비 해석적 매끄러운 함수 문서 원본 보기

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수학에서, [[매끄러운 함수]](무한히 미분가능한 함수)와 [[해석함수]] 는 가장 중요한 [[함수]]의 유형이다. 어떠한 실수 인자를 가지는 해석함수는 매끄럽다는것은 쉽게 증명된다. 아래의 [[Counterexample|반례]]와 같이 그 역은 참이 아니다

[[콤팩트 지지]] 매끄러운 함수 의 중요한 적용 중 하나는 [[로랑 슈바르츠]]의 [[분포 (해석학)|분포]]이론과 같은 [[일반화 함수]]이론에서 중요한 소위 말하는 [[완화자]]의 생성의 역할을 하는 것이다.

매끄럽지만 비 해석적인 함수의 존재는 [[미분기하학]]과 [[복소다양체|해석 기하학]]의 핵심적인 차이점을 나타낸다. [[층 이론]]에서, 이 차이점은 다음과 같이 설명할 수 있다: 해석적인 경우와 비교해서 [[매끄러운 다양체|미분가능한 다양체]]에서 미분가능한 함수의 층은 [[단사층]]이다.

다음 함수는 보통 미분가능한 다양체에서 단위 분할을 만들 때 사용된다.

== 함수의 예시 ==

=== 함수의 정의 ===
[[파일:Non-analytic_smooth_function.png|오른쪽|프레임|문서에서 다뤄지는 비 해석적 매끄러운 함수이다.]]
다음의 모든 실수 ''x''에서 정의된 함수를 생각해보자:
: <math>f(x)=\begin{cases}\exp(-1/x)&\text{if }x>0,\\ 0&\text{if }x\le0,\end{cases}</math>


=== 이 함수는 매끄럽다 ===
함수 ''f''는 [[실선]]의 모든 점 ''x''에서 모든 차수의 연속적인 미분이 존재한다:
: <math>f^{(n)}(x) = \begin{cases}\displaystyle\frac{p_n(x)}{x^{2n}}\,f(x) & \text{if }x>0, \\ 0 &\text{if }x \le 0,\end{cases}</math>
<span>여기서 </span>''p<sub>n</sub>''(''x'')은 ''p''<sub>1</sub>(''x'')&nbsp;=&nbsp;1과 다음 수식에서 재귀적으로 주어진 n − 1차 다항식이다:
: <math>p_{n+1}(x)=x^2p_n'(x)-(2nx-1)p_n(x),\qquad n\in\mathbb{N}.</math>

==== 증명의 개요 ====
증명은 [[부호 (수학)|음이 아닌]] [[정수]] ''m''에 대한 다음의 사실로부터 전개된다:
: <math>\lim_{x\searrow0} \frac{e^{-1/x}}{x^m} = 0.</math>
이것은 모든 ''f''<sup>&nbsp;(''n'')</sup> 은 연속이고 ''x''&nbsp;=&nbsp;0에서 미분가능하다는것을 다음의 이유로 내포한다:
: <math>\lim_{x\searrow0} \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0)}{x-0} = \lim_{x\searrow0} \frac{p_n(x)}{x^{2n+1}}\,e^{-1/x} = 0.</math>

