사상 (수학) 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''사상'''(寫像, {{문화어|살, 범사}}, {{llang|en|morphism|모피즘}})은 [[수학적 구조]]를 보존하는 [[함수]]의 개념을 추상화한 것이다.
예를 들어 [[집합]]의 사상은 임의의 함수이며, [[군 (수학)|군]]의 사상은 [[군 준동형]], [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 사상은 [[연속 함수]]이다.

[[범주론]]은 대상과 사상으로 이루어진 [[범주 (수학)|범주]]를 연구하는 분야이다. [[구체적 범주]]에서 대상은 집합 위에 특정한 구조가 주어진 것이고 사상은 그 구조를 보존하는 함수이나, 일반적인 범주에서 대상은 꼭 집합일 필요가 없고 사상은 단순히 대상들 사이의 '화살표'일 뿐이다.

사상이라는 용어는 영어 map에 대응하기도 하는데, 이 경우 맥락에 따라 [[함수]](function)와 사상(morphism) 모두의 의미로 사용될 수 있다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>C</math>는 '대상'의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathrm{ob}(C)</math>와 '사상'의 모임 <math>\hom(C)</math>로 이루어져 있다. 각 사상은 '정의역'과 '공역'을 갖는데, 이들은 둘 다 <math>C</math>의 대상이다. 사상 <math>f</math>의 정의역이 <math>X</math>이고 공역이 <math>Y</math>일 때 이를 <math>f :\, X \to Y</math>로 나타낸다. <math>X</math>에서 <math>Y</math>로의 모든 사상의 모임을 <math>\hom_C(X,Y)</math> 혹은 간단히 <math>\hom(X,Y)</math>로 나타내고, 이를 <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이의 '''사상 모임'''({{llang|en|hom-class}})이라 하며, 이것이 집합인 경우에는 '''사상 집합'''({{llang|en|hom-set}})이라 한다. (이를 <math>\mathrm{Mor}_C(X,Y)</math> 혹은 <math>\mathrm{Mor}(X,Y)</math> 등으로 나타내는 저자도 있다.)

임의의 세 대상 <math>X,Y,Z</math>에 대해, <math>\hom(X,Y) \times \hom(Y,Z)</math>에서 <math>\hom(X,Z)</math>로 가는 [[이항연산]]이 존재하며, 이를 '''사상의 합성'''이라 부른다. 사상 <math>f :\, X \to Y</math>와 <math>g :\, Y \to Z</math>의 합성은 <math>g\circ f</math> 혹은 <math>gf</math>로 쓴다. (일부 저자는 <math>fg</math>로 쓰기도 한다.) 많은 경우 사상의 합성을 아래와 같은 [[가환 그림]]으로 나타낸다.
<div style="text-align: center;">[[파일:Commutative diagram for morphism.svg]]</div>

사상들은 다음의 두 [[공리]]를 만족해야 한다.
*([[결합법칙]]) <math>f : X \to Y,\, g : Y \to Z,\, h : Z \to U</math>이면 <math>h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f</math>.
*(항등사상) 임의의 대상 <math>X</math>에 대해 유일한 사상 <math>1_X:\, X \to X</math>이 존재하여, 임의의 사상 <math>f:\, A \to B</math>에 대해 <math>1_B \circ f = f = f \circ 1_A</math>이다. 여기에서 <math>1_X</math>를 '<math>X</math>의 항등사상'이라고 한다.

C가 [[구체적 범주]]일 때, 합성은 보통의 [[함수의 합성]]과 일치하며, 항등사상은 단순한 [[항등함수]]이다. 함수의 합성은 결합법칙을 만족하므로 위의 결합법칙 조건도 자명하게 성립한다.

== 사상의 종류 ==
=== 단사 사상 ===
{{본문|단사 사상}}
<math>f :\, X \to Y</math>가 사상이라 하자. 임의의 사상 <math>g_1, g_2 :\, Z \to X</math>에 대해 <math>f\circ g_1=f\circ g_2</math>가 <math>g_1 = g_2</math>를 [[논리적 함의|함의]]하면 <math>f</math>를 '''[[단사 사상]]'''이라 한다. 또한, <math>g\circ f={\rm id}_X</math>를 만족하는 사상 <math>g :\, Y \to X</math>가 존재하면 이를 <math>f</math>의 '''좌 역사상'''(left-inverse)이라 한다. 좌 역사상을 갖는 사상은 전부 단사이나, 그 역은 성립하지 않는다. 단사 사상이 좌 역사상을 가지면 이를 '''분해 단사 사상'''(split monomorphism)이라 한다. [[구체적 범주]]에서 좌 역함수를 갖는 함수는 [[단사 함수]]와 일치하므로 모든 [[단사 함수]]는 단사 사상이다. 정리하자면, [[단사 함수]] 조건은 단사 사상 조건보다는 강하지만 분해 단사 사상 조건보다는 약하다.

=== 전사 사상 ===
{{본문|전사 사상}}
쌍대 개념으로, 임의의 사상 <math>g_1, g_2 :\, Y \to Z</math>에 대해 <math>g_1\circ f=g_2\circ f</math>가 <math>g_1 = g_2</math>를 함의하면 <math>f</math>를 '''[[전사 사상]]'''이라 한다. 또한, <math>f\circ g={\rm id}_Y</math>를 만족하는 사상 <math>g :\, Y \to Z</math>가 존재하면 이를 f의 '''우 역사상'''(right-inverse)이라 한다. 우 역사상을 갖는 사상은 전부 전사이나, 그 역은 성립하지 않는다. 전사 사상이 우 역사상을 가지면 이를 '''분해 전사 사상'''(split epimorphism)이라 한다. [[구체적 범주]]에서 우 역함수를 갖는 함수는 [[전사 함수]]와 일치하며, 이 조건은 전사 사상 조건보다는 강하지만 분해 전사 사상 조건보다는 약하다. [[집합]]의 범주에서 모든 [[전사 함수]]가 우 역함수를 가진다는 것은 [[선택 공리]]와 동치이다.

*참고: 분해 단사 사상 <math>f</math>가 좌 역사상 <math>g</math>를 가지면, <math>g</math>는 <math>f</math>를 우 역사상으로 갖는 분해 전사 사상이다.

=== 자기 사상 ===
{{본문|자기 사상}}
정의역과 공역이 같은 사상을 '''[[자기 사상]]'''이라고 한다. [[동형 사상]] 가운데 자기 사상인 것을 '''[[자기 동형 사상]]'''이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[영 사상]]
* [[정규 단사 사상]]
* [[준동형]]

{{전거 통제}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:범주론]]