비라소로 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]과 [[이론물리학]]에서 '''비라소로 대수'''(Virasoro代數, {{llang|en|Virasoro algebra}})는 [[원]]의 [[미분 동형]] [[자기 동형군]]의 [[리 대수]]의 (유일하게 자명하지 않은) [[중심 확대]]인 무한 차원 [[리 대수]]이다.<ref name="Schottenloher">{{서적 인용|제목=A mathematical introduction to conformal field theory: Based on a series of lectures given at the Mathematisches Institut der Universität Hamburg|url=http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~schotten/LNP-cft-pdf/|이름=Martin|성=Schottenloher|isbn= 978-3-540-68625-5|연도=2008|doi=10.1007/978-3-540-68628-6|출판사=Springer-Verlag|위치=[[베를린|Berlin]]|mr=2492295|zbl=1161.17014|판=2판|기타=Lecture Notes in Physics 759, Lecture Notes in Physics Monographs 43|언어=en}}</ref> 물리학에서, [[2차원 등각 장론]]의 대칭으로 사용된다.

== 정의 ==
=== 대수적 구성 ===
비라소로 대수 <math>\mathfrak{Vir}</math>는 <math>L_n</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>)과 <math>c</math>로 인하여 생성되는 복소수 [[리 대수]]이며, 다음과 같은 리 괄호를 가진다.
:<math>[\mathsf c,\mathsf L_n]=0</math>
:<math>[\mathsf L_m,\mathsf L_n]=(m-n)\mathsf L_{m+n}+\frac{\mathsf c}{12}(m+1)m(m-1)\delta_{m+n}</math>

중심 원소 <math>c</math>가 0인 대수를 '''비트 대수'''({{llang|en|Witt algebra}}) <math>\mathfrak{Witt}</math>라고 하며, 이는 비라소로 대수의 [[고전역학|고전적]] 형태로 볼 수 있다.

이에 따라, [[복소수 리 대수]]의 [[짧은 완전열]]
:<math>0 \to \mathbb C{\mathsf c} \to \mathfrak{Vir} \to \mathfrak{Witt} \to 0</math>
이 존재한다.

비라소로 대수는 [[실수 리 대수]]로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다. (이는 [[복소수 벡터 공간]] 위의 반선형({{llang|en|antilinear}}) 사상이다.)
:<math>\mathrm i \mapsto -\mathrm i</math>
:<math>\mathsf L_n \mapsto - \mathsf L_{-n}</math>
:<math>\mathsf c \mapsto -\mathsf c</math>
이는 <math>\mathsf L_n</math>을 원 위의 벡터장
:<math>\mathsf L_n = -\mathrm i\exp(-\mathrm int)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}</math><ref name="Schottenloher"/>{{rp|77, §5.2}}
으로 간주하여 유도한 것이다. 그렇다면, 이에 대한 고정점
:<math>\mathsf L_n - \mathsf L_{-n}</math>
:<math>\mathrm i(\mathsf L_n + \mathsf L_{-n})</math>
:<math>\mathrm i\mathsf c</math>
을 생각하자. 이는 [[실수 리 대수]]
:<math>\mathfrak{Vir}^{\mathbb R} \subsetneq \mathfrak{Vir}</math>
를 생성하며, 마찬가지로 [[실수 리 대수]]의 [[짧은 완전열]]
:<math>0 \to \mathrm i\mathbb R\mathsf c \to \mathfrak{Vir}^{\mathbb R} \to \mathfrak{Witt}^{\mathbb R} \to 0</math>
을 구성한다. 정의에 따라 자연스러운 포함 관계
:<math>\mathfrak{Witt}^{\mathbb R} \hookrightarrow \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1)</math>
가 존재한다.

