사슬 조건 문서 원본 보기

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[[순서론]]에서 '''오름 사슬 조건'''(-條件, {{llang|en|ascending chain condition}}, 약자 ACC)과 '''내림 사슬 조건'''(-條件, {{llang|en|descending chain condition}}, 약자 DCC)은 [[부분 순서 집합]]이 만족시킬 수 있는 두 개의 유한성 조건이다.

== 정의 ==
[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 '''오름 사슬 조건'''이라고 한다.
* <math>P</math>의 부분 집합 가운데, 만약 <math>p_1\le p_2\le\cdots</math>가 주어진다면, <math>p_n=p_{n+1}=p_{n+2}=\cdots</math>인 <math>n</math>이 존재한다.
* <math>P</math>의 부분 집합 가운데, [[최소 원소]]를 가지는 [[사슬 (순서론)|사슬]]은 항상 [[유한 집합]]이다.
* <math>P</math>의 부분 집합 가운데, [[공집합]]이 아닌 것은 항상 [[극대 원소]]를 갖는다.

[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 '''내림 사슬 조건'''이라고 한다.
* <math>P</math>의 부분 집합 가운데, 만약 <math>p_1\ge p_2\ge\cdots</math>가 주어진다면, <math>p_n=p_{n+1}=p_{n+2}=\cdots</math>인 <math>n</math>이 존재한다.
* <math>P</math>의 부분 집합 가운데, [[최대 원소]]를 가지는 [[사슬 (순서론)|사슬]]은 항상 [[유한 집합]]이다.
* <math>P</math>의 부분 집합 가운데, [[공집합]]이 아닌 것은 항상 [[극소 원소]]를 갖는다.

== 성질 ==
모든 유한 [[부분 순서 집합]]은 오름 사슬 조건과 내림 사슬 조건을 만족시킨다.

[[전순서 집합]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 내림 사슬 조건을 만족시킨다.
* [[정렬 집합]]이다.

== 예 ==
자연수 <math>n</math>을, <math>n</math>개의 원소를 갖는 [[전순서 집합]]으로 간주하자. 그렇다면 [[분리합집합]]
:<math>\bigsqcup_{n\in\mathbb N}n</math>
은 오름 사슬 조건과 내림 사슬 조건을 만족시킨다. 그러나 이 부분 순서 집합에서, 오름 사슬의 길이의 [[상한]]과 내림 사슬의 길이의 [[상한]]은 둘 다 무한대이다.

[[집합]] <math>S</math>의 [[부분 집합]]들의 격자 <math>(\mathcal P(S),\subseteq)</math>를 생각하자. 그렇다면 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal P(S)</math>는 오름 사슬 조건을 만족시킨다.
* <math>\mathcal P(S)</math>는 내림 사슬 조건을 만족시킨다.
* <math>S</math>는 [[유한 집합]]이다.

== 역사 ==
이 조건들은 [[다비트 힐베르트]]와 [[에미 뇌터]], [[에밀 아르틴]]이 [[환 (수학)|환]]의 아이디얼들의 [[격자 (순서론)|격자]]를 연구하기 위하여 도입하였다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Chain condition}}
* {{매스월드|id=AscendingChainCondition|title=Ascending chain condition}}
* {{매스월드|id=DescendingChainCondition|title=Descending chain condition}}
* {{nlab|id=descending chain condition|title=Descending chain condition}}

== 같이 보기 ==
* [[뇌터 환]]
* [[아르틴 환]]

{{전거 통제}}

[[분류:순서론]]