사각뿔수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Square pyramidal number.svg|섬네일|4번째 피라미드 수 1+2<sup>2</sup>+3<sup>2</sup>+4<sup>2</sup>=30는 위와 같은 사각뿔을 이루는 공의 수와 같다.]] 
[[수학]]에서 '''사각뿔수'''({{llang|en|square pyramidal number}})는 [[사각뿔]] 모양으로 배열된 공의 수를 나타내며, '''처음 몇 자연수의 제곱합'''을 나타내는 수다. 또한 [[사각수]]의 [[부분합]] 수열을 이룬다.

== 정의 ==
<math>n</math>번째 (3차원) 사각뿔수 <math>\operatorname{Pyr}(3,4;n)</math>는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\operatorname{Pyr}(3,4;n)=\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6=\frac 13n^3+\frac 12n^2+\frac 16n</math>
{{증명}}
항등식
:<math>(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1</math>
에 <math>k=1,2,3,\cdots,n</math>을 대입하면 다음을 얻는다.
:<math>2^3-1^3=3\times1^2+3\times 1+1</math>
:<math>3^3-2^3=3\times2^2+3\times 2+1</math>
:<math>4^3-3^3=3\times3^2+3\times 3+1</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1</math>
이들을 합하면 다음을 얻는다.
:<math>\begin{align}(n+1)^3-1
&=3(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)+3(1+2+3+\cdots+n)+n\\
&=3\sum_{k=1}^nk^2+\frac{3n(n+1)}2+n
\end{align}</math>
이를 정리하면 사각뿔수의 일반항을 얻는다.
{{증명 끝}}
1만보다 작은 사각뿔수는 (0번째 항부터 시작할 경우) 다음과 같다. {{OEIS|A000330}}
: [[0]], [[1]], [[5]], [[14]], [[30]], [[55]], [[91]], [[140]], [[204]], [[285]], [[385]], [[506]], [[650]], [[819]], [[1015]], [[1240]], [[1496]], [[1785]], [[2109]], [[2470]], [[2870]], [[3311]], [[3795]], [[4324]], [[4900]], [[5525]], [[6201]], [[6930]], [[7714]], [[8555]], [[9455]], …

== 성질 ==
=== 항등식 ===
다음과 같은 항등식이 성립한다.<ref name="Conway">{{서적 인용
|성1=Conway
|이름1=John H.
|성2=Guy
|이름2=Richard K.
|제목=The Book of Numbers
|언어=en
|출판사=Copernicus
|위치=New York, NY
|날짜=1996
|isbn=978-1-4612-8488-8
|doi=10.1007/978-1-4612-4072-3
}}</ref>
:<math>\operatorname{Pyr}(3,4;n)=\binom{n+2}3+\binom{n+1}3</math>
즉, 사각뿔수는 두 이웃하는 [[사면체수]]의 합과 같다. 이는 사각수가 두 이웃하는 [[삼각수]]의 합인 것과 유사하다.

다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\operatorname{Pyr}(3,4;n)=\frac 14\binom{2n+2}3</math>
즉, 사각뿔수는 (상수배를 무시하면) 짝수째 사면체수와 일치한다.

다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>\operatorname{Pyr}(3,4;n)=\binom{n+3}4-\binom{n+1}4</math>
즉, 사각뿔수는 한 항을 사이에 둔 두 [[오포체수]]의 차와 같다.

=== 생성 함수 ===
사각뿔수의 [[생성 함수]]는 다음과 같다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty\operatorname{Pyr}(3,4;n)x^n=\frac{x(x+1)}{(x-1)^4}</math>

=== 수론적 성질 ===
[[삼각수]]인 사각뿔수와 이들의 사각뿔수로서의 번호는 정확히 각각 다음과 같다.
:[0,] 1, 55, 91, 208335 {{OEIS|A039596}}
:[0,] 1, 5, 6, 85 {{OEIS|A053611}}

[[제곱수]]인 사각뿔수는 0, 1, 4900이 유일하다. 이들은 각각 0, 1, 24번째 사각뿔수이다.

사각뿔수가 [[세제곱수]] 또는 [[네제곱수]] 또는 [[다섯제곱수]]인 경우는 0, 1뿐이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SquarePyramidalNumber|title=Square pyramidal number}}

[[분류:도형수]]
[[분류:피라미드]]