비 판정법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''비 판정법'''(比判定法, {{llang|en|ratio test}}) 또는 '''달랑베르 비 판정법'''({{llang|en|d'Alembert's ratio test}}) 또는 '''코시 비 판정법'''({{llang|en|Cauchy ratio test}})은 양의 [[실수]] 항의 [[급수 (수학)|급수]]의 [[수렴]] 여부를 가리는 [[수렴 판정법]]이다. 실수 항의 급수의 [[절대 수렴]] 여부를 판단할 수도 있다. 이웃하는 두 항의 비의 [[극한]]을 사용한다. 공비에 따른 [[기하급수]]의 수렴 여부에 기반한다. 다른 급수를 “표준 급수”로 삼아 더 정교한 판정법을 만들 수 있다. 그러나 이렇게 만든 판정법은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다. 즉, 임의의 급수에 대하여, 이 급수에 기반한 판정법이 효력을 잃는 급수를 구성할 수 있다.

== 정의와 증명 ==
양의 실수 항 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>가 주어졌다고 하자 (<math>a_n>0\forall n\ge0</math>). 또한, [[극한]]
:<math>L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\in[0,\infty]</math>
가 존재한다고 하자. '''비 판정법'''에 따르면, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>L<1</math>이라면, <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 수렴한다.
* 만약 <math>L>1</math>이라면, <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 발산한다.
{{증명}}
만약 <math>L<1</math>이며, <math>L<q<1</math>이라면, 어떤 <math>N\ge0</math> 및 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}<q</math>
이다. 따라서 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여,
:<math>a_n=a_N\cdot\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\cdot\cdots\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}\le a_Nq^{n-N}</math>
이다. <math>0\le q<1</math>이므로, [[기하급수]] <math>\sum_{n=0}^\infty q^n</math>은 수렴한다. [[비교 판정법]]에 따라, 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 수렴한다.

만약 <math>L>1</math>이라면, 어떤 <math>N\ge0</math> 및 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}>1</math>
이다. 즉, <math>(a_N,a_{N+1},\dots)</math>은 양의 실수의 [[증가수열]]이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 발산한다.
{{증명 끝}}

보다 일반적으로, 양의 실수 항 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>가 주어졌다고 하자 (<math>a_n>0\forall n\ge0</math>). 또한,
:<math>R=\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\in[0,\infty]</math>
:<math>r=\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\in[0,\infty]</math>
라고 하자 (이는 항상 존재하며, 항상 <math>r\le R</math>이다). '''비 판정법'''에 따르면, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>R<1</math>이라면, <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 수렴한다.
* 만약 <math>r>1</math>이라면, <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 발산한다.
만약 극한 <math>L</math>이 존재한다면 <math>L=R=r</math>이다. 따라서 후자가 더 일반적인 결과다. 만약 <math>r\le1\le R</math>이라면 (특히, 만약 <math>L=1</math>이라면), 비 판정법을 적용할 수 없으므로 다른 방법을 사용하여야 한다. 만약 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1</math>이라면, <math>\lim_{n\to\infty}a_n=0</math>일 수 없으므로 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 발산한다. (만약 <math>r>1</math>이라면 이 조건이 성립한다. 만약 이 조건이 성립한다면 <math>r\ge1</math>이지만, <math>r>1</math>일 필요는 없다.) [[근 판정법]]이나 라베 판정법 등 더 정교한 방법을 사용할 수도 있다.
{{증명}}
만약 <math>R<1</math>이며, <math>R<q<1</math>이라면, 어떤 <math>N\ge0</math> 및 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}<q</math>
이다. 따라서 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여,
:<math>a_n=a_N\cdot\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\cdot\cdots\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}\le a_Nq^{n-N}</math>
이다. <math>0\le q<1</math>이므로, [[기하급수]] <math>\sum_{n=0}^\infty q^n</math>은 수렴한다. [[비교 판정법]]에 따라, 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 수렴한다.

만약 <math>r>1</math>이라면, 어떤 <math>N\ge0</math> 및 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}>1</math>
이다. 즉, <math>(a_N,a_{N+1},\dots)</math>은 양의 실수의 [[증가수열]]이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 발산한다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
=== 수렴급수 ===
급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac n{2^n}</math>을 생각하자. <math>a_n=\frac n{2^n}</math>이라고 하자. 이웃하는 두 항의 비의 극한은
:<math>
L
=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}n\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}
=\frac12
<1
</math>
이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다.