==== 상세 증명 ====
[[지수 함수|지수 함수의 멱급수 표현]]에 의해, 우리는 0을 포함한 모든 자연수 ''m''에 대하여 다음과 같은 식을 얻는다:
: <math>\frac1{x^m}=x\Bigl(\frac1{x}\Bigr)^{m+1}\le (m+1)!\,x\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\Bigl(\frac1x\Bigr)^n
=(m+1)!\,x\exp\Bigl(\frac1x\Bigr),\qquad x>0,</math>
<span>왜냐하면 </span>''n''&nbsp;≠&nbsp;''m''&nbsp;+&nbsp;1인 모든 양의 항들이 더해지기 때문이다. 따라서 [[지수 함수]]의 [[함수식]]을 이용하면 다음과 같다:
: <math>\lim_{x\searrow0}\frac{e^{-1/x}}{x^m}
\le (m+1)!\lim_{x\searrow0}x=0.</math>
이제 [[수학적 귀납법]]으로 f 의 n차 미분에 대한 공식을 증명한다..[[연쇄 법칙]]과 [[미분|역함수의 미분 법칙]], 지수함수의 도함수가 다시 도함수인 성질을 이용해서 ''x ''> 0이고, ''p''1(x)가 0차 다항식일 때 ''f''의 일계도함수의 식이 성립함을 볼 수 있다. 당연히 ''f''의 일계도함수는 ''x''&nbsp;<&nbsp;0에서 0이다. ''x'' = 0에서 f의 우측 편미분이 0인 것을 보이면 된다. 위의 극한을 사용하면 다음을 알 수 있다:
: <math>f'(0)=\lim_{x\searrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\searrow0}\frac{e^{-1/x}}{x}=0.</math>
''n''에서 ''n''&nbsp;+&nbsp;1으로 가는 과정은 유사하다. ''x''&nbsp;>&nbsp;0일 때 우리는 다음 도함수를 얻을 수 있다:
: <math>\begin{align}f^{(n+1)}(x)
&=\biggl(\frac{p'_n(x)}{x^{2n}}-2n\frac{p_n(x)}{x^{2n+1}}+\frac{p_n(x)}{x^{2n+2}}\biggr)f(x)\\
&=\frac{x^2p'_n(x)-(2nx-1)p_n(x)}{x^{2n+2}}f(x)\\
&=\frac{p_{n+1}(x)}{x^{2(n+1)}}f(x),\end{align}</math>
<span>여기서</span>'' p''<sub>''n''+1</sub>(''x'')은 ''n''&nbsp;= (''n''&nbsp;+&nbsp;1)&nbsp;&#x2212;&nbsp;1차 다항식이다. 물론 ''x'' < 일 때, ''f''의 (''n''&nbsp;+&nbsp;1)계도함수는 0이다. ''x'' = 0일 때 ''f''<sup>&nbsp;(''n'')</sup>의 우미분계수는 다음과 같다:
: <math>\lim_{x\searrow0} \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0)}{x-0} = \lim_{x\searrow0} \frac{p_n(x)}{x^{2n+1}}\,e^{-1/x} = 0.</math>

=== 이 함수는 비 해석적이다 ===
앞에서 봤듯이 함수 <span>''f''는</span> 매끄럽고 원점에서 모든 미분계수는&nbsp;0이다. 따라서 원점에서 ''f''의 [[테일러 급수]]는 항상 [[0]]이다.
: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{0}{n!}x^n = 0,\qquad x\in\mathbb{R},</math>
그리고 테일러 급수는 x > 0에서 ''f''(''x'')와 같지 않다. 따라서 ''f''는 원점에서 [[해석적]]이지 않다. 이 과정은 실수가 아닌 복소수를 변수로 가지는 미분 가능한 [[복소해석학|복소함수]]에서는 일어나지 않는다. 사실 모든 [[정칙함수의 해석성]]이기 때문에 ''f''가 무한히 미분가능함에도 불구하고 해석적이지 않다는 점은 실해석학과 복소해석학의 가장 큰 차이점을 나타낸다.

함수 ''f''가 실수 선에서 모든 차수의 도함수를 가지고 있지만, 양의 실수 절반 ''x ''> 0에서부터 다음의 함수와 같은 복소평면에서 ''f''의 [[해석적 연속|해석적 연속성]]을 보라.
: <math>\mathbb{C}\setminus\{0\}\ni z\mapsto \exp(-1/z)\in\mathbb{C},</math>
이 함수는 [[본질적 특이점]]을 가지고 있다. 따라서 연속적이지도 않으며, 덜 해석적이다. [[피카르의 정리]]에 의해서 이것은 원점 주변에서 무한히 자주 0을 제외한 모든 복소수를 얻는다.

=== 매끄러운 전이 함수 ===
[[파일:Smooth_transition_from_0_to_1.png|오른쪽|프레임|여기서 정의한 0에서 1까지의 매끄러운 전이함수 ''g''를 나타낸 그래프이다.]]

: <math>g(x)=\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)},\qquad x\in\mathbb{R},</math>
이 함수는 엄밀히 실수 전체에서 양수이기 때문에 ''g''는 매끄럽다. 게다가 x ≤ 0에서 ''g''(''x'')&nbsp;=&nbsp;0이고 x ≥ 1에서 ''g''(''x'')&nbsp;=&nbsp;1이다. 따라서 따라서 이 함수는 [[단위 구간]] [0,1]에서 0에서 1까지 매끄러운 전이를 제공한다. ''a'' < ''b''인 실수 구간 <nowiki>[</nowiki>''a'',''b''<nowiki>]에서 매끄러운 전이를 갖기 위해서는 다음의 함수를 보자</nowiki>
: <math>\mathbb{R}\ni x\mapsto g\Bigl(\frac{x-a}{b-a}\Bigr).</math>
실수 {{개행 금지|''a'' < ''b'' < ''c'' < ''d''}}에서, 다음의 매끄러운 함수
: <math>\mathbb{R}\ni x\mapsto g\Bigl(\frac{x-a}{b-a}\Bigr)\,g\Bigl(\frac{d-x}{d-c}\Bigr)</math>
는 닫힌 구간 <nowiki>[</nowiki>''b'',''c''<nowiki>]에서 1이며</nowiki> 구간 (''a'',''d'') 외부에서 0이된다.

