빠른 스위핑 방법 문서 원본 보기

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응용수학에서, '''빠른 스위핑 방법'''({{llang|en|fast sweeping method}})는 [[아이코날 방정식]]의 [[경계값 문제]]를 해결하는 [[수치해석적 방법]]이다.

: <math>|\nabla u(\mathbf{x})| = \frac 1 {f(\mathbf{x})} \text{ for } \mathbf{x} \in \Omega 
</math>

: <math>u(\mathbf{x}) = 0 \text{ for } \mathbf{x} \in \partial \Omega  
</math>

이 때, <math>\Omega </math>는 <math>\mathbb{R}^n</math>에 있는 열린 집합이고, <math>f(\mathbf{x})</math>는 양의 값을 가지는 함수이며, <math>\partial \Omega </math>는 열린 집합의 잘 동작하는 경계이고 <math>|\cdot|</math>은 <math>L^2</math> 노름이다.

빠른 스위핑 방법은 풍상차분<!--풍상차분법, upwind difference-->을 이분화로 사용하고 직사각형 격자에서 이산화된 아이코날 방정식을 풀 때에 다른 스위핑 정렬<!--it's ordering NOT sorting-->과 [[가우스-자이델 방법|가우스-자이델 반복]]을 사용하는 반복적 방법이다. 이 접근은 [[제어이론]]을 기반하고 있다. 제어이론에도 빠른 스위핑 방법이 있지만, 이 방법은 [[캘리포니아 대학교 어바인]]의 응용수학자 Hongkai Zhao가 처음으로 아이코날 방정식을 위해 고안한 방법이다.<ref>{{저널 인용|last=Zhao|first=Hongkai|date=2005-01-01|title=A fast sweeping method for Eikonal equations|url=http://www.ams.org/mcom/2005-74-250/S0025-5718-04-01678-3/|journal=Mathematics of Computation|volume=74|issue=250|pages=603–627|doi=10.1090/S0025-5718-04-01678-3|issn=0025-5718}}</ref>

스위핑 알고리즘은 아이코날 방정식에 대응하는 [[특성곡선법|특성 곡선]]이 방향을 매우 자주 바꾸지 않을 때, 매우 효율적이다.<ref name="chacon_twoscale">A. Chacon and A. Vladimirsky. Fast two-scale methods for Eikonal equations. SIAM J. on Scientific Computing 34/2: A547-A578, 2012. [https://arxiv.org/abs/1110.6220]</ref> 

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[빠른 행진 방법]]

{{토막글|수학}}

[[분류:수치미분방정식]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:쌍곡 편미분방정식]]