비례 문서 원본 보기

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[[파일:Proportional variables.svg|섬네일|변수 y는 변수 x에 비례한다.]]
'''비례'''(比例, {{llang|en|proportionality}})는 두 양이 서로 일정비율로 증가하거나 감소하는 관계이다.

보통 세 개 이상의 양을 비교하기 위해 [[비례식]]을 세울 때에는 비교적 복잡한 계산이 따르므로 수학에서는 일반적으로 [[비례식]]을 세울 때에는 두 양의 비로 간단히 표현한다.

비례를 수식으로 설명하면 다음과 같다.

두 변수 x, y에 대해,
<math>kx+a, y</math> (a는 실수,상수),(k는 0이아닌 실수,상수)가 있다고 하면
<math>kx+a</math>에서 x가 (일정한값)으로 정해질때 , <math>y</math>는 항상 (일정한값)×k만큼 변하는 관계를 비례라고 한다. 하나 주의해야 할 것은 비례관계를 비례식 <math>a:b=c:d</math> 꼴로 나타낼 수 있는 경우와 나타낼 수 없는 경우가 있는데, 비례식으로 나타낼 수 있는 경우는 정비례와 반비례의 경우뿐이다.

== 정비례 ==
'''정비례'''(正比例, direct variation)는 비례의 특정한 경우를 뜻하는데, 위의 <math>kx+a</math>에서 <math>k=1,a=0</math>일 때를 생각하는 경우이다. 두 [[변수 (수학)|변수]] x,y 대해, 한 변수x가 m(k는 0이 아닌 실수)배 변하게 되면, 다른 변수y도 항상 m배 변하게 되는 관계를 말한다. 이를 비례식으로 <math>x:y=mx:my</math>로 나타낼 수 있다.
이런 관계는 [[분수]]에서도 나타난다.

<math>\frac{x}{y}=\frac{mx}{my}</math>(단, m는 0이아닌 실수, 상수)의 관계에서부터 알 수 있듯이 분수는 정비례와 매우 밀접한 관계에 있으므로 [[분수]]는 '비'으로 나타낼 수 있다.

== 반비례 ==
[[파일:Inverse_proportionality_function_plot.gif|300px|섬네일|반비례]]

'''반비례'''(反比例, inverse proportion)는 정비례처럼 위의 <math>kx+a</math>에서 <math>k=1,a=0</math>일 때를 생각하는 경우이며, 두 변수 x,y에 대해 정비례식 <math>x:y=mx:my</math>에서 변수 x, y를 분자의 자리에서 반대로 분모의 자리로 보내어
:<math>\frac{1}{x}:\frac{1}{y} = \frac{mk}{x}: \,\frac{m}{y}</math>를 생각하는 경우이다.

또한, 변수 x, y와, 0이 아닌 상수 k에 대해
:<math>y = \frac{k}{x} \,\, </math>
를 만족한다. 여기서 상수 k를 비례상수라 한다. 또한 x,y의 곱은 항상 같다.

== 정의 ==
변수 x, y와, [[0]]이 아닌 [[상수]] k에 대해
:<math>y=kx</math>
를 만족할 때, y는 x에 비례 또는 정비례한다고 한다.

이 때, 상수 k를 '''비례상수'''(proportionality constant)라 한다.

y는 x에 비례하는 것을 다음과 같이 표기하기도 한다.
:<math>y \propto x</math>

y가 x에 비례할 때에 x를 y에 관한 식으로 나타내면
:<math>x = \frac{1}{k} \,\, y</math>
가 된다. 즉, y가 x에 비례하면 동시에 x는 y에 비례하고, 그 비례상수는 y가 x에 비례할 때의 비례상수의 [[역수]]이다. 따라서 x와 y는 비례한다고 말하기도 한다.

== 성질 ==
x와 y가 정비례하고 비례상수를 k라고 하자.

* x와 y의 [[비 (수학)|비]]는 일정하다. (정의)
* x가 a배가 되면 y도 a배가 된다(단, 필요충분조건이기 위해서는 a가 0이 아니어야 한다). ([[필요충분조건]])
* x가 a [[단조 증가|증가]]하면 y는 ka 증가한다.

정비례 관계는 [[일차함수]]의 특수한 경우이다. 특히 [[직교좌표]]를 취해 [[함수의 그래프]]를 그리면, 그 그래프는 [[원점]]을 지나는 [[직선]]을 그린다.

== 같이 보기 ==
* [[일차 함수]]

{{전거 통제}}

[[분류:수학 용어]]
[[분류:비 (수학)]]