사드의 정리 문서 원본 보기

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[[실해석학]]에서 '''사드의 정리'''(Sard-定理, {{llang|en|Sard’s theorem}})는 [[매끄러운 함수]]는 거의 모든 곳에서 [[임계점 (수학)|임계점]]을 갖지 않는다는 정리다.

== 정의 ==
'''사드의 정리'''에 따르면, 두 <math>\mathcal C^r</math> [[미분 가능 다양체]] <math>M</math>, <math>N</math> 사이의 <math>\mathcal C^r</math> 함수 <math>f\colon M\to N</math>에 대하여, 만약
:<math>r>\max\{\dim M,\dim N\}</math>
이라면 <math>f</math>의 [[임계점 (수학)|임계점]](<math>\partial_\mu f=0</math>인 점)의 집합은 [[르베그 측도]]에 대하여 [[영집합]]이다.

== 증명 ==
국소좌표계를 사용하여, 편의상 <math>M\subset\mathbb R^{\dim M}</math>이고 <math>N=\mathbb R^{\dim N}</math>으로 가정할 수 있다. 따라서, 사드의 정리는 다음 명제로부터 쉽게 증명할 수 있다.<ref name="Jones">Frank Jones, ''Lebesgue Integration on Euclidian Space'', Jones and Bartlett Mathematics, 2001</ref>{{rp|496–497}}
# n차원 유클리드 공간의 열린 부분집합 G에서 <math>R^n</math>으로 가는 n변수 함수 f = (f<sub>1</sub>, ..., f<sub>n</sub>)가 있다고 하자.
# 만약, f가 미분가능한 G의 점들을 임의로 모은 집합 E에 대하여 적당한 음이 아닌 [[실수]] [[상수]] <math>\mu</math>에 대하여 f의 야코비안 행렬식이 <math>|J(f)|\le\mu</math>를 만족한다면, E에서 <math>\lambda^{*}(f(E)) \le\mu\lambda^{*}(E)</math> 이 성립한다.(여기서 <math>\lambda^{*}</math>는 [[외측도]]의 기호)
이 명제에서 <math>\mu=0</math>을 취하면 사드의 정리가 되므로, 이 명제를 증명하면 곧바로 사드의 정리를 증명할 수 있다. 이 명제는 다음과 같은 단계에 의해 증명할 수 있다.<ref name="Jones"/>{{rp|496–498}}
# 우선 E에서 임의의 양수 k에 대하여 적당한 양수 l이 존재하여 (0, l]에 속하는 모든 수 m에 대해 부등식 <math>\lambda^{*}(f(B(x, m))) \le (|J(f)| + k)\lambda(B(x, m))</math> 이 성립한다는 것을 증명한다.
# 다음으로, E가 [[유계]]라고 가정할 수 있음을 증명한다.
# E가 유계라 가정하면, 적당한 열린 집합 H가 존재하여 임의의 양수 k에 대해 E ⊂ H ⊂ G와 <math>\lambda(H) < \lambda^{*}(E) + k</math> 을 만족한다.
# 1을 이용하면 임의의 x ∈ E에 대해 적당한 l(x) > 0이 존재하여 (0, l(x)]에 속하는 모든 m에 대해 B(x, m) ⊂ H이고, <math>\lambda^{*}(f(B(x, m))) \le (\mu + k)\lambda(B(x, m))</math> 을 얻는다.
# E에 속하는 x와 (0, l(x)/5]에 속하는 m에 대하여 B(x, m)은 E에 대한 비탈리 조건을 만족한다. 따라서, [[비탈리 덮음 보조정리]]를 이용하면 F에 속하는 적당한 교차하지 않는 [[열린 공]]들 B<sub>1</sub>, B<sub>2</sub>, ...에 대하여 어떤 영집합을 제외하면 <math>E \subset \bigcup^{\infty}_{a=1} B_a</math> 이 성립한다.
# 이상으로부터 <math>\lambda^{*}(f(E)) \le (\mu+k)(\sum^{s-1}_{a=1}\lambda(B_a) + \sum^{\infty}_{a=s}5^n\lambda(B_a))</math> 이 성립함을 증명한다.
# 이상에서 분명히 <math>\sum^{\infty}_{a=1}\lambda(B_a) \le \lambda(H)</math> 이므로, 6의 [[부등식]]에서 s를 [[무한대]]로 가져가는 [[극한]]을 취하면 <math>\lambda^{*}(f(E)) \le (\mu+k)\lambda(H) < (\mu+k)(\lambda^{*}(E) + k)</math> 을 얻는데, k는 임의이므로 증명이 끝난다.

== 역사 ==
[[미국]]의 [[수학자]] [[아서 사드]]가 1942년에 증명하였고,<ref>{{저널 인용
  | first=Arthur
  | last=Sard
  | title=The measure of the critical values of differentiable maps
  | journal=Bulletin of the American Mathematical Society
  | volume=48
  | year=1942
  | issue=12
  | pages=883–890
  | mr= 0007523
  | zbl= 0063.06720
  | doi=10.1090/S0002-9904-1942-07811-6
}}</ref> 1965년에 일반화하였다.<ref>{{저널 인용
  | first=Arthur
  | last=Sard
  | title=Hausdorff Measure of Critical Images on Banach Manifolds
  | url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1965-01_87_1/page/n159
  | journal=American Journal of Mathematics
  | volume=87
  | 날짜=1965
  | pages=158–174
  | doi=10.2307/2373229
  | issue=1
  | jstor=2373229
  | mr=0173748
  | zbl=0137.42501
}}</ref><ref>{{저널 인용
  | first=Arthur
  | last=Sard
  | author-link = 
  | title = Errata to ''Hausdorff measures of critical images on Banach manifolds''
  | journal=[[American Journal of Mathematics]]
  | volume=87
  | year=1965
  | pages=158–174
  | issue=3
  | jstor = 2373074
  | doi = 10.2307/2373229
  | mr = 0180649
  | zbl = 0137.42501
}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Sard theorem}}
* {{매스월드|id=SardsTheorem|title=Sard's theorem}}

[[분류:보조정리]]
[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:측도론 정리]]
[[분류:미분기하학 정리]]
[[분류:특이점 이론]]