== 어떤 점도 해석적이지 않은 매끄러운 함수 ==
[[파일:Smooth_non-analytic_function.png|오른쪽|섬네일|여기서 나오는 모든 점에서 매끄럽지만 어떤 점에서도 해석적이지 않는 함수의 근사이다. 이 부분합은 k=2<sup>0</sup>에서 2<sup>500</sup>까지를 취한다.]]
무한히 미분 가능하지만 어떤 점에서도 비 해석적인 더 과정적인 예는 다음과 같이 푸리에 급수의 평균을 이용하여 만들 수 있다. ''A''&nbsp;:=&nbsp;{&nbsp;2<sup>''n''</sup> : ''n''&nbsp;∈&nbsp;'''N'''&nbsp;}를 2의 모든 거듭제곱의 집합이라고 하자, 그리고 모든 ''x''&nbsp;∈&nbsp;'''R '''에서 정의하자
: <math>F(x):=\sum_{k\in A} e^{-\sqrt{k}}\cos(kx)\ .</math>
여기서  급수 <math>\sum_{k\in A} e^{-\sqrt{k}}k^n</math> 는 모든 ''n''&nbsp;∈&nbsp;'''N'''에서 수렴하며, 이 함수는 [[바이어슈트라스 M-판정법]]의 표준 유도 응용에 의해 쉽게 C<sup>∞</sup>의 원소라는 것을 알 수 있어서 각 급수의 도함수의 [[균등수렴]]을 증명할 수 있다. 게다가 π의 어떠한 [[이진 유리수]]배에 대해서, 즉 p ∈ '''N'''이고 ''q'' ∈ A 이며, n ≥ 4 이고 n > q인 모든 n ∈ A 차수의 도함수 에서인 ,  모든 ''x''&nbsp;:=&nbsp;π·''<sup>&nbsp;p</sup>/<sub>q</sub>''에서 다음을 얻을 수 있다.
: <math>F^{(n)}(x):=\sum_{k\in A} e^{-\sqrt{k}} k^n\cos(kx)  = \sum_{k\in A\atop k>q} e^{-\sqrt{k}} k^n+\sum_{k\in A\atop k\le q} e^{-\sqrt{k}} k^n\cos(kx) \ge  e^{-\sqrt{n}} n^n  + O(q^n)\quad  (\mathrm{as}\; n\to \infty)</math>
여기서 우리는 모든 ''k''&nbsp;>&nbsp;''q''에서 cos(kx) = 1이라는 사실을 사용했다. 결과적으로 그러한 어떤 ''x''&nbsp;∈&nbsp;'''R'''에서
: <math>\limsup_{n\to\infty} \left(\frac{|F^{(n)}(x)|}{n!}\right)^{1/n}=+\infty\, ,</math>
[[코시-아다마르 정리]]에 의해서 x에서 ''F''의 [[수렴반경]]은 0이 된다. 함수의 해석성의 집합은 열린집합이고 이진 유리수들은 밀도가 높기 때문에 ''F''는 '''R'''의 어떠한 점에서도 해석적이지 않다는 결론을 내릴 수 있다.

== 테일러 급수의 적용 ==
실수 또는 복소수의 모든 수열 α<sub>0</sub>, α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, .&nbsp;.&nbsp;. 에 대해서, 다음은 이 수들을 수직선의 원점에서 미분계수로 가지는 매끄러운 함수 ''F''가 존재함을 나타낸다.<ref>Exercise 12 on page 418 in [//en.wikipedia-mirror.org/wiki/Walter_Rudin Walter Rudin], ''Real and Complex Analysis''.</ref> 특히 모든 수열의 숫자는 매끄러운 함수의 [[테일러 급수]]의 계수로 나타날 수 있다. 이 결과는 [[에밀 보렐]] 이후 [[보렐의 보조정리]]로 알려져 있다.

