사영 공간의 대수 기하학 문서 원본 보기

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'''[[사영 공간]]'''의 개념은 [[대수기하학]]에서 중심적인 역할을 한다. 이 문서는 추상 [[대수기하학]]의 관점에서 개념을 정의하고 사영 공간의 몇 가지 기본 응용을 설명하는 것을 목표로 한다.

== 동차 다항식 이데알 ==
''<math>\mathbb k</math>''를 [[대수적으로 닫힌 체|대수적으로 닫힌]] [[체 (수학)|체]] 라고 하고 ''<math>V</math>''를 ''<math>\mathbb k</math>'' 위의 유한차원 [[벡터 공간|선형 공간]]이라고 하자. 쌍대 선형 공간 ''<math>V^*</math>''의 [[대칭 대수]]는 ''<math>V</math>'' 위의 [[다항식환|다항식 환]]이라고 하며 ''<math>\mathbb k[V]</math>''로 표시된다. 다항식의 차수에 따라 자연스럽게 [[등급 대수]]이다.

사영 [[힐베르트 영점 정리|영점 정리]]는 특정 차수의 모든 다항식을 포함하지 않는 동차 [[등급 대수|이데알]] ''<math>I</math>''([[엉뚱한 이상|무관한 이데알]]이라고 함)에 대해 ''<math>I</math>''(또는 ''Nullstelle'' )의 모든 다항식의 공통 영점 집합이 자명하지 않다고 말한다(즉, 공통 영점 집합은 단일 원소 {0}보다 더 많은 것을 포함하며, 더 정확하게는 해당 집합에서 영인 다항식의 이데알은 이데알 ''<math>I</math>''의 [[반소 아이디얼|근기]]와 일치한다.

이 마지막 주장은 다음 공식으로 가장 잘 요약된다. : 연관 이데알 ''<math>I</math>''에 대해,

: <math> \mathcal I (\mathcal V(I)) = \sqrt I .</math>

특히, ''<math>\mathbb k[V]</math>''의 최대 동차 연관 이데알은 ''<math>V</math>''의 원점을 통과하는 선과 일대일이다.

== 사영 스킴의 구성 ==
''<math>V</math>를'' [[체 (수학)|체]] ''<math>\mathbb k</math>'' 위의 유한 차원 [[벡터 공간|선형 공간]]이라고 하자. [[사영 스펙트럼]] ''<math>\text{Proj}(\mathbb k[V])</math>''에 의해 정의된 ''<math>\mathbb k</math>''에 대한 [[스킴 (수학)|스킴]]을 ''<math>V</math>''의 '''사영화'''라고 한다. ''<math>\mathbb k</math>''에 대한 '''사영 ''n-''공간'''은 선형 공간 <math>\mathbb A_\mathbb k^{n+1}</math>의 사영화이다.

층은 주 열린 집합 <math>D(P)</math>의 [[기저 (위상수학)|열린 집합들의 기저]] 위에서 단면

: <math>\Gamma (D(P), \mathcal O_{\mathbb P (V)})</math>

이 ''<math>P</math>''에서 [[국소화 (환론)|국소화]]하여 얻은 환의 0차 구성 성분인 환 <math> (\mathbb k[V]_P)_0</math>이 되도록 설정하여 정의된다. 여기서 ''<math>P</math>는'' 동차 다항식이다. 따라서 그 원소는 동차 분자와 분자와 동일한 차수를 갖는 ''<math>P</math>''의 거듭제곱을 분모로 하는 유리 함수이다.

이러한 상황은 영점 없는 선형 형식 φ에서 가장 명확하다. 열린 집합 <math>D(\varphi)</math>에 대한 구조 층의 제한은 표준적으로<ref group="note">In coordinates this correspondence is given by <math>\frac{P (X_0, \ldots, X_n)} {X_0^{\deg(P)}} \mapsto P(1,X_1,\ldots, X_n) </math></ref> [[환의 스펙트럼|아핀 스킴]] <math>\text{Spec}(\mathbb k[\ker\varphi])</math>로 식별된다. <math>D(\varphi)</math>가 ''<math>X</math>''의 [[덮개 (위상수학)|열린 덮개]]를 형성하기 때문에 사영 스킴은 동형 아핀 스킴의 사영화를 통한 이어붙이기에 의해 얻어지는 것으로 생각할 수 있다.

