비이산 공간 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 '''비이산 공간'''(非離散空間, {{llang|en|indiscrete space}})은 주어진 [[집합]] 위에서 가장 적은 수의 [[열린집합]]들을 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 이러한 공간에서는 서로 다른 두 점들을 위상수학적으로 구별할 수 없다.

== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을  '''비이산 공간'''이라고 한다.
* <math>X</math>의 [[열린집합]]은 [[공집합]] 및 <math>X</math> 전체 밖에 없다.
* <math>X</math>는 [[공집합]]이거나, 또는 그 [[콜모고로프 몫공간]]이 [[한원소 공간]]이다.
* <math>X</math>를 [[공역]]으로 하는 모든 함수는 [[연속 함수]]이다. 즉, 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math> 및 임의의 [[함수]] <math>f\colon Y\to X</math>에 대하여, <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다.
* <math>X</math>를 [[정의역]]으로 하고, [[공역]]이 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]인 [[연속 함수]]는 [[상수 함수]] 밖에 없다.
* [[공집합]]이 아닌 <math>X</math>의 모든 [[부분 집합]]은 [[조밀 집합]]이다.
* <math>X</math> 속의 모든 [[점렬]]은 모든 점으로 수렴한다.
* <math>X</math> 전체가 아닌 <math>X</math>의 모든 [[부분 집합]]의 [[내부 (위상수학)|내부]]는 [[공집합]]이다.
* [[공집합]]이 아닌 <math>X</math>의 모든 [[부분 집합]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 <math>X</math>이다.

[[범주론]]적으로, 위상 공간의 [[구체적 범주]]의 망각 함자 <math>F\colon \operatorname{Top}\to\operatorname{Set}</math>는 [[오른쪽 수반 함자]]
:<math>I\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top}</math>
:<math>F\dashv I</math>
를 가지며, 이 함자를 '''비이산 함자'''라고 한다. 집합 <math>S</math>의 <math>I</math>에 대한 [[상 (수학)|상]] <math>I(S)</math>는 <math>S</math> 위의 비이산 공간이다. (반대로, 망각 함자의 [[왼쪽 수반 함자]]는 [[이산 공간]] 함자이다.)

== 성질 ==
두 개 이상의 점을 갖는 비이산 공간은 다음 성질을 만족시킨다.
* [[콜모고로프 공간]]이 아니다. (따라서 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이나 [[하우스도르프 공간]]이 아니다.)
* [[거리화 가능 공간]]이 아니다.
* [[호 연결 공간]]이 아니다.

모든 비이산 공간 <math>X</math>는 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[R0 공간]]이다.
* [[경로 연결 공간]]이다.
* [[콤팩트 공간]]이다.
* [[완비 정규 공간]]이다. (따라서 [[정칙 공간]]이며, [[완비 정칙 공간]]이며, [[정규 공간]]이다.)
* [[제2 가산 공간]]이다. (따라서 [[린델뢰프 공간]]이며, [[분해 가능 공간]]이며, [[제1 가산 공간]]이다.)
* [[베르 공간]]이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 공저자=J. Arthur Seebach, Jr. |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2판 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=TrivialTopology|title=Trivial topology}}

[[분류:위상 공간]]