비주기적 테셀레이션 문서 원본 보기

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{{번역 중|날짜=2022-07-15|원본=en:Aperiodic tiling}}
[[파일:Rhombus Penrose tiling with arcs.svg|right|섬네일|200px|[[펜로즈 테셀레이션]]은 비주기적 테셀레이션의 예시이다. 어느 두 부분도 [[평행 이동 대칭]]을 만족하지 않는다.]]

'''비주기적 테셀레이션'''(非周期的-, {{llang|en|aperiodic tessellation}}) 또는 '''비주기적 타일링'''({{llang|en|aperiodic tiling}})은 임의의 반복되는 기본 단위를 찾을 수 없는 [[테셀레이션]]이다. 이때 기본 단위(primitive unit)란 [[평행 이동]]만을 사용하여 평면을 채울 수 있는 최소 타일들의 구성을 말한다. 만약 어떤 타일들이 모여서 비주기적 타일밖에 만들어지지 않으면, 그 타일들의 집합([[프로토타일]])이 [[비주기적 프로토타일의 집합|비주기적]]이라고 한다. 비주기적 테셀레이션의 예시로 가장 잘 알려진 것은 [[펜로즈 테셀레이션]]이다.<ref>{{저널 인용| last = Gardner | first = Martin | author-link = Martin Gardner |date=January 1977 | title = Mathematical Games | url = https://archive.org/details/sim_scientific-american_1977-01_236_1/page/n114 | journal = Scientific American | volume = 236 | issue = 1 | pages = 111–119| doi = 10.1038/scientificamerican0177-110 | bibcode = 1977SciAm.236a.110G }}</ref><ref>{{서적 인용| last = Gardner | first = Martin | author-link = Martin Gardner | year = 1988 | title = Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers | publisher = W H Freeman & Co | isbn = 978-0-7167-1987-8 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/penrosetilestotr00gard }}</ref>

비주기적 테셀레이션은 [[준결정]]의 수학적 모형 역할을 한다. 준결정은 1982년 [[단 셰흐트만]]이 발견되었고,<ref name = "schechtman">{{저널 인용| last1 = Schechtman|first1 = D.|last2 = Blech|first2 = I.|last3 = Gratias|first3 = D.|last4 = Cahn|first4 = J.W.|title = Metallic Phase with long-range orientational order and no translational symmetry| journal = Physical Review Letters| volume = 53| issue = 20|year = 1984| pages = 1951–1953|doi = 10.1103/PhysRevLett.53.1951| bibcode=1984PhRvL..53.1951S|doi-access = free}}</ref> 2011년 그가 준결정 연구로 노벨상을 탔다.<ref name=nobel>{{웹 인용|url=https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/2011/ |title=The Nobel Prize in Chemistry 2011 |publisher=Nobelprize.org |access-date=2011-10-06}}</ref> 하지만 이 물질의 자세한 국소적인 구조는 아직 잘 설명할 수 없다.

비주기적 테셀레이션을 만드는 몇 가지 방법이 알려져 있다.

== 정의 및 그림 ==
단위 정사각형 격자의 주기적 테셀레이션을 생각하자. ([[격자 종이]]처럼 보인다) 이제 한 정사각형을 두 개의 직사각형으로 나눈다. 이렇게 얻은 테셀레이션은 비주기적인데, 평행이동을 시켜서 이 테셀레이션과 같도록 할 수 없기 때문이다. 하지만 분명 이 예시는 펜로즈 테셀레이션보다 흥미롭지 않다. 이런 지루한 예시를 제외하기 위해, 비주기적 테셀레이션을 임의의 큰 주기적인 부분을 포함하지 않는 테셀레이션으로 정의할 수 있다.