급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn!}{n^n}</math>을 생각하자. <math>a_n=\frac{2^nn!}{n^n}</math>이라고 하자. 그렇다면,
:<math>
L
=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{2^nn!}\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac2{(1+1/n)^n}
=\frac2{\mathrm e}
<1
</math>
이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다.

급수 <math>\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{100\cdot(100-1)\cdot\cdots\cdot(100-n+1)}{n!}\cdot\frac1{2^n}\right)</math>를 생각하자. 이는 양의 실수 항의 급수가 아니지만, 비 판정법을 사용하여 [[절대 수렴]] 여부를 판단할 수 있다. <math>a_n=\frac{100\cdot(100-1)\cdot\cdots\cdot(100-n+1)}{n!}\cdot\frac1{2^n}</math>이라고 하자. 그렇다면,
:<math>
L
=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}
=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{100\cdot(100-1)\cdot\cdots\cdot(100-n)}{(n+1)!}\cdot\frac1{2^{n+1}}\cdot\frac{n!}{100\cdot(100-1)\cdot\cdots\cdot(100-n+1)}\cdot{2^n}\right|
=\lim_{n\to\infty}\frac{n-100}{2(n+1)}
=\frac12
<1
</math>
비 판정법에 의하여, 이 급수는 [[절대 수렴]]하며, 특히 수렴한다.

=== 발산급수 ===
급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}n</math>을 생각하자. <math>a_n=\frac{2^n}n</math>이라고 하자. 그렇다면,
:<math>L
=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac n{2^n}\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+1}
=2
>1
</math>
이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다.

급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{3^nn!}{n^n}</math>을 생각하자. <math>a_n=\frac{3^nn!}{n^n}</math>이라고 하자. 그렇다면,
:<math>L
=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{3^nn!}\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac3{(1+1/n)^n}
=\frac3{\mathrm e}
>1
</math>
이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다.

급수 <math>\sum_{n=0}^\infty1</math>을 생각하자. 자명하게 <math>L=1</math>이다. 하지만 <math>a_n=1</math>이라고 하였을 때, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 <math>\frac{a_n}{a_{n+1}}\ge1</math>이다. 따라서 비 판정법의 더 일반적인 형태에 의하여, 이 급수는 발산한다. 사실, 비 판정법을 사용하지 않더라도, 이 급수의 항이 0으로 수렴하지 않음은 자명하므로, 급수가 발산함은 자명하다.

== 라베 판정법 ==
=== 정의와 증명 ===
양의 실수 항 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>가 주어졌다고 하자 (<math>a_n>0\forall n\ge0</math>). '''라베 판정법'''({{llang|en|Raabe’s test}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>s=\liminf_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)>1</math>이라면, <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 수렴한다.
* 만약 <math>s'=\limsup_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)<1</math>이라면, <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 발산한다.
만약 <math>R<1</math>이라면 <math>s=\infty</math>이며, 만약 <math>r>1</math>이라면 <math>s'=-\infty</math>이다. 따라서 라베 판정법은 비 판정법을 일반화한다. 라베 판정법은 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^t}</math>의, <math>t\in\mathbb R</math>에 따른 수렴 여부에 기반한다. 이 급수는 <math>t>1</math>일 때 수렴하며, <math>t\le1</math>일 때 발산한다. (이는 [[코시 응집 판정법]]이나 [[적분 판정법]]을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서, <math>s'<1</math>을 다음 조건으로 약화하여도 명제가 성립한다. “충분히 큰 <math>n</math>에 대하여, <math>n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\le1</math>.”
{{증명}}
임의의 <math>t>u>1</math>이 주어졌을 때, 어떤 <math>\epsilon_{t,u}>0</math> 및 임의의 <math>0\le x<\epsilon_{t,u}</math>에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
:<math>1+tx\ge(1+x)^u</math>
이는
:<math>f\colon[0,\infty)\to\mathbb R</math>
:<math>f(x)=1+tx-(1+x)^u</math>
라고 하였을 때
:<math>f(0)=0</math>
:<math>f'(0)=t-u>0</math>
이며, <math>f'</math>이 [[연속 함수]]이기 때문이다.

