사면체 문서 원본 보기

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{{정다면체 정보|정다면체 정보 표|T}}

'''사면체'''(四面體)는 한 개의 [[꼭짓점]]에 세 개의 [[면 (기하학)|면]]이 만나고, 네 개의 [[삼각형]] 면으로 이루어진 3차원 [[다면체]]이다. '''정사면체'''(正四面體, tetrahedron)는 사면체 중에서 각각의 면이 [[정삼각형]]인 3차원 [[정다면체]]를 가리킨다. [[모서리]]의 수는 6개, [[꼭짓점]]의 수는 면의 수와 같은 4이다. 또한 정사면체는 모든 면이 정삼각형인 [[삼각뿔]]이며 [[쌍대다면체]]는 자기 자신이다. [[이면각]]은 약 70.53°이고 한 모서리에 만날 수 있는 정사면체 면의 개수는 3개, 4개, 5개이다. 이는 각각 [[정오포체]], [[정십육포체]], [[정육백포체]]에 해당하는데, 이것을 다른 방법으로 5개가 서로 교차해서 만나게 하면 [[거대 육백포체]]가 된다고 한다. [[정사면체-정팔면체 벌집|또한 정사면체 단독만으로는 3차원 유클리드 공간을 가득 채울 수 없어 벌집을 만들 수 없으나, 정팔면체와 조합한다면 3차원 공간을 가득 채울 수 있다.]] 이 벌집의 쌍대는 [[마름모십이면체 벌집]]인데, 마름모십이면체의 이면각은 120°이므로 3개가 모이면 [[깍은 정팔면체 벌집|벌집이 될 수 있다]].

== 공식 ==

한 변의 길이가 <math>a</math>인 정사면체의 [[부피]], [[겉넓이]], 높이는 다음과 같다.
:<math>V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3</math>
:
:<math>A=\sqrt3a^2</math>
:
:<math>h=\frac{\sqrt{6}a}{3}</math>

[[밑면]]과 [[모서리]] 사이의 [[각 (수학)|각]]은 <math>\arctan\sqrt{2}</math> (약 55°),

두 [[면 (기하학)|면]] 사이의 각([[이면각]])은 <math>\arccos\frac{1}{3} = \arctan2\sqrt{2}</math> (약 71°)이다.

모든 [[각뿔]]과 같이, 밑면의 넓이가 <math>A</math>이고 밑면에서 맞은편 [[꼭짓점]]까지의 거리가 <math>h</math>일 때, 부피는 <math>V = \frac{1}{3}Ah</math>이다.

또한, 사면체 ABCT의 부피는 다음과 같이 구해진다:


여기에서 <math>a</math>는 각 ATB의 크기, <math>b</math>는 각 BTC의 크기, 그리고 <math>c</math>는 각 CTA의 크기이다. 또한,

:<math>V = \frac{ (\mathbf{d}-\mathbf{a})\cdot(\mathbf{d}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{d}-\mathbf{c}) }{6}</math>
이다.
== 같이 보기 ==
* [[마름쇠]]
* [[사면체수]]

{{정다면체}}
{{다면체}}
{{전거 통제}}
{{토막글|기하학}}

[[분류:정다면체]]
[[분류:다면체]]