어떤 테셀레이션이 비주기적 테셀레이션만 생성(hull)하면 비주기적이라고 한다. 테셀레이션의 [[생성 (테셀레이션)|생성]] <math>T \subset \R^d</math>는 ''T''를 평행이동한 가능한 모든 ''T+x''를 포함하는데, 이들을 ''T''의 평행이동으로 생각할 수 있다. 형식적으로 이것은 국소 위상수학에서 집합 <math>\{ T+x \, : \, x \in \R^d \}</math>의 [[폐포 (위상수학)|닫힌 부분 집합]](closure)이다.<ref name="tao">{{서적 인용| last1 = Baake|first1=M.|last2=Grimm|first2=Uwe|title=Aperiodic Order. Vol 1: A Mathematical Invitation|publisher=Cambridge University Press|year=2013}}</ref> 국소 위상수학(각각에 대응되는 행렬)에서 두 테셀레이션이 <math>\varepsilon</math>보다 덜 평행이동했을 때 지름 <math>1/\varepsilon</math>의 구간에서 일치하면 <math>\varepsilon</math>에 대해 닫혀 있다고 한다.

위보다 더 쉬운 예시를 들면, {{not a typo|...''aaaaaabaaaaa''...}}처럼 직선 모양의 1차원 테셀레이션 ''T''를 생각하자. 여기서 ''a''는 길이 1의 간격을 나타내고 ''b''는 길이 2의 간격을 나타낸다. 그래서 이 테셀레이션 ''T''는 무수히 많은 ''a''들과 한 개의 ''b''로 만들어지는데, ''b''를 중심 0이라고 하자. ''T''의 모든 평행이동은 ''b''가 어딘가 있고 나머지는 모두 ''a''일 것이다. ''b''가
<math>1,2,4, \ldots,2^n,\ldots</math>에 중심이 있을 때 테셀레이션의 순서는 ''a''로만 이루어진 주기적인 테셀레이션과 국소 위상수학에서 합동이다. 따라서 ''T''는 주기적 테셀레이션 {{not a typo|...''aaaaaa''...}}를 부분집합으로 가지기 때문에 주기적 테셀레이션이 아니다.

잘 정의된 테셀레이션(예를 들어 유한하게 많은 국소 패턴으로 구성되는 테셀레이션)에 대해서, 주기적이지 않고 [[반복되는 테셀레이션]](각 타일이 [[고르게 밀집]]하게 테셀레이션에서 모여 있음)은 비주기적 테셀레이션이다.<ref name="tao" />

== 역사 ==
비주기적 테셀레이션의 구체적인 발견은 1961년에 최초로 있었는데, 논리학자 [[하오 왕]]이 [[도미노 문제]]가 결정 가능한지 연구했을 때였다. 결정 가능하다는 것은 유한한 프로토타일 집합이 주어졌을 때, 이것이 평면을 테셀레이션할 수 있는지 결정하는 알고리즘이 존재한다는 것이다. 왕은 평면을 채울 수 없는 타일 집합과 주기적으로 채울 수 있는 평면 집합을 찾으려고 알고리즘을 발견했다. 이로써 평면을 채울 수 있는 유한한 프로토타일 집합 각각이 주기적 테셀레이션도 만들 수 있다면 이 결정 알고리즘이 존재한다는 걸 보였다. 1964년 [[로버트 버거]]는 테셀레이션 문제가 사실 결정 가능하지 않다는 것을 보여서 비주기적 프로토타일 집합을 찾았다.<ref>{{mathgenealogy|name=Robert Berger|id=114475}}.</ref><ref>{{저널 인용| last=Berger | first=Robert | author-link=Robert Berger (mathematician) | year=1966 | title=The undecidability of the domino problem | journal=Memoirs of the American Mathematical Society | issue=66 | pages=1–72}}</ref> 이 증명에 버거가 쓴 집합은 왕 타일 20,426개가 필요했는데, 나중에 104개로 개수를 줄였다. [[한스 레우히리]]는 40개 왕 타일만 필요한 비주기 집합을 찾았다.<ref name="gs">Grünbaum and Shephard, section 11.1.</ref>
왕 타일 6개로 된 더 간단한 비주기적 집합을 [[래피얼 미셸 로빈슨]]이 1971년에 발견했다.<ref>{{저널 인용| last=Robinson | first=Raphael M. | year=1971 | title=Undecidability and Nonperiodicity for Tilings of the Plane | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | volume=12 | issue=3 | pages=177–209 | doi=10.1007/BF01418780 | doi-access=free | bibcode=1971InMat..12..177R| s2cid=14259496 }}</ref> [[로저 펜로즈]]는 1973년과 74년에 3개의 집합을 추가로 발견했는데, 2개의 타일만 필요했다. [[로버트 애먼]]은 몇개의 집합을 1977년에 더 찾았다.<ref name="gs" />