만약 <math>s>t>u>1</math>이라면, 어떤 <math>N\ge0</math> 및 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>\frac{a_n}{a_{n+1}}>1+\frac tn\ge\left(1+\frac1n\right)^u=\frac{(n+1)^u}{n^u}</math>
이다. 즉,
:<math>n^ua_n>(n+1)^ua_{n+1}</math>
이다. 따라서, 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>n^ua_n\le(n-1)^ua_{n-1}\le\cdots\le N^ua_N</math>
이다. 즉,
:<math>a_n\le\frac{N^ua_N}{n^u}</math>
이다. 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^u}</math>가 수렴하므로, [[비교 판정법]]에 따라 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 수렴한다.

만약 <math>s'<1</math>이라면, 어떤 <math>N\ge0</math> 및 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>\frac{a_n}{a_{n+1}}<1+\frac1n=\frac{n+1}n</math>
이다. 즉,
:<math>na_n<(n+1)a_{n+1}</math>
이다. 따라서, 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>na_n\ge(n-1)a_{n-1}\ge\cdots\ge Na_N</math>
이다. 즉,
:<math>a_n\ge\frac{Na_N}n</math>
이다. [[조화급수]] <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1n</math>은 발산하므로, [[비교 판정법]]에 따라 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 발산한다.
{{증명 끝}}

=== 예 ===
급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math>를 생각하자. <math>a_n=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}</math>이라고 하자. 그렇다면,
:<math>
s
=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)
=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{(n+1)^2}{n^2}-1\right)
=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{n^2+2n+1}{n^2}-1\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+n}{n^2}
=2
>1
</math>
이다. 라베 판정법에 따라, 이 급수는 수렴한다. (라베 판정법의 표준적인 증명은 이 급수가 수렴한다는 사실을 사용한다는 데 주의하자.) [[적분 판정법]]이나 [[코시 응집 판정법]]을 사용할 수도 있다. 비 판정법이나 [[근 판정법]]으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다.

급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}</math>를 생각하자. <math>a_n=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}</math>이라고 하자. 그렇다면,
:<math>
s'
=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)
=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{(2n+2)!!}{(2n+1)!!}-1\right)
=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{2n+2}{2n+1}-1\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac n{2n+1}
=\frac12
<1
</math>
이다. 라베 판정법에 따라, 이 급수는 발산한다. 비 판정법이나 [[근 판정법]]으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다.

== 베르트랑 판정법 ==
=== 정의와 증명 ===
양의 실수 항 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>가 주어졌다고 하자 (<math>a_n>0\forall n\ge0</math>). '''베르트랑 판정법'''({{llang|en|Raabe’s test}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>b=\liminf_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)>1</math>이라면, <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 수렴한다.
* 만약 <math>b'=\limsup_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)<1</math>이라면, <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 발산한다.
만약 <math>s>1</math>이라면, <math>b=\infty</math>이다. 만약 <math>s'<1</math>이라면, <math>b'=-\infty</math>이다. 따라서 베르트랑 판정법은 라베 판정법보다 강하다. 베르트랑 판정법의 본질은 주어진 급수를 급수 <math>\sum_{n=2}^\infty\frac1{n\ln^tn}</math> (<math>t\in\mathbb R</math>)와 비교하는 것이다. 이 급수는 <math>t>1</math>일 때 수렴하며, <math>t\le1</math>일 때 발산한다. (이는 [[적분 판정법]]을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서, <math>b'<1</math> 조건은 “충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 <math>\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)\le1</math>” 조건으로 약화할 수 있다.
{{증명}}
라베 판정법의 증명에서 다음 사실을 증명하였다. 임의의 <math>t>u>1</math>이 주어졌을 때, 어떤 <math>\epsilon_{t,u}>0</math> 및 임의의 <math>0\le x<\epsilon_{t,u}</math>에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
:<math>1+tx\ge(1+x)^u</math>
베르트랑 판정법의 증명은 다음 사실을 추가로 사용한다. 임의의 <math>x\ge0</math>에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.
:<math>x\ge\ln(1+x)</math>
이는
:<math>g\colon[0,\infty)\to\mathbb R</math>
:<math>g(x)=x-\ln(1+x)</math>
라고 하였을 때
:<math>g(0)=0</math>
:<math>g'(x)=1-\frac1{1+x}\ge0</math>
이기 때문이다.