위에서 정의한 매끄러운 전이 함수 g를 사용하여 정의 하면ː
: <math>h(x)=g(2+x)\,g(2-x),\qquad x\in\mathbb{R}.</math>
이 함수 ''h''역시 매끄럽다; 이 함수는 닫힌 구간 <nowiki>[</nowiki>&#x2212;1,1<nowiki>]에서는 1이고</nowiki> 열린 구간 (&#x2212;2,2)의 외부에서는 사라진다. ''h''를 사용하여 0을 포함한 모든 자연수에 대하여 매끄러운 함수를 정의한다ː
: <math>\psi_n(x)=x^n\,h(x),\qquad x\in\mathbb{R},</math>
이는 구간 [−1,1]에서 [[단항식]] ''x<sup>n</sup>''과 일치하고 구간 (&#x2212;2,2) 외부에서는 사라진다. 따라서 원점에서 ''ψ<sub>n</sub>''의 ''k''차 미분계수는 다음을 만족한다
: <math>\psi_n^{(k)}(0)=\begin{cases}n!&\text{if }k=n,\\0&\text{otherwise,}\end{cases}\quad k,n\in\mathbb{N}_0,</math>
그리고 [[최대 최소의 정리|최대 최소 정리]]는 ''ψ<sub>n</sub>''과 ''ψ<sub>n</sub>''의 모든 도함수들이 유계함수라는 것을 내포한다. 따라서 상수
: <math>\lambda_n=\max\bigl\{1,|\alpha_n|,\|\psi_n\|_\infty,\|\psi_n^{(1)}\|_\infty,\ldots,\|\psi_n^{(n)}\|_\infty\bigr\},\qquad n\in\mathbb{N}_0,</math>
of ''ψ<sub>n</sub>''의 [[균등 수렴 위상]]과 그것의 첫번째 ''n'' 도함수를 포함해서 잘 정의된 실수이다. 크기를 조절한 함수를 정의한다ː
: <math>f_n(x)=\frac{\alpha_n}{n!\,\lambda_n^n}\psi_n(\lambda_n x),\qquad n\in\mathbb{N}_0,\;x\in\mathbb{R}.</math>
연쇄 법칙을 반복적으로 적용한다
: <math>f_n^{(k)}(x)=\frac{\alpha_n}{n!\,\lambda_n^{n-k}}\psi_n^{(k)}(\lambda_n x),\qquad k,n\in\mathbb{N}_0,\;x\in\mathbb{R},</math>
이전에 계산한 0에서 ''ψ<sub>n</sub>''의 ''k''차 미분계수를 사용하면
: <math>f_n^{(k)}(0)=\begin{cases}\alpha_n&\text{if }k=n,\\0&\text{otherwise,}\end{cases}\qquad k,n\in\mathbb{N}_0.</math>
우리가 구하고자 하는 함수는 다음과 같다ː
: <math>F(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x),\qquad x\in\mathbb{R},</math>
이것은 잘 정의되어 있고, 순차적으로 무한히 미분할 수 있다.<ref>See e.g.</ref> 이를 위해 모든 ''k''에 대해서 보자
: <math>\sum_{n=0}^\infty\|f_n^{(k)}\|_\infty
\le \sum_{n=0}^{k+1}\frac{|\alpha_n|}{n!\,\lambda_n^{n-k}}\|\psi_n^{(k)}\|_\infty
+\sum_{n=k+2}^\infty\frac1{n!}
\underbrace{\frac1{\lambda_n^{n-k-2}}}_{\le\,1}
\underbrace{\frac{|\alpha_n|}{\lambda_n}}_{\le\,1}
\underbrace{\frac{\|\psi_n^{(k)}\|_\infty}{\lambda_n}}_{\le\,1}
<\infty,</math>
남은 무한급수는 [[비판정법]]에 의해 수렴한다

== 고 차원으로 적용 ==
[[파일:Mollifier_Illustration.svg|오른쪽|섬네일|280x280픽셀|일차원에서의 함수 &#x3A8;<sub>1</sub>(''x'')를 나타낸 것이다 ]]
모든 반경 ''r''&nbsp;>&nbsp;0에 대하여,
: <math>\mathbb{R}^n\ni x\mapsto \Psi_r(x)=f(r^2-\|x\|^2)</math>
[[노름|유클리드 노름]] ||''x''||과 함께 ''n''차원 [[유클리드 공간]]에서'' ''반경이 ''r''인 공을 지지집합으로 가지는 매끄러운 함수를 정의하지만 <math>\Psi_r(0)>0</math>.

== 같이 보기 ==
* [[범프 함수]]
* [[파비우스 함수]]
* [[플랫 함수]]
* [[Mollifier|완화자]]

== 출처 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{플래닛매스|urlname=InfinitelydifferentiableFunctionThatIsNotAnalytic|제목=Infinitely-differentiable function that is not analytic}}

[[분류:매끄러운 함수]]