비탈리 집합 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''비탈리 집합'''({{llang|en|Vitali set}})은 [[르베그 가측 집합]]이 아닌 집합의 예이다.

== 정의 ==
'''비탈리 집합''' <math>V\subset[0,1]</math>은 다음 성질을 만족시키는 집합이다.
* 임의의 [[실수]] <math>r\in\mathbb R</math>에 대하여, <math>\left|(\mathbb Q+r)\cap V\right|=1</math>이다.
비탈리 집합의 존재는 [[선택 공리]]를 사용하여 다음과 같이 보일 수 있다. 유리수의 덧셈군 <math>\mathbb Q\triangleleft\mathbb R</math>은 실수의 덧셈군의 [[정규 부분군]]이므로, [[몫군]] <math>\mathbb R/\mathbb Q</math>이 존재한다. 이 몫군의 각 원소에서, 단위 [[구간]] <math>[0,1]</math>에 속하는 대표원을 고른다. 그렇다면 이 대표원들의 집합은 비탈리 집합이다.

== 성질 ==
비탈리 집합의 [[집합의 크기|크기]]는 <math>2^{\aleph_0}</math>이다. 비탈리 집합은 또한 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[르베그 가측 집합]]이 아니다.
** 비탈리 집합 <math>V</math>에 대하여, <math>[0,1]\subseteq\bigsqcup_{q\in[-1,1]\cap\mathbb Q}(V+q)\subseteq[-1,2]</math>이다. 만약 비탈리 집합이 가측 집합이라면 <math>1=\mu([0,1])\le\infty\cdot\mu(V)\le\mu([-1,2])=3</math>이어야 하는데, 이는 불가능하다.
* [[준열린집합]]이 아니다.
* [[조밀한 곳이 없는 집합]]이 아니다.
** <math>\mathbb R=\bigcup_{q\in\mathbb Q}(V+q)</math>이므로, 제3 [[베르 범주 정리]]에 따라 <math>V</math>는 조밀한 곳이 없는 집합이 아니다.
* [[제1 범주 집합]]이 아니다.

== 역사 ==
[[이탈리아]]의 수학자 [[주세페 비탈리]]가 정의하였다.<ref>{{서적 인용|last=Vitali|first=Giuseppe|authorlink=주세페 비탈리|날짜=1905|제목= Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta|위치=[[볼로냐]]|출판사=Tipografia Gamberini e Parmeggiani|jfm=36.0586.03|언어=it}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[르베그 측도]]
* [[바나흐-타르스키 역설]]

[[분류:실수 집합]]
[[분류:측도론]]