사승 상호작용 문서 원본 보기

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[[양자장론]]에서 '''4승 상호작용'''(四乘相互作用, quartic interaction)이란 그 [[라그랑지안]]이 <math>\phi^4</math>꼴의 [[상호작용]] 항을 포함하는 [[스칼라]]장 φ를 다루는 이론이다. 즉, [[클라인 고든 방정식|클라인 고든]] [[라그랑지안]]에서 <math>-\frac{\lambda}{4!} \phi^4</math> 항을 더한다. (λ는 4차원 [[시공]]에서 무차원 [[결합상수]]이다.) 결합상수(λ)가 무차원이기 때문에, 이 이론은 [[재규격화]]가 가능하다. 사승 상호작용은은 양자장론에서 가장 쉬운 이론 중 하나며, 각종 교과서에서 예제로 쓴다.

이 문서에서는 시공의 [[계량 부호수]]를 +−−−로 쓴다.

== 4승 상호작용 라그랑지안 ==
실수 스칼라장의 경우, 이론의 라그랑지안은 다음과 같다.

:<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -\frac{m^2}{2}\phi^2 -\frac{\lambda}{4!}\phi^4</math>

이 라그랑지안은 [[전반적 대칭]] '''Z'''<sub>2</sub> 대칭을 지닌다. 즉, φ를 −φ로 바꾸어도 라그랑지안은 바뀌지 않는다.

복소 스칼라장의 경우, 라그랑지안은 다음과 같다.

:<math>\mathcal{L}=\partial^\mu \phi^* \partial_\mu \phi -m^2 \phi^* \phi -\frac{\lambda}{4}(\phi^* \phi)^2</math>

''n''개의 실수 스칼라 마당이 있는 경우, 다음과 같이 일반화 할 수 있다.

:<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial^\mu \phi_a \partial_\mu \phi_a - \frac{m^2}{2}\phi_a \phi_a -\frac{\lambda}{8}(\phi_a \phi_a)^2.</math>

이 이론은 [[특수직교군|SO(n)]] 대칭을 지닌다. 하나의 복소 스칼라장은 두개의 실수 스칼라장과 동등하다.

이론의 [[안정성]]을 보장하가 위해, [[결합 상수]] λ는 양수이어야 한다.

4차원에서는 사승 상호작용은 [[양자전기역학]]과 같이 [[란다우 극]](Landau pole)을 가진다. 따라서 [[양자 자명성]](quantum triviality)으로 인하여, [[유효 이론]]으로만 존재한다.

== 정규양자화 ==
운동량 마당을 π라 부르자. φ와 π 둘 다 [[에르미트 행렬|에르미트 연산자]]다. [[슈뢰딩거 묘사]]를 쓰자. 동시(同時)에, 마당의 [[정규 교환자 관계|정규 교환자]]를 다음과 같이 정의한다.

:<math>[\phi(\vec{x}),\phi(\vec{y})]=[\pi(\vec{x}),\pi(\vec{y})]=0</math>
:<math>[\phi(\vec{x}),\pi(\vec{y})]=i \delta(\vec{x}-\vec{y}).</math>

이론의 [[해밀토니안]]은 ([[윅의 정리|윅 순서]]를 무시하면) 다음과 같다.

:<math>H=\int d^3x \left[{1\over 2}\pi^2+{1\over 2}(\nabla \phi)^2+{m^2\over 2}\phi^2+{\lambda \over 4!}\phi^4\right].</math>

[[운동량]] 공간으로 [[푸리에 변환]]하면, 다음을 얻는다.

:<math>\tilde{\phi}(\vec{k})=\int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi(\vec{x})</math>
:<math>\tilde{\pi}(\vec{k})=\int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\pi(\vec{x}).</math>

여기서 <math>\sqrt{k^2+m^2}</math>를 에너지 ''E''라고 부르자.

다음과 같이 [[파괴 연산자]](annihilation operator) ''a''를 정의한다.

:<math>a(\vec{k})=\left(E\tilde{\phi}(\vec{k})+i\tilde{\pi}(\vec{k})\right).</math>

그 [[에르미트 수반]] <math>a^\dagger</math>는 [[생성 연산자]]가 된다.

