비아벨 게이지 변환 문서 원본 보기

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[[이론물리학|이론 물리학]]에서 '''비아벨 게이지 변환'''은 [[게이지 변환]]의 합성이 [[교환법칙|교환 법칙]]을 따르지 않는 경우를 의미한다. 즉, [[게이지 군]] <math>G</math>이 비아벨 군인 경우이다. 이와 대조적으로, [[전자기학]]에서 [[게이지 변환군|게이지 군]]의 원래 선택은 가환군인 <math>U(1)</math>이었다. 현재 많은 [[게이지 이론]]들이 비아벨 게이지 변환을 쓰고 있다.

비아벨 [[리 군]] <math>G</math>의 경우, 그 원소는 비가환이다. 즉, 일반적으로 다음을 만족하지 ''않는다'' .

: <math>a*b=b*a \,</math> .


특히, 무한소 변환들이 이루는 [[벡터 공간]]([[리 대수]])의 기저를 형성하는 생성자 <math>t^a</math> 에는 다음과 같은 교환 규칙이 있다.

: <math>\left[t^a,t^b\right] = t^a t^b - t^b t^a = C^{abc} t_c.</math>

여기서 구조 상수 <math>C^{abc}</math>는 가환성의 결여를 정량화하고, 비가환이므로 없어지지 않는다. 구조 상수가 처음 두 첨자와 실수에서 반대칭임을 추론할 수 있다. 정규화는 일반적으로 다음과 같이 선택된다( [[크로네커 델타]] 사용).

: <math>Tr(t^at^b) = \frac{1}{2}\delta^{ab}.</math>

이 [[정규 직교 기저|직교 기저]] 내에서 구조 상수는 세 가지 첨자 모두에 대해 반대칭이다.

군의 원소 <math>\omega</math>는 [[항등원]] 근처에 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

: <math>\omega = exp(\theta^at^a)</math>

여기서 <math>\theta^a</math>들은 변환의 매개변수이다.

<math>\varphi(x)</math>를 주어진 표현 <math>T(\omega)</math>에서 공변하는 장이라 하자. 이는 게이지 변환 하에서 

: <math>\varphi(x) \to \varphi'(x) = T(\omega)\varphi(x)</math>

를 얻는다는 것을 의미한다. 콤팩트 군의 모든 표현은 [[유니터리 표현]]과 동일하므로 일반성을 잃지 않고

: <math>T(\omega)</math>

가 [[유니터리 행렬]]이 되도록 한다. 라그랑지안 <math>\mathcal{L}</math>이 장 <math>\varphi(x)</math>과 그 도함수 <math>\partial_\mu\varphi(x)</math>에만 의존한다고 가정한다:

: <math>\mathcal{L} = \mathcal{L}\big(\varphi(x),\partial_\mu\varphi(x)\big).</math>

군 원소 <math>\omega</math>가 시공간 좌표(전역 대칭)와 무관하면, 변환된 장의 도함수는 장 도함수의 변환과 동일하다.

: <math>\partial_\mu T(\omega)\varphi(x) = T(\omega)\partial_\mu\varphi(x).</math>

따라서 해당 장 <math>\varphi</math>과 그 도함수도 같은 방식으로 변환된다. 표현의 유니터리성으로 인해 다음과 같은 [[스칼라곱|스칼라 곱]] <math>(\varphi,\varphi)</math>, <math>(\partial_\mu\varphi,\partial_\mu\varphi)</math> 또는 <math>(\varphi,\partial_\mu\varphi)</math>는 비아벨 군의 전역적 변형 하에서는 불변이다.

이러한 스칼라 곱으로 구성된 모든 라그랑지안은 전역적으로 불변이다.

: <math>\mathcal{L}\big(\varphi(x),\partial_\mu\varphi(x)\big) = \mathcal{L}\big(T(\omega)\varphi(x),T(\omega)\partial_\mu \varphi(x)\big).</math>
[[분류:게이지 이론]]