만약 <math>b>t>u>1</math>이라면, 어떤 <math>N\ge0</math> 및 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>\begin{align}
\frac{a_n}{a_{n+1}}
&>1+\frac1n+\frac t{n\ln n}\\
&\ge\frac1n+\left(1+\frac1{n\ln n}\right)^u\\
&=\frac1n+\left(\frac{n\ln n+1}{n\ln n}\right)^u\\
&=\frac1n+\left(\frac{\ln n+1/n}{\ln n}\right)^u\\
&\ge\frac1n+\left(\frac{\ln n+\ln(1+1/n)}{\ln n}\right)^u\\
&=\frac1n+\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^u\\
&=\frac1n+\frac{\ln^u(n+1)}{\ln^un}\\
&=\frac{\ln^u(n+1)+n\ln^u(n+1)}{n\ln^un}\\
&=\frac{(n+1)\ln^u(n+1)}{n\ln^un}
\end{align}
</math>
이다. 급수 <math>\sum_{n=2}^\infty\frac1{n\ln^un}</math>이 수렴하므로, [[비교 판정법]]에 따라 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 수렴한다.

만약 <math>b'<1</math>이라면, 어떤 <math>N\ge0</math> 및 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>\begin{align}
\frac{a_n}{a_{n+1}}
&<1+\frac1n+\frac1{n\ln n}\\
&=\frac{(n+1)\ln n+1}{n\ln n}\\
&\le\frac{(n+1)\ln n+n\ln(1+1/n)}{n\ln n}\\
&<\frac{(n+1)\ln n+(n+1)\ln(1+1/n)}{n\ln n}\\
&=\frac{(n+1)\ln(n+1)}{n\ln n}
\end{align}
</math>
이다. 급수 <math>\sum_{n=2}^\infty\frac1{n\ln n}</math>이 발산하므로, [[비교 판정법]]에 따라 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 발산한다.
{{증명 끝}}

=== 예 ===
급수 <math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac1n</math>를 생각하자. 이는 양의 항의 급수가 아니지만, 베르트랑 판정법을 사용하여 [[절대 수렴]] 여부를 판단할 수 있다. <math>a_n=(-1)^{n-1}\frac1n</math>이라고 하자. 그렇다면,
:<math>
b'
=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}-1\right)-1\right)
=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{n+1}n-1\right)-1\right)
=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\cdot\frac1n-1\right)
=0
<1
</math>
이다. 베르트랑 판정법에 따라, 이 급수는 [[절대 수렴]]하지 않는다. (이 사실은 베르트랑 판정법의 증명에서 사용된다.) 이 급수는 양의 항의 급수가 아니므로, 수렴 여부를 판단하려면 다른 방법을 사용해야 한다. [[교대급수 판정법]]에 따라, 이 급수는 수렴한다. 즉, 이 급수는 [[조건 수렴]]한다. 비 판정법이나 근 판정법 또는 라베 판정법으로는 이 급수의 [[절대 수렴]] 여부를 알 수 없다.

급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2</math>를 생각하자. <math>a_n=\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2</math>이라고 하자. 그렇다면,
:<math>\begin{align}
b'
&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{(2n-1)!!^2}{(2n)!!^2}\cdot\frac{(2n+2)!!^2}{(2n+1)!!^2}-1\right)-1\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{(2n+2)^2}{(2n+1)^2}-1\right)-1\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{4n^2+8n+4}{4n^2+4n+1}-1\right)-1\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(\frac{4n^2+3n}{4n^2+4n+1}-1\right)\\
&=\lim_{n\to\infty}-\frac{(n+1)\ln n}{4n^2+4n+1}\\
&=0\\
&<1
\end{align}
</math>
이다. 베르트랑 판정법에 따라, 이 급수는 발산한다. 사실, <math>s=s'=1</math>이지만, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 <math>n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\le1</math>이다. 따라서 베르트랑 판정법 대신 라베 판정법의 약간 더 일반적인 형태를 사용하여도 좋다.