이 스킴의 전역 단면들의 환은 체이고, 이는 스킴이 아핀이 아님을 의미함에 유의하라. 임의의 두 개의 열린 집합은 자병하지 않게 교차한다. ''즉'', 이 스킴은 기약이다. 체 '''''<math>\mathbb k</math>'''''가 [[대수적으로 닫힌 체]]인 경우, <math>\mathbb P(V) </math>는 사실 [[대수다양체|추상 다형체]]이며 완비이다.

== 약수 및 비틀림 층 ==
사실 Proj 함자는 단순한 스킴 이데알을 제공한다. 이 과정에서 구조 층 위에 등급 가군의 층이 정의된다. 이 등급 층의 동차 성분은 [[사영 스펙트럼|세르 비틀림 층]] <math>\mathcal O (i)</math>으로 표시된다. 이 층은 모두 정말로 [[선다발]]이다. [[인자|까르띠에 약수]] 와 선다발의 대응에 의해, 제 1 비틀림 층 <math>\mathcal O(1)</math>은 초평면 약수와 동일하다.

다항식 환은 [[유일 인수 분해 정역|유일 소인수분해 정역]]이기 때문에 [[크룰 차원|높이]] 1인 모든 [[소 아이디얼|소 이데알]]은 [[주 아이디얼|주 이데알]]이다. 이는 모든 베유 약수가 초평면 약수의 어떤 거듭제곱과 선형적으로 동등함을 보여준다. 이러한 고려는 사영 공간의 피카르 군이 랭크 1인 자유군 <math>\mathrm{Pic}\ \mathbf P^n_\mathbb k = \mathbb Z</math>임을 증명한다. 그리고 이 동형 사상은 약수의 차수에 의해 주어진다.

=== 벡터 다발의 분류 ===
체 ''<math>\mathbb k</math>'' 위의 [[사영 공간]] <math>\mathbb{P}^n_{\mathbb k}</math> 위의 [[가역층|가역 층]] 또는 선다발은 '''정확히''' 꼬임 [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal{O}(m),\ m \in \mathbb{Z}</math>이다. 그래서 <math>\mathbb{P}^n_{\mathbb k}</math>의 [[피카르 군]]은 <math>\mathbb{Z}</math>와 동형이다. 동형 사상은 [[천 특성류|첫 번째 천 특성류]]에 의해 제공된다.

선다발 <math>\mathcal O(k)</math>의 열린 집합 <math>U \subseteq \mathbb P (V)</math>에서 국소 단면의 공간은 ''<math>U</math>''와 연관된 ''<math>V</math>''의 원뿔에 대한 동차 차수 ''<math>k</math>''인 정규 함수의 공간이다. 특히 전역 단면들의 공간

: <math> \Gamma (\mathbb P, \mathcal O (m))</math>

''는 m'' < 0인 경우 영이고, ''m'' =0인 경우 ''<math>\mathbb k</math>''의 상수이며, ''m > 0'' 인 경우 차수 ''m''의 동차 다항식으로 구성된다. (따라서 차원은 <math display="inline">\binom{m + n}{m} = \binom{m + n}{n}</math> ).

[[Birkhoff-Grothendieck 정리|버코프-그로텐디크 정리]]에 따르면 사영 직선에서 모든 벡터 다발은 유일한 방식으로 선다발의 직합으로 분해된다.

=== 중요한 선다발 ===
예를 들어 [[특이점 (대수기하학)|매끄러운 점]]을 [[부풀리기|부풀리는]] [[뛰어난 제수|예외적인 약수]]로 나타나는 [[보편 가역층|보편 다발]]은 층 <math>\mathcal O (-1)</math>이다. [[표준 선다발|표준 다발]]

: <math>\mathcal K(\mathbb{P}^n_\mathbb k)</math>는 <math>\mathcal O(-(n+1))</math> .

이 사실은 사영 공간에 대한 근본적인 기하학적 진술인 오일러 수열에서 유도된다.