=== 원을 통한 리 대수의 구성 ===
1차원 [[매끄러운 다양체]]인 원 <math>\mathbb S^1</math> 위의 (매끄러운) [[벡터장]]들의 [[리 대수]]
:<math>\mathfrak{Vect}(\mathbb S^1)</math>
를 생각하자. 이는 [[실수 프레셰 공간]]이다. 그 속에는 [[푸리에 급수]]로 인하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:<math>\mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}] \hookrightarrow \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \otimes_{\mathbb R} \mathbb C</math>
:<math>\mathbb R[\mathsf z+\mathsf z^{-1},\mathrm i(\mathsf z-\mathsf z^{-1})] \hookrightarrow \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1)</math>
:<math>\mathsf z \mapsto \exp(\mathsf it)\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\qquad(t\in\mathbb R/(2\pi\mathbb Z))</math>

이는 다음과 같은 [[리 대수 코호몰로지]] 2차 공사슬을 갖는다.
:<math>\mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \times \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to \mathbb R</math>
:<math>\left(f(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt},g(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right) \mapsto \oint \frac{\mathrm df}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d^2g}{\mathrm dt^2}\,\mathrm dt
= - \oint\frac{\mathrm df^2}{\mathrm dt^2}\frac{\mathrm dg}{\mathrm dt}\,\mathrm dt \qquad(f,g\in\mathcal C^\infty(\mathbb S^1,\mathbb R))
</math>
이를 '''겔판트-푹스 공사슬'''({{llang|en|Gelfand–Fuchs cocycle}})이라고 한다.<ref name="KW">{{서적 인용|제목=The geometry of infinite-dimensional groups | 이름=Boris | 성=Khesin | 이름2=Robert | 성2=Wendt | 출판사=Springer-Verlag | doi=10.1007/978-3-540-77263-7 | 총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge | 권=51 |isbn= 978-3-540-77262-0 | 날짜=2009| 언어=en}}</ref>{{rp|67, Definition/Proposition Ⅱ.2.1}} 이에 대한 중심 확장
:<math>0\to \mathbb R\mathsf c \to \widehat{\mathfrak{Vir}} \to \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to 0</math>
을 생각할 수 있다. <math>\widehat{\mathfrak{Vir}} </math> 역시 [[프레셰 공간]]이다.

<math>\widehat{\mathfrak{Vir}} \otimes\mathbb C </math> 속에서, <math>\mathbb C[\mathsf z,\mathsf z^{-1}]</math>과 <Math>\mathbb C\mathsf c</math>로 생성되는 부분 리 대수를 '''비라소로 대수'''라고 한다.
:<math>\mathfrak{Vir} \subsetneq \widehat{\mathfrak{Vir}} </math>

=== 원을 통한 리 군의 구성 ===
1차원 [[매끄러운 다양체]]인 원 <math>\mathbb S^1</math>을 생각하자. 그 ([[매끄러운 함수|매끄러운]]) [[자기 동형|자기]] [[미분 동형 사상]]들의 군
:<math>\operatorname{Diff}(\mathbb S^1)</math>
을 생각하자. 이는 [[프레셰 다양체]]를 이룬다. 이는 두 개의 [[연결 성분]]을 가지는데, 만약 원에 임의의 [[방향 (다양체)|방향]]을 부여하여 [[유향 다양체]]로 만든다면, 한 [[연결 성분]]은 방향을 보존하지만, 다른 한 [[연결 성분]]은 방향을 뒤집는다. 물론, [[항등 함수]]는 전자에 속한다. 그 연결 부분군을 <math>\operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1)</math>이라고 하자.

이 경우, 그 [[실수 리 대수]]를 취할 수 있으며, 이는 [[실수 프레셰 공간]]이 된다. 구체적으로, 이는 원 위의 (매끄러운) [[벡터장]]들의 리 대수 <math>\mathfrak{Vect}(\mathbb S^1)</math>이다.