== 쿠머 판정법 ==
양의 실수 항 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>가 주어졌다고 하자 (<math>a_n>0\forall n\ge0</math>). '''쿠머 판정법'''({{llang|en|Kummer’s test}})에 따르면, 다음 두 조건이 서로 [[필요충분조건]]이다.<ref name="Tong">{{저널 인용
|성=Tong
|이름=Jingcheng
|날짜=1994
|제목=Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series
|언어=en
|저널=American Mathematical Monthly
|권=101
|호=5
|쪽=450–452
|날짜=1994
|issn=0002-9890
|doi=10.2307/2974907
|jstor=2974907
|mr=1272945
|zbl=0804.40001
}}</ref>{{rp|Theorem, (1)}}
* <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 수렴한다.
* 어떤 양의 실수의 수열 <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math> (<math>b_n>0\forall n\ge0</math>)에 대하여, <math>\liminf_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right)>0</math>
마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 [[필요충분조건]]이다.<ref name="Tong" />{{rp|Theorem, (2)}}
* <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 발산한다.
* 어떤 양의 실수의 수열 <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math> (<math>b_n>0\forall n\ge0</math>)에 대하여, <math>\sum_{n=0}^\infty\frac1{b_n}</math>은 발산하며, 모든 <math>n</math>에 대하여 <math>\limsup_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right)<0</math>
{{증명|부제=충분성}}
만약 <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>이 양의 실수의 수열이며 <math>\liminf_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right)>\epsilon>0</math>이라면, 어떤 <math>N\ge0</math> 및 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>b_na_n-b_{n+1}a_{n+1}>\epsilon a_{n+1}>0</math>
이다. 따라서 <math>(b_na_n)_{n=N}^\infty</math>은 양의 실수로 구성된 [[감소 수열]]이며, 특히 수렴한다. 양의 실수 항 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty(b_na_n-b_{n+1}a_{n+1})</math>을 생각하자. 이 급수의 부분합은
:<math>\sum_{k=0}^n(b_ka_k-b_{k+1}a_{k+1})=b_0a_0-b_{n+1}a_{n+1}</math>
이다. 따라서 이 급수는 수렴한다. <math>b_na_n-b_{n+1}a_{n+1}>\epsilon a_{n+1}</math>이므로, [[비교 판정법]]에 의하여 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> 역시 수렴한다.

만약 <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>이 양의 실수의 수열이며, <math>\sum_{n=0}^\infty\frac1{b_n}</math>이 발산하며, <math>\limsup_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right)<0</math>이라면, 어떤 <math>N\ge0</math> 및 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>b_na_n-b_{n+1}a_{n+1}<0</math>
이다. 따라서, 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>b_na_n\ge b_{n-1}a_{n-1}\ge\cdots\ge b_Na_N</math>
이다. 즉,
:<math>a_n\ge\frac{b_Na_N}{b_n}</math>
이다. [[비교 판정법]]에 의하여 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>은 발산한다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=필요성}}
만약 양의 실수 항 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>이 수렴한다면,
:<math>b_n=\frac{\sum_{i=n+1}^\infty a_n}{a_n}\qquad(n\ge0)</math>
은 양의 실수의 수열이며, 임의의 <math>n\ge0</math>에 대하여
:<math>b_n\cdot\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}=\frac{\sum_{i=n+1}^\infty a_n}{a_{n+1}}-\frac{\sum_{i=n+2}^\infty a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}}=1</math>
이다.

만약 양의 실수 항 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>이 발산한다면,
:<math>b_n=\frac{\sum_{i=0}^na_i}{a_n}\qquad(n\ge0)</math>
은 양의 실수의 수열이며, 임의의 <math>n\ge0</math>에 대하여
:<math>b_n\cdot\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}=\frac{\sum_{i=0}^na_i}{a_{n+1}}-\frac{\sum_{i=0}^{n+1}a_i}{a_{n+1}}=-\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}}=-1</math>
이다. 이제, <math>\sum_{n=0}^\infty\frac1{b_n}=\infty</math>임을 보이는 일만 남았다. 임의의 <math>N\ge0</math>이 주어졌을 때 어떤 <math>n_N\ge N</math>에 대하여 
:<math>\sum_{i=N}^{n_N}\frac1{b_i}>\frac12</math>
임을 보이면 충분하다. (그렇다면 급수의 부분합은 [[코시 열]]이 아니며, 따라서 이 급수는 발산한다.) 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>이 발산하므로, 임의의 <math>N\ge0</math>이 주어졌을 때 어떤 <math>n_N\ge N</math>에 대하여
:<math>\sum_{i=N}^{n_N}a_i\ge\sum_{i=0}^{N-1}a_i</math>
이다. 따라서
:<math>
\sum_{i=N}^{n_N}\frac1{b_i}
=\sum_{i=N}^{n_N}\frac{a_i}{a_0+a_1+\cdots+a_i}
\ge\frac{a_N+a_{N+1}+\cdots+a_{n_N}}{a_0+a_1+\cdots+a_{n_N}}
\ge\frac12
</math>
이다.
{{증명 끝}}
쿠머 판정법의 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
! <math>b_n</math> !! 수렴 판정법
|-
| <math>b_n=1</math> || 비 판정법
|-
| <math>b_n=n</math> || 라베 판정법
|-
| <math>b_n=n\ln n</math> || 베르트랑 판정법
|}
다른 판정법과 달리, 쿠머 판정법은 양의 항의 급수가 수렴·발산할 [[필요충분조건]]을 제시하며,<ref name="Tong" /> 모든 급수에 대하여 유효하다. 하지만 쿠머 판정법은 적절한 <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>을 찾는 방법을 제공하지 않는다. 또한, 모든 급수에 대하여 유효한 하나의 <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>은 존재하지 않는다. 구체적으로, 임의의 양의 실수 항 수렴급수 <math>\sum_{n=0}^\infty x_n</math>에 대하여, <math>\lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{x_n}=\infty</math>인 양의 실수 항 수렴급수 <math>\sum_{n=0}^\infty y_n</math>가 존재하며, 또한 임의의 양의 실수 항 발산급수 <math>\sum_{n=0}^\infty x_n</math>에 대하여, <math>\lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{x_n}=0</math>인 양의 실수 항 발산급수 <math>\sum_{n=0}^\infty y_n</math>가 존재한다.