[[표준 선다발]]의 음성은 사영 공간을 [[파노 다양체|파노 다형체]]의 주요 예시로 만든다. 지표는 <math>\mathrm {Ind} (\mathbb P^n) = n+1</math>과 같이 주어진다. 그리고 고바야시-Ochiai의 정리에 의해 사영 공간은 성질에 의해 파노 다형체 사이에서 ''특징''지어진다.

: <math>\mathrm {Ind} (X) = \dim X +1.</math>

== 사영 스킴에 대한 사상 ==
아핀 공간이 사영 공간에 매장될 수 있는 것처럼 모든 아핀 다형체도 사영 공간에 매장될 수 있다.

'''전역적으로 생성된 [[선다발]]'''의 전역 단면이 모두 영은 아닌 유한 계의 모든 선택은 사영 공간에 대한 [[Morphism (algebraic geometry)|사상]]을 정의한다. 기저가 그러한 사상에 의해 사영 공간에 매장될 수 있는 선다발을 [[풍부한 가역층|아주 풍부하다]]고 한다.

사영 공간 <math>\mathbb P^n_{\mathbb k}</math>의 대칭 군은 사영된 선형 자기동형사상 군 <math>\mathrm {PGL}_{n+1}(\mathbf k)</math>이다. 이 군의 작용을 법으''로'' 사영 공간에 대한 사상 <math>j : X \to \mathbf P^n</math>의 선택은 실제로 ''<math>X</math>''의 '''[[선다발]]'''에서 약수의 ''n'' 차원 선형계를 '''전역적으로 생성하는''' 선택과 ''동일''하다. 사영 변환을 법으''로'' ''<math>X</math>''의 사영 매장의 선택은 마찬가지로 ''<math>X</math>''에서 [[풍부한 가역층|아주 풍부한 선다발]]을 선택하는 것과 같다.

사영 공간에 대한 사상 <math>j : X \to \mathbf P^n</math>는 전역적으로 생성된 선다발을 <math>j^* \mathcal O (1)</math>과 같이 정의한다. 그리고 선형계를

: <math>j^* (\Gamma (\mathbf P^n, \mathcal O(1))) \subset \Gamma (X, j^*\mathcal O(1) ).</math>

로 정의한다. 사상 <math>j</math>의 범위가 초평면 약수에 포함되지 않은 경우 당김은 단사이고 약수의 선형계이다.

: <math>j^* (\Gamma (\mathbf P^n, \mathcal O(1)))</math>는 ''n'' 차원 선형계이다.

=== 예: 베로네즈 매장 ===
베로네즈 매장은 <math display="inline">N=\binom{n+d}{d} -1</math>에 대해, 매장 <math>\mathbb P^n \to \mathbb P^N</math>이다.

매끄러운 사영 [[초곡면]] (매끄러운 약수)의 코호몰로지 군 계산에 베로네즈 매장을 적용하려면 MathOverflow 의 [https://mathoverflow.net/q/60324 답변] 참조

== 사영 공간의 곡선 ==
파노 다형체로서, 사영 공간은 [[선직다양체|선직 다형체]]이다. 사영 평면에서 곡선의 교차 이론은 [[베주 정리]]를 산출한다.

== 같이 보기 ==
=== 일반적인 대수 기하학 ===
* [[스킴 (수학)|스킴(수학)]]
* [[사영 다형체]]
* [[사영 스펙트럼|Proj 구성]]

=== 일반적인 사영 기하학 ===
* [[사영 공간]]
* [[사영기하학]]
* [[동차다항식]]

== 각주 ==
{{각주|group=note}}

== 참조 ==
* {{서적 인용|제목=[[Hartshorne's Algebraic Geometry|Algebraic Geometry]]|성=Robin Hartshorne|저자링크=Robin Hartshorne|연도=1977|출판사=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|isbn=0-387-90244-9}}
* [http://www.math.u-psud.fr/~laszlo/M2/2010-2011/TD2.pdf Exercise sheet]  (in French) on projective spaces, on the [https://web.archive.org/web/20101213103332/http://www.math.u-psud.fr/~laszlo/ page] of Yves Laszlo.

[[분류:사영기하학]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:대수다양체]]