프레셰 리 군 <math>\operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1)</math>은 특별한 1차원 [[중심 확대]]를 가지며, 기하학적으로 이는 리 군의 U(1) [[주다발]]을 이룬다. 이는 다음과 같이 구성된다.<ref name="Schottenloher"/>{{rp|84, §5.4}}<ref name="PS"/>{{rp|§6.8}}

우선, [[르베그 공간|르베그]] [[복소수 힐베르트 공간]]
:<math>H = \operatorname L^2(\mathbb S^1;\mathbb C)  \cong \operatorname L^2(\mathbb Z;\mathbb C)</math>
을 생각하자. 여기서 동형 사상은 [[푸리에 급수]]에 의한 것이다. 이 가운데, 다음과 같은 부분 [[복소수 힐베르트 공간]]을 생각할 수 있다.
:<math>H^+ = \operatorname L^2(\mathbb N;\mathbb C) \subsetneq \operatorname L^2(\mathbb Z;\mathbb C)</math>
:<math>H^- = \operatorname L^2(\mathbb Z \setminus \mathbb N;\mathbb C) \subsetneq \operatorname L^2(\mathbb Z;\mathbb C)</math>
:<math>H = H^+ + H^- \cong H^+ \oplus H^--</math>
(여기서 <math>\mathbb N=\{0,1,2,\dotsc,\}</math>은 [[자연수]]의 집합이다.) 즉, 이는 각각 음이 운동량 성분을 갖지 않는 [[파동 함수]]와 음의 운동량만을 갖는 [[파동 함수]]의 부분 공간들이다.

이제, <math>\operatorname{Diff}(\mathbb S^1)</math>은 <math>H</math> 위에 다음과 같은 [[유니터리 표현]]을 갖는다.
:<math>\rho \colon \operatorname{Diff}(\mathbb S^1) \to \operatorname U(H)</math>
:<math>|f'(\theta)|^{1/2}\langle f(\theta)|(\rho f)|\psi\rangle = \langle \theta|\psi\rangle\qquad(\theta\in\mathbb R/(2\pi\mathbb Z),\;\psi \in \mathcal C^1(\mathbb S^1,\mathbb C) \subsetneq H)</math>
그렇다면, 이제 다음과 같은 [[유니터리 작용소]]들의 부분 공간을 정의할 수 있다.<ref name="Schottenloher"/>{{rp|53, Definition 3.16}}<ref name="PS">{{서적 인용|제목=Loop groups | 이름=Andrew | 성=Pressley | 이름2=Graeme | 성2= Segal | 총서=Oxford Mathematical Monographs | 출판사=Clarendon Press | 날짜=1986 | 언어=en}}</ref>{{rp|§6.2}}
:<math>\operatorname{U_{res}}(H^+,H^-) = \left\{
\begin{pmatrix}
T_{++} & T_{+-} \\
T_{-+} & T_{--}
\end{pmatrix}
\in \operatorname U(H^+ \oplus H^-) \colon 
T_{+-} \in \mathfrak S_2(H^-,H^+),\;
T_{-+} \in \mathfrak S_2(H^+,H^-)
\right\}</math>
여기서
* <math>\mathfrak S_2(H^+,H^-)</math>는 <math>H^+ \to H^-</math> [[힐베르트-슈미트 작용소]]들의 공간이다.
이제, <math>H</math>를 어떤 [[양자장론]]의 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]으로 삼고, <Math>H = H^+ \oplus H^-</math>를 그 [[심플렉틱 구조]]로 삼자. 그렇다면, [[기하학적 양자화]]에 따라, 다음과 같은 페르미온 [[포크 공간]]을 얻는다.
:<math>\mathcal H = \left(\bigwedge H^++ \otimes \bigwedge \bar H^- \right)^{\hat{}}</math>
여기서
* <math>(-)^{\hat{}}</math>은 [[내적 공간]]을 [[힐베르트 공간]]으로 만드는 완비화이다.
* <math>\bar H^-</math>는 <math>H^-</math>의 복소켤레 <math>a\bar v = \overline{\bar av}\qquad(v\in H^-)</math>이다.
* <math>\textstyle\bigwedge</math>는 [[외대수]]이다.
[[기하학적 양자화]]에 따라, 자연스럽게 [[유계 작용소]]로의 표현
:<math>\Phi \colon H \to \operatorname B(\mathcal H)</math>
가 존재한다. (<math>\operatorname B(\mathcal H)</math>는 <math>\mathcal H\to\mathcal H</math> [[유계 작용소]]의 공간이다.) 이에 따라서, <Math>H</math> 위의 유니터리 작용소 <math>U \in \operatorname U(H)</math>가 다음과 같이 <math>\mathcal H</math> 위에 <math>\tilde U \in \operatorname U(\mathcal H)</math>로 표현될 수 있는지를 따질 수 있다.
:<math>\tilde U \Phi(v) = \Phi(Uv) \tilde U \qquad\forall f\in H</math>
이 경우, 위 조건을 만족시키는 <math>\tilde U</math>가 존재할 [[필요 충분 조건]]은 <math>U \in \operatorname{U_{res}}(H^+,H^-)</math>인 것이다. 이러한 <math>\tilde U</math>는 노름 1의 복소수 스칼라 곱셈을 무시하면 유일하다. 따라서, 이와 같은 유니터리 연산자의 공간
:<math>\operatorname{\tilde U_{res}}(H^+,H^-) = \{\tilde U\in\operatorname U(\mathcal H)\colon \exists U\in\operatorname U(H)\forall f\in H\colon \tilde U \Phi(v) = \Phi(Uv) \tilde U\}</math>
을 정의할 수 있다. 이는 군의 [[짧은 완전열]]
:<math>1 \to \operatorname U(1) \to \operatorname{\tilde U_{res}}(H^+,H^-) \to \operatorname U(H^+,H^-) \to 1</math>
을 이룬다.