== 역사 ==
비 판정법은 [[장 르 롱 달랑베르]]가 처음 발표하였다. 쿠머 판정법(의 충분성 부분)은 1835년에 [[에른스트 쿠머]]가 제시하였다.<ref name="Kummer">{{저널 인용
|성1=Kummer
|이름1=Ernst Eduard
|저자링크=에른스트 쿠머
|제목=Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen
|언어=en
|저널=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
|권=13
|쪽=171–184
|날짜=1835
|issn=0075-4102
|doi=10.1515/crll.1835.13.171
|mr=1578040
|zbl=013.0480cj
}}</ref> 이후 반 세기 동안 수 차례 재발견되었으며, 최초의 발견자에 대하여 논란이 일었다.<ref name="Tong" />

== 같이 보기 ==
* [[근 판정법]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{인용|language=en|last1=d'Alembert|first1=J.|authorlink=장 르 롱 달랑베르|year=1768|title=Opuscules |volume=V|pages=171–183| url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62424s.image.f192}}.
* {{인용|language=en|last1=Apostol|first1=Tom M.|author1-link=Tom M. Apostol|title=Mathematical analysis|publisher=[[Addison-Wesley]]|edition=2nd|isbn=978-0-201-00288-1|year=1974}}: §8.14.
* {{인용|language=en|last=Knopp|first=Konrad|title=Infinite Sequences and Series|publisher=Dover publications, Inc.|publication-place=New York|year=1956|isbn=0-486-60153-6}}: §3.3, 5.4.
* {{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|저자링크=월터 루딘
|제목=Principles of mathematical analysis
|언어=en
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|mr=0385023
|zbl=0346.26002
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|확인날짜=2014-10-06
|url-status=dead
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006165957/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|보존날짜=2014-10-06
}}
* {{서적 인용
|성1=Tao
|이름1=Terence
|저자링크=테런스 타오
|제목=Analysis I
|언어=en
|판=3
|총서=Texts and Readings in Mathematics
|권=37
|출판사=Springer
|위치=Singapore
|날짜=2016
|isbn=978-981-10-1789-6
|issn=2366-8725
|doi=10.1007/978-981-10-1789-6
|lccn=2016940817
}}
* {{인용|language=en|last2=Whittaker|first2=E. T.|last1=Watson|first1=G. N.|title=A Course in Modern Analysis|edition=4th|publisher=Cambridge University Press|year=1963|isbn=0-521-58807-3}}:§2.36, §2.37

== 외부 링크 ==
* {{springer|title=D'Alembert criterion (convergence of series)}}
* {{springer|title=Bertrand criterion}}
* {{springer|title=Gauss criterion}}
* {{springer|title=Kummer criterion}}
* {{매스월드|title=Ratio test|id=RatioTest}}
* {{매스월드|title=Raabe’s test|id=RaabesTest}}
* {{매스월드|title=Gauss’s test|id=GausssTest}}
* {{매스월드|title=Bertrand’s test|id=BertrandsTest}}
* {{매스월드|title=Kummer’s test|id=KummersTest}}

[[분류:수렴판정법]]