비주기적인 펜로즈 테셀레이션은 비주기적인 프로토타일 집합뿐 아니라 [[대체하기]](subtitution)나 [[비주기적 테셀레이션#잘라서 사영하기|잘라서 사영하기]](cut-and-project) 방법도 써서 만들 수 있다. 준결정이 연구된 이후 물리학자와 수학자들이 비주기적 테셀레이션을 열심히 연구했다. 펜로즈 테셀레이션에 쓰이는 [[니콜라스 호베르트 드 브뢰인]]의 잘라서 사영하기 방법이 [[마이어 집합]] 이론의 예라는 게 결국 밝혀졌다.<ref>{{저널 인용| last=Lagarias | first=J.C. | title=Meyer's concept of quasicrystal and quasiregular sets | journal=Commun. Math. Phys. | year=1996 | volume=179 | issue=2 | pages=356–376| doi=10.1007/BF02102593 | bibcode=1996CMaPh.179..365L | s2cid=122753893 |url=https://www.researchgate.net/publication/38332108}}</ref><ref>{{서적 인용| last=Moody | first=R.V. | title=The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order | year=1997 | chapter=Meyer sets and their duals | journal=The Mathematics of Long Range Aperiodic Order, NATO ASI Series C | issue=489 | pages=403–441| doi=10.1007/978-94-015-8784-6_16 | isbn=978-90-481-4832-5 }}</ref> 현재 비주기적 테셀레이션에 대한 여러 문헌이 있다.<ref name="tao" />

== 만들기 ==
비주기적 테셀레이션을 만드는 몇 방법이 알려져 있다. 그 중 일부는 무한한 비주기적 타일 집합을 사용한다.<ref name="goodman-strauss (1998)">{{저널 인용| last=Goodman-Strauss | first=Chaim | year=1998 | title=Matching rules and substitution tilings | journal=[[Annals of Mathematics]] | volume=147 | issue=1 | pages=181–223 | url=http://comp.uark.edu/~strauss/papers/index.html | doi=10.2307/120988 | jstor=120988 | citeseerx=10.1.1.173.8436 }}</ref><ref name = "Mozes (1989)">{{저널 인용|last = Mozes|first = S.| title = Tilings, substitution systems and dynamical systems generated by them|journal = Journal d'Analyse Mathématique|volume = 53|year = 1989|issue = 1|pages =139–186|doi = 10.1007/BF02793412|s2cid = 121775031}}</ref> 비주기적인 계층 구조를 주로 써서 만들 수 있다. 그러나 [[도미노 문제]]의 [[결정할 수 없는 문제|비결정성]]에 따라서 무한히 많은 만드는 원리가 있을 것이고, 비주기적이라는 걸 증명할 수 없는 비주기적 테셀레이션도 존재한다.

