사다리꼴 공식 (미분방정식) 문서 원본 보기

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[[수치해석학]]과 [[계산과학]]에서 '''사다리꼴 법칙'''은 적분을 계산하기 위한 [[사다리꼴 공식]]에서 파생된 [[상미분방정식의 수치해석적 방법]]이다. 사다리꼴 공식은 [[룽게-쿠타 방법]]과 [[선형 다단계 방법]] 모두로 생각할 수 있는 암시적 이차 방법이다.

== 방법 ==
아래의 미분방정식을 푼다고 가정하자.
: <math> y' = f(t,y) </math>
사다리꼴 공식은 다음 공식으로 주어진다
: <math> y_{n+1} = y_n + \tfrac12 h \Big( f(t_n,y_n) + f(t_{n+1},y_{n+1}) \Big)</math>
이때 <math> h = t_{n+1} - t_n </math>는 단계 크기이다.<ref>{{harvnb|Iserles|1996|p=8}}; {{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=324}}</ref>

이것은 암시적 방법이다: 값 <math> y_{n+1} </math>은 등식의 양 변에 나타나고, 실제로 계산하려면 대체로 비선형인 방정식을 풀어야 한다. 방정식을 푸는 가능한 방법은 [[뉴턴 방법]]이 있다. 뉴턴 방법으로 얻은 초기 추측을 사용하여서 오일러 방법으로 해를 충분히 가깝게 근사할 수 있다.<ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=324}}</ref>

== 동기 ==
미분방정식을 <math> t_n </math>에서 <math> t_{n+1} </math>까지 적분하면 다음을 얻을 수 있다:
: <math> y(t_{n+1}) - y(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t,y(t)) \,\mathrm{d}t </math>
[[사다리꼴 공식]]을 통해서 오른쪽의 적분은 다음과 같이 근사할 수 있다:
: <math> \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t,y(t)) \,\mathrm{d}t \approx \tfrac12 h \Big( f(t_n,y(t_n)) + f(t_{n+1},y(t_{n+1})) \Big).</math>
이제 두 공식을 결합하고 <math> y_n \approx y(t_n) </math>과 <math> y_{n+1} \approx y(t_{n+1}) </math>을 사용하면, 상미분방정식을 풀기 위한 사다리꼴 공식을 얻는다.<ref>{{harvnb|Iserles|1996|p=8}}; {{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=324}}</ref>

== 오차 해석 ==
미분방정식을 풀기 위한 사다리꼴 공식의 [[절단 오차|지역 절단 오차]] <math> \tau_n </math>가 다음과 같이 유계를 가질 수 있다는 것은 구적법의 사다리꼴 공식의 오차 해석을 따른다:
: <math> |\tau_n| \le \tfrac1{12} h^3 \max_t |y'''(t)|. </math>
따라서 사다리꼴 공식은 이 차 방법이다. 이 결과는 단계 크기 h가 0으로 갈 때 전역 오차가 <math> O(h^2) </math>라는 것을 보일 때 쓰일  수 있다(자세한 부분은 [[점근표기법|점근 표기법]] 참조).<ref>{{harvnb|Iserles|1996|p=9}}; {{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=325}}</ref>

== 안정성 ==
[[파일:Stability_region_for_trapezoidal_method.svg|섬네일|핑크색 영역은 사다리꼴 방법의 안정성 영역이다.]]
사다리꼴 공식의 [[딱딱한 방정식|절대 안정 영역]]은 다음과 같다:
: <math> \{ z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(z) < 0 \}. </math>
이것은 복소평면의 왼쪽 절반을 포함하기 때문에 사다리꼴 공식은 A-안정적이다. 이차 Dahlquist 장벽은 사다리꼴 공식은 A-안정 선형 다단계 방법 중에 가장 정확한 방법이라는 것을 설명한다. 더 정확히는 A-안정한 선형 다단계 방법은 최대 이차까지만 가질 수 있고, 이차 A-안정 선형 다단계 방법의 오차 상수는 사다리꼴 공식의 오차상수보다 나을 수 없다.<ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=324}}</ref>

사실 사다리꼴 공식의 절대안정 영역은 정확히 평면의 왼쪽 절반이다. 이것은 사다리꼴 공식을 선형 테스트 방정식 ''y''<nowiki/>' = λ''y''에 적용하면 정확한 해가 0이 되는 경우에만 수치해가 0으로 감소한다는 것을 의미한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{인용| last1=Iserles | first1=Arieh | author1-link=Arieh Iserles | title=A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-55655-2 | year=1996}}.
* {{인용| last1=Süli | first1=Endre | last2=Mayers | first2=David | title=An Introduction to Numerical Analysis | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=0521007941 | year=2003}}.

== 같이 보기 ==
* [[크랭크-니콜슨 방법]]
[[분류:룽게-쿠타 방법]]