사면체수 문서 원본 보기

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'''사면체수'''(素數, {{lang|en|Tetrahedral number}})는 구를 최밀격자형태로 모아서 [[정사면체]]를 만들때 사용되는 구의 총수를 말한다.

사면체수의 수열은 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, … {{OEIS|A000292}}이다. [[영국]]의 [[정치인]] [[프레더릭 폴록]](Frederick Pollock)은 [[1850년]] 임의의 자연수는 최대 일곱 개의 사면체수의 합으로 표현 가능하다고 추측하였다. [[폴록의 사면체수 추측]]은 아직도 미해결이다.

제<math>n</math> 사면체수는 제1 삼각수에서부터 제<math>n</math> 삼각수까지의 합이고, 그 값 <math>N</math> 은 다시 <math>N = \frac {n(n+1)(n+2)} 6</math>으로 쓸 수 있다.

사면체수를 1항부터 써보면 다음과 같다.

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, …

나아가 한번 일반화시키면, 삼각수에서 사면체수를 알아낸 것과 마찬가지로 사면체수의 합으로 확장시키면 4차원 공간에서의 삼각수인 5포체수를 정의할 수 있다. 일반 차원의 공간(여기에서는 <math>r</math> 차원)까지 개념의 확장을 실시했을 때, 제<math>n</math> 번째의 그 수 <math>T_r(n)</math>은

:<math>T_r(n) = \prod^{r}_{k=1}\left(1+\frac{n-1}{k}\right) = \frac{n(n+1)\cdots(n+r-1)}{r!} = (-1)^{r-1}{-n \choose r}</math>

이다. 참고로, 서로 이웃한 즉, 연속한 두 [[단체|사면체수]]의 합은 [[사각뿔수]]이고, 연속한 두 [[정사각뿔|사각뿔]] 수의 합은 [[팔면체수]]가 된다. 그리고 1부터 n까지의 연속하는 모든 [[자연수]]의 합은 [[삼각수]], 1부터 연속하는 모든 삼각수의 합은 [[삼각뿔|사면체수]]이므로 1부터 연속하는 [[정사면체|사면체수]]를 모두 더한 값은 [[오포체수]]가 된다. [[세제곱수]]는 [[정육면체|육면체수]]이고, 이를 확장시킨 [[정팔포체|팔포체수]]는 [[네제곱수]]다([[초입방체]]). 마찬가지로, [[정팔면체|팔면체수]]를 확장하여 [[정십육포체|십육포체수]]라는 개념도 알 수 있다([[정축체]]).

== 같이 보기 ==
* [[사각수]]
* [[팔면체수]]와 [[십육포체수]]
* [[세제곱수]]와 [[네제곱수]]
* [[오포체수]]
* [[폴록의 사면체수 추측]]
* [[폴록의 팔면체수 추측]]
* [[다각수 정리]]
* [[사각뿔수]]

{{토막글|수론}}

[[분류:도형수]]