=== 비주기적 계층 테셀레이션 ===
어떤 테셀레이션이 계층적인 구조를 가지는지 확인하는 일반적인 정의가 현재 없지만, 대체하기 방법을 쓴 테셀레이션과 [[도널드 커누스|커누스]], [[한스 라우히리|라우히리]], [[래피얼 미셸 로빈슨|로빈슨]]의 테셀레이션이 계층적이라는 건 확실하다. "비주기적 테셀레이션"에서 나아가서 "비주기적 ''계층'' 테셀레이션"은 계층적인 구조를 가지는 비주기적 테셀레이션만 허용하는 타일 집합을 말한다

이런 타일 집합이 만드는 모든 테셀레이션에서 계층적인 구조가 만들어진다. (이 구조는 타일 대체하기로 설명할 수 있다) 이런 타일로는 어떤 주기적 타이링도 만들 수 없느데, 단순히 평행 이동으로 전체 계층 구조와 같게 만들 수 없기 때문이다. 아래는 로빈슨의 1971년 타일이다.

[[파일:Robinson tiles.svg|center|thumbnail|200px|로빈슨 테셀레이션]]

이런 타일로 만든 테셀레이션은 사각형 격자 계층만 만들 수 있는데, 임의의 주황색 사각형 중심은 더 큰 주황색 사각형의 중심이 되고, 이는 무한히 반복된다. 어떻게 평행이동을 해도 이동한 거리보다 더 큰 정사각형이 있으므로, 원래와 같아질(invariant) 수 없다.

[[파일:Robinson tiling.jpg|center|thumbnail|300px|로빈슨 테셀레이션의 일부]]

로빈슨은 타일들이 서로 맞아서 원래의 타일보다 더 큰 블록을 만들어내는 걸 계속할 것이라고 구조를 귀납적으로 증명했다. 어느 테셀레이션이 계층적인 구조를 가질 수밖에 없다는 이 아이디어를 비주기적 테셀레이션을 만들 때 많이 사용한다.

=== 대체하기 ===
{{본문|타일 대체하기|L-system}}

타일 대체하기 방법으로 다양한 비주기적 테셀레이션을 만들 수 있다. 아래는 예시 중 하나인 의자 테셀레이션이다. 대체하기 테셀레이션은 비주기적이지만, 의자 타일 자체는 비주기적이 아니어서 주기적 테셀레이션도 만들 수 있다.

[[파일:L substitution tiling.svg|center|섬네일|300px|대체하기 의자 테셀레이션]]

하지만 아래의 타일은 의자 대체하기 구조를 합쳐놓았기 때문에 타일 자체도 비주기적이다.<ref name = "goodman-strauss (1999a)">{{저널 인용| last = Goodman-Strauss|first = Chaim| title = A small aperiodic set of planar tiles| journal = [[European Journal of Combinatorics]]| year = 1999| volume = 20| issue = 5| pages = 375–384| doi = 10.1006/eujc.1998.0281| doi-access = free}}</ref>

[[파일:trilobite and crab.svg|center|섬네일|300px|[[비주기적 테셀레이션의 목록|삼엽충과 가위 테셀레이션]]은 의자 대체하기 구조를 합쳐 놓았다. 의자 구조가 나타나도록 테셀레이션을 허용하기 때문에 비주기적이다.]]