이제, [[단사 함수|단사]] [[군 준동형]]
:<math>\operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1) \hookrightarrow \operatorname{U_{res}}(H^+,H^-)</math>
을 통해 <math>\operatorname{\tilde U_{res}}(H^+,H^-)</math> 속에 부분군
:<math>\operatorname{\widetilde {Diff}}(\mathbb S^1) \subsetneq\operatorname{\tilde U_{res}}(H^+,H^-)</math>
을 정의할 수 있다. 이는 군의 [[짧은 완전열]]
:<math>1 \to \operatorname U(1) \to \operatorname{\widetilde{Diff}}^+(\mathbb S^1) \to \operatorname{Diff}^+(\mathbb S^1) \to 1</math>
을 이룬다. 이 [[짧은 완전열]]의 모든 항들은 [[프레셰 다양체]]이다.

이에 대한 [[실수 리 대수]]의 [[짧은 완전열]]을 취할 수 있다.
:<math>0 \to \mathbb R\mathsf c \to \widehat{\mathfrak{Vir}} \to \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to 0</math>
이 [[짧은 완전열]]의 각 항은 [[프레셰 공간]]이다.

특히, [[복소수 리 대수]] <math>\widehat{\mathfrak{Vir}} \otimes \mathbb C</math> 속에 다음과 같은 부분 집합
:<math>
\{\mathsf c \} \cup
\left\{
\exp(\mathrm int)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\colon n\in\mathbb Z
\right\}</math>
으로 생성되는 (대수적) 부분 [[리 대수]]
:<math>\mathfrak{Vir} \subsetneq \widehat{\mathfrak{Vir}} \otimes \mathbb C</math>
를 '''비라소로 대수'''라고 한다. <math>\widehat{\mathfrak{Vir}} \otimes \mathbb C</math>는 비라소로 대수의 ([[프레셰 공간]]으로의) 완비화이며, <math>\operatorname{\widetilde{Diff}}^+(\mathbb S^1)</math>는 그 실수 형태에 대응되는 프레셰 [[리 군]]이다.

== 성질 ==
=== 유니터리 표현 ===
비라소로 대수의 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>H</math> 위의 [[리 대수의 표현|표현]]
:<math>\rho \colon \mathfrak{Vir} \to \operatorname B(H)</math>
가운데, 만약 다음이 성립한다면, 이를 비라소로 대수의 '''유니터리 표현'''이라고 한다.
:<math>\rho(\mathsf L_n)^\dagger = \rho(\mathsf L_{-n})</math>
비라소로 대수의 유니터리 표현은 모두 [[기약 표현]]들의 직합으로 분해된다.

