 날짜=2000 | doi=10.1007/b97680 | zbl=0960.14002 | 언어=en }}</ref>{{rp|100, §Ⅲ.2.2}}

아핀 스펙트럼의 경우 서로 다른 [[아이디얼]]은 서로 다른 [[닫힌 부분 스킴]]에 대응하지만, 사영 스펙트럼의 경우 서로 다른 동차 아이디얼이 같은 [[닫힌 부분 스킴]]에 대응될 수 있다.<ref name="EH"/>{{rp|100, §Ⅲ.2.2, Exercise Ⅲ-15}} 예를 들어, 체 <math>K</math>에 대한 [[사영 공간]] <math>\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dotsc,x_n]</math>에 대하여, 임의의 동차 아이디얼 <math>\mathfrak i</math>가 주어졌을 때, <math>\mathfrak i</math>와 <math>\textstyle\sum_{n\ge N}\mathfrak i_n</math>은 같은 [[닫힌 부분 스킴]]을 정의한다 (<math>N\ge 0</math>은 임의의 [[자연수]]).

== 예 ==
=== 자명한 사영 스펙트럼 ===
임의의 (단위원을 가진) [[가환환]] <math>R</math>이 주어지면, 여기에 모든 등급을 0으로 매겨 이를 자명한 [[등급환]]으로 취급할 수 있다. 이는 0개의 변수를 가지는 다항식환 <math>R\cong R[]</math>이다. 이 등급환의 사영 스펙트럼(즉, 0차원 [[사영 공간]] <math>\mathbb P_R^0</math>)은 [[공집합]]이다. 이는 [[무관 아이디얼]]이 [[영 아이디얼]] <math>R_+=(0)</math>이며, 이는 모든 아이디얼의 부분 아이디얼이기 때문이다.

보다 일반적으로, [[등급환]] <math>\textstyle R=\bigoplus_{i\in\mathbb N}R_i</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|80}}
* 사영 스펙트럼이 [[공집합]]이다. 즉, <math>\operatorname{Proj}R=\varnothing</math>이다.
* <math>\textstyle R_+\subseteq\sqrt{(0)}</math>이다. 즉, <math>R_+</math>의 모든 원소가 [[멱영원]]이다.

=== 사영 공간 ===
{{본문|사영 공간}}
<math>K</math>가 (단위원을 가진) [[가환환]]이라고 하자. 그렇다면 <math>K</math>에 대한 '''''n''차원 [[사영 공간]]''' <math>\mathbb P_K^n</math>은 [[등급환]] <math>K[x_0,x_1,\dots,x_n]</math>의 사영 스펙트럼이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|77}}

[[사영 공간]] <math>\mathbb P_K^n=\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dots,x_n]</math>의 경우, 세르 뒤틀림 층 <math>\mathcal O(1)</math>의 단면은 1차 [[동차다항식]]
:<math>\sum_ic_ix_i</math>
의 꼴의 함수들이다. 즉, 세르 뒤틀림 층은 일종의 좌표들의 층으로 볼 수 있다. 이 경우, 세르 뒤틀림 층은 [[가역층]]이고, 그 역은 [[사영 공간]]의 [[표준 선다발]]이다.

특히, 0차원 사영 공간은 [[환의 스펙트럼|아핀 스펙트럼]]과 같다. 즉, 임의의 [[가환환]] <math>K</math>에 대하여
:<math>\operatorname{Proj}K[x] = \operatorname{Spec}K</math>
이다.

=== 준연접층에 대응되는 대역적 사영 스펙트럼 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[스킴 (수학)|스킴]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>
* <math>\mathcal O_X</math>-[[준연접층]] <math>\mathcal E</math>
그렇다면, [[대칭 대수]]의 [[층 (수학)|층]]
:<math>\operatorname{\underline{Sym}}_{\mathcal O_X}(\mathcal E)\colon U\mapsto\operatorname{Sym}_{\mathcal O_X(U)}\Gamma(U,\mathcal E)</math>
및 이에 대응하는 대역적 사영 스펙트럼
:<math>\operatorname{\underline{Proj}}\left(\operatorname{\underline{Sym}}_{\mathcal O_X}(\mathcal E)\right)=\mathbb P(\mathcal E)</math>
를 정의할 수 있다.

특히, 만약 추가로 <math>\mathcal E</math>가 [[유한 생성 가군층]]일 때, 만약 어떤 [[닫힌 몰입]] <math>\iota</math>에 대하여
:<math>Y\xrightarrow\iota \mathbb P(\mathcal E)\to X</math>
의 꼴로 분해될 수 있는 [[스킴 사상]] <math>Y\to X</math>를 '''사영 사상'''(射影寫像, {{llang|en|projective morphism}})이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[사영 공간]]
* [[사영 공간의 대수 기하학]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Projective spectrum of a ring|first=V.V.|last=Shokurov}}
* {{eom|title=Projective scheme}}
* {{웹 인용|url=http://therisingsea.org/notes/TheProjConstruction.pdf|제목=The Proj construction|이름=Daniel|성=Murfet|날짜=2006-05-16|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://therisingsea.org/notes/TheRelativeProjConstruction.pdf|제목=The relative Proj construction|이름=Daniel|성=Murfet|날짜=2006-10-05|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:스킴 이론]]