펜로즈 타일과 애먼의 타일 몇 개가<ref name="grunbaum and shephard">{{서적 인용| last = Grünbaum | first = Branko | author-link = Branko Grünbaum |author2=Geoffrey C. Shephard | year = 1986 | title = Tilings and Patterns | publisher = W.H. Freeman & Company | isbn = 978-0-7167-1194-0}}</ref> 대체하기 테셀레이션 구조를 명쾌하게 합쳐놓은 첫 번째 예시였다. [[조슈아 소콜라]],<ref name = "senechal">{{서적 인용| last = Senechal | first = Marjorie | author-link = Marjorie Senechal | orig-year = 1995 |edition=corrected paperback |year=1996 | title = Quasicrystals and geometry | title-link = Quasicrystals and Geometry | publisher = [[Cambridge University Press]] | isbn = 978-0-521-57541-6}}</ref><ref>{{저널 인용| last = Socolar|first = J.E.S.|title = Simple octagonal and dodecagonal quasicrystals| journal = Phys. Rev. B| volume = 39|issue = 15| year = 1989| pages = 10519–51|doi=10.1103/PhysRevB.39.10519|bibcode = 1989PhRvB..3910519S| pmid = 9947860 }}</ref> [[로저 펜로즈]],<ref>{{저널 인용| last = Penrose|first = R.|title = Remarks on Tiling: details of a 1&nbsp;+&nbsp;''ε''&nbsp;+&nbsp;''ε''<sup>2</sup>-aperiodic set|journal= The Mathematics Long Range Aperiodic Order, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C. Math. Phys. Sci. |volume = 489 |year = 1997| pages = 467–497}}</ref> [[루트비히 단체]],<ref>{{저널 인용| last1 = Nischke|first1 =K.-P.| last2 = Danzer|first2 = L.|title =  A construction of inflation rules based on ''n''-fold symmetry| journal = [[Discrete & Computational Geometry]]|volume = 15|year = 1996| issue = 2|pages = 221–236|doi =  10.1007/BF02717732|doi-access = free}}</ref>와 [[체임 굿맨-스트러스]]<ref name = "goodman-strauss (1999a)"/>가 이후 타일을 발견했다. [[샤하르 모제스]]는 모든 1차원 대체하기가 규칙을 통해 합쳐질 수 있다는 걸 보이면서 최초로 일반적으로 테셀레이션을 구성했다.<ref name = "Mozes (1989)">{{저널 인용|last = Mozes|first = S.| title = Tilings, substitution systems and dynamical systems generated by them|journal = Journal d'Analyse Mathématique|volume = 53|year = 1989|issue = 1|pages =139–186|doi = 10.1007/BF02793412|s2cid = 121775031}}</ref> [[찰스 래딘]]은 [[바람개비 테셀레이션|콘웨이 바람개비 대체 테셀레이션]]을 합치는 규칙을 찾아냈다.<ref>{{저널 인용| last = Radin|first = Charles| title = The pinwheel tilings of the plane| url = https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1994-05_139_3/page/n176|journal =  [[Annals of Mathematics]] |volume = 139| year = 1994| pages = 661–702| doi = 10.2307/2118575| issue = 3| jstor = 2118575}}</ref> 1998년 [[체임 굿맨-스트러스]]는 약한 조건에서 모든 테셀레이션 대체하기 구조에서 국소적으로 대응시키는 규칙을 찾을 수 있다는 걸 보였다.<ref name = "goodman-strauss (1998)"/>

=== 잘라 사영하기 방법 ===
비주기적 테셀레이션은 고차원 구조를 낮은 차원으로 사영시켜서 만들 수 있고, 비주기적 구조로 합쳐져서 비주기적 테셀레이션이 되는 경우도 있다. [[니콜라스 호버트 드 브라운|드 브라운]]의 업적에서도 나와 있듯이, 펜로즈 테셀레이션이 가장 최초이자 유명한 예시이다.<ref>N. G. de Bruijn,  Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math.  '''43''', 39–52, 53–66 (1981). [http://www.math.brown.edu/~res/M272/pentagrid.pdf Algebraic theory of Penrose's nonperiodic tilings of the plane], I, II</ref> [[필요조건이나 충분조건|필요충분조건]]은 알려져 있지만, 대응하는 규칙으로 합쳐서 테셀레이션을 잘라 사영하는 대수적인 완전한 정의는 아직 없다.<ref>See, for example, the survey of T. T. Q. Le in {{서적 인용| last = Le|first = T.T.Q.|title = The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order| chapter = Local rules for quasiperiodic tilings| journal = The Mathematics Long Range Aperiodic Order, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C. Math. Phys. Sci. |volume = 489 |year = 1997| pages = 331–366 | doi=10.1007/978-94-015-8784-6_13|isbn = 978-90-481-4832-5}}</ref>

[[파일:Penrose LI classes.svg|center|섬네일|600px|잘라 사영하기 방법으로 만들어진 테셀레이션 일부이다. 자르는 단면은 펜로즈 테셀레이션(셋째 줄 왼쪽에서 4번째)을 정의할 때와 평행하다. 이 테셀레이션은 동형군이 모두 달라서 국소적으로 구별 가능하다.]]

