비비아니 정리 문서 원본 보기

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[[파일:Satzviviani.PNG|섬네일|비비아니 정리의 도해]]

'''비비아니 정리'''(Viviani's theorem, -定理)는 [[이탈리아]]의 수학자 [[빈첸초 비비아니]](Vincenzo Viviani)가 처음으로 증명한 [[기하학]]의 [[정리]]이다. 삼각형의 성질에 대한 간단한 활용으로 얻을 수 있다.

== 공식화 ==
이 정리는 다음과 같이 표현할 수 있다.

* 임의의 [[정삼각형]]에서 정삼각형 내부의 점에서 내린 수선의 길이의 합은 일정하다.

== 증명 ==
정삼각형의 각 변이 길이 S를 갖고, 수선의 길이가 각각 a, b, c라 하자. 그러면 정삼각형의 넓이는,

* <math>\frac {1}{2} S(a + b + c)</math>

이 된다. 정삼각형의 넓이는 <math>\frac {S^2}{2} \sin\frac{\pi}{3}</math>으로 일정하므로, <math>(a + b + c)</math> 도 점의 선택에 관계 없이 <math>S \sin\frac{\pi}{3} = \frac{S\sqrt{3}}{2}</math>으로 일정하다.

== 역 ==
일반적으로 비비아니 정리의 역은 성립한다.<ref name=Chen>{{저널 인용|last1=Chen|first1=Zhibo|last2=Liang|first2=Tian|title=The converse of Viviani's theorem|journal=The College Mathematics Journal|volume=37|issue=5|pages=390–391|year=2006|doi=10.2307/27646392|jstor=27646392}}</ref>

== 일반화 ==
위의 증명 방식을 이용하면 임의의 [[정다각형]]으로 비비아니 정리를 일반화할 수 있다는 것은 분명하다.

== 각주 ==
{{각주}}
== 외부 링크 ==
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Viviani.shtml 비비아니 정리]

[[분류:삼각형에 대한 정리]]