:<math>a^\dagger(\vec{k})=\left(E\tilde{\phi}(\vec{k})-i\tilde{\pi}(\vec{k})\right).</math>

생성 및 파괴 연산자를 통틀어 [[사다리 연산자]]라 부르자.
사다리 연산자의 [[교환자]]는 다음과 같다. (이는 비상대적 [[양자역학]]에서의 [[양자 조화 진동자]]와 동일한 구조이다.)

:<math>[a(\vec{k}_1),a(\vec{k}_2)]=[a^\dagger(\vec{k}_1),a^\dagger(\vec{k}_2)]=0</math>
:<math>[a(\vec{k}_1),a^\dagger(\vec{k}_2)]=(2\pi)^3 2E \delta(\vec{k}_1-\vec{k}_2).</math>

[[점유수]] (occupancy number) ''n''은 다음과 같다.
:<math>n^\dagger(\vec{k})=a^\dagger(\vec{k})a(\vec{k})</math>

총 입자 수 ''N''은 다음과 같다.

:<math>N=\int {d^3k \over (2\pi)^3}{1\over 2E}n(\vec{k}),</math>

이는 항상 양의 정수 혹은 0이다. 생성 연산자는 총 입자수를 1 증가시키고, 파괴 연산자는 1 감소시킨다.
[[해밀토니안]]을 사다리 연산자로 쓰면 다음과 같다.

:<math>H=\int {d^3k\over (2\pi)^3}{1\over 2E}E\left(a^\dagger(\vec{k})a(\vec{k})+(2\pi)^3 E\delta(\vec{0})\right)+</math>
:<math>+{\lambda\over 4!}\iiiint {d^3k_1\over (2\pi)^3 2E_1}{d^3k_2\over (2\pi)^3 2E_2}{d^3k_3\over (2\pi)^3 2E_3}{d^3k_4\over (2\pi)^3 2E_4} (2\pi)^3 \delta(\vec{k}_1+\vec{k}_2+\vec{k}_3+\vec{k}_4)\left(a^\dagger(\vec{k}_1)+a(\vec{k}_1)\right)\left(a^\dagger(\vec{k}_2)+a(\vec{k}_2)\right)\left(a^\dagger(\vec{k}_3)+a(\vec{k}_3)\right)\left(a^\dagger(\vec{k}_4)+a(\vec{k}_4)\right).</math>

첫 번째 항은 [[디랙 델타 함수|디랙 델타]]로 인해 [[발산]]한다. 그러나 ([[일반 상대론]]을 고려하지 않으면) [[우주상수|진공 에너지]]는 중요하지 않으므로, 무시한다. 두 번째 항도 발산하는데, 이를 고치기 위해서 [[윅 순서]](Wick order)를 가한다. (어차피 [[양자화]]할 때 순서가 모호하므로, 순서를 바꾸는 건 상관없다.) 따라서, 발산하는 부분을 제거하면 해밀토니안은 다음과 같이 된다.

:<math>{:H:} = \int d^3x \left[{1\over 2} {:\pi^2:} +{1\over 2} {:(\nabla \phi)^2:} +{m^2\over 2} {:\phi^2:} +{\lambda \over 4!} {:\phi^4:} \right]</math>

이 해밀토니안은 N|0>=0을 만족시키는 에너지가 0인 상태가 존재하는데, 이 상태를 [[진공]]이라 하자. [[해밀토니안]]에서, 2차항은 자유 해밀토니안, 나머지는 [[상호작용]] 해밀토니안이다. 자유 해밀토니안에서, 운동량이 <math>\vec{k}</math>인 입자는 에너지 <math>\sqrt{k^2+m^2}</math>를 가짐을 알 수 있다. 이는 [[특수상대론]]과 같다.

이 해밀토니안을 [[다이슨 급수]]로 전개하여 [[건드림이론]]으로 만들면, [[파인만 도표]]를 얻는다.

== 같이 보기 ==
* [[재규격화]]
* [[힉스 메커니즘]]
* [[골드스톤 보손]]
* [[콜먼-와인버그 모형]]

== 외부 링크 ==
* 't Hooft, G. The Conceptual Basis of Quantum Field Theory. ([http://www.phys.uu.nl/~thooft/lectures/basisqft.pdf ''online version''])

{{전거 통제}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:스핀이 0인 아원자 입자]]