=== 다른 방법 ===
비주기적 방법을 만드는 몇 가지 방법만 발견되었다. [[야르코 카리]]는 타일이 직선으로 암호화된 실수에 2 또는 2/3을 곱해 비주기적 왕 타일들을 만들었다. (암호화는 [[비티 수열]]의 항의 차이로 만들어진 [[스튀름 단어|스튀름 순서]]와 관련이 있다) 이는 2<sup>n</sup>/3<sup>m</sup>이 양의 정수 m, n에 대해 절대 1이 될 수 없다는 사실을 토대로 만든 것이다.<ref>{{저널 인용| last = Kari| first = Jarkko| title = A small aperiodic set of Wang tiles| journal = [[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]]| volume = 160| year = 1996 | issue = 1–3| pages = 259–264| doi = 10.1016/0012-365X(95)00120-L| doi-access = free}}</ref>
이 방법은 나중에 [[체임 굿맨-스트러스|굿맨-스트러스]]가 쌍곡면 위의 강하게 비주기적인 테셀레이션을 하기 위해 사용했다.<ref>{{저널 인용| last=Goodman-Strauss| first = Chaim | year = 2005| title = A strongly aperiodic set of tiles in the hyperbolic plane| journal = [[Inventiones Mathematicae]]| volume = 159| issue=1 | pages = 119–132| doi = 10.1007/s00222-004-0384-1 | doi-access=free | bibcode=2004InMat.159..119G| citeseerx = 10.1.1.477.1974 | s2cid = 5348203 }}</ref>
[[샤하르 모제스]]는 비주기적 테셀레이션을 구성하는 여러 가지 대안을 찾았는데, 준-단순(semi-simple) [[리군]]에서처럼 색다른 조건에서도 찾았다.<ref>{{저널 인용|last = Mozes| first = Shahar|title = Aperiodic tilings |url = https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1997-06_128_3/page/n188| journal = [[Inventiones Mathematicae]] | year = 1997| volume = 128|issue = 3 | pages = 603–611|doi = 10.1007/s002220050153|doi-access = free|bibcode = 1997InMat.128..603M | s2cid = 189819776}}</ref> 블록과 와인버거는 [[종순군|종순 다양체]]이 아닌 모든 비주기적 테셀레이션을 만드려고 [[호몰로지]] 방법을 썼다.<ref>{{저널 인용|last=Block|first=J.|author2=Weinberger, S.|title=Aperiodic tilings, positive scalar curvature and amenability of spaces|journal=Journal of the AMS|year=1992|volume=5|issue=4|pages=907–918|doi=10.1090/s0894-0347-1992-1145337-x|doi-access=free}}</ref>
조슈아 소콜라도 대안 조건에 대해서 비주기성을 만들 다른 방법을 찾았다.<ref>{{저널 인용| last1 = Socolar | first1 = Joshua | year = 1990 | title = Weak matching rules for quasicrystals | journal = Comm. Math. Phys. | volume = 129 | issue = 3| pages = 599–619 | doi = 10.1007/BF02097107 |bibcode = 1990CMaPh.129..599S | s2cid = 123629334 }}</ref> 이 방법으로 만든 타일은 대체하기로 만든 것보다 보통 훨씬 작다.

== 같이 보기 ==
* [[기리 테셀레이션]]
* [[비주기적 테셀레이션의 목록]]
* [[준결정]]
* [[젤리지]](Zellige)

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/tiling.html 기하학 처리장]
* [https://web.archive.org/web/20060830155826/http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/aperiod.htm 비주기적 테셀레이션]
* [https://www.youtube.com/watch?v=48sCx-wBs34 순환하지 않는 무한 패턴]

{{테셀레이션}}

[[분류:비주기적 테셀레이션]]