비라소로 대수의 아벨 부분 리 대수
:<math>\operatorname{Span}_{\mathbb C}\{\mathsf L_0,\mathsf c\} \subsetneq \mathfrak{Vir}</math>
를 생각하자. 각 기약 표현 <math>\rho</math>에서
:<math>\rho(\mathsf c) \in [0,\infty) \operatorname{id}_H</math>
:<math>\rho(\mathsf L_0) \in [0,\infty) \operatorname{id}_H</math>
이게 되며, 반대로 주어진 두 [[실수]] <math>(c,h) = (\rho(\mathsf c),\rho(\mathsf L_0))</math>에 대응되는 기약 유니터리 표현은 (동형 아래) 유일하다. 주어진 <math>(c,h)</math>에 대응되는 기약 표현은 [[베르마 가군]]의 몫으로 구성될 수 있다.

비라소로 대수의 기약 유니터리 표현들의 목록은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras|url=https://archive.org/details/sim_communications-in-mathematical-physics_1986-01_103_1/page/n106|이름=P.|성=Goddard|이름2=A.|성2=Kent|이름3=D.|성3=Olive|저널=Communications in Mathematical Physics|권=103|호=1|날짜=1986|쪽=105–119|mr=0826859|zbl=0588.17014|doi=10.1007/BF01464283|issn=0010-3616|언어=en}}</ref>
* <math>c\ge1</math>인 경우, 모든 <math>h\ge0</math>에 대한 표현 <math>(c,h)</math>가 존재한다.
* <math>0\le c<1</math>인 경우에는 다음과 같은 값들만이 존재한다.
*: <math>c=1-\frac6{m(m+1)}</math>
*: <math>h=h(c;p,q)=\frac{((m+1)p-mq)^2-1}{4m(m+1)}</math>
*: <math>m=2,3,4,\dots</math>
*: <math>p=1,2,\dots,m-1</math>
*: <math>q=1,2,\dots,p</math>
<math>0\le c<1</math>의 경우는 [[2차원 등각 장론]]의 일종인 '''[[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]'''의 구성에 등장한다. 함수 <math>h(c;p,q)</math>는 다음과 같은 대칭을 가진다.
:<math>h(c;p,q) = h(c;m-p,m+1-q)</math>
특히, <math>p = q = 1</math>인 경우 <math>h = 0</math>이며, 이는 [[2차원 등각 장론]]의 진공 또는 대칭류({{llang|en|current}})에 해당한다. ([[2차원 등각 장론]]은 두 개의 비라소로 대수 대칭을 갖는데, 진공의 경우 <math>h</math>가 둘 다 0이지만, 대칭류의 경우 둘 가운데 하나만이 0이다.) <math>m-1 = p = q = 1</math>인 경우는 <math>(c,h) = (0,0)</math>이며, 이는 1차원 자명한 표현에 해당한다.

비라소로 대수의 모든 기약 유니터리 표현은 <math>(c,h)=(0,0)</math>을 제외하면 무한 차원 표현이다. (<math>(c,h)=(0,0)</math>인 자명한 표현은 물론 1차원이다.)

=== 복소수 비라소로 군의 부재 ===
비라소로 대수의 실수 형태 <math>\mathfrak{Vir}^{\mathbb R}</math>의 [[실수 프레셰 공간]]으로의 완비화는 어떤 [[프레셰 다양체|프레셰]] [[리 군]]의 [[리 대수]]이다. 그러나 이 리 군은 복소화될 수 없으며, 복소수 비트 대수와 복소수 비라소로 대수는 복소수 리 군의 리 대수가 될 수 없다.<ref name="Schottenloher"/>{{rp|82–84, §5.4}}

=== 리 지수 사상의 비(非)전사성 ===
비트 대수의 지수 사상
:<math>\exp \colon \mathfrak{Vect}(\mathbb S^1) \to \operatorname{Diff}(\mathbb S^1)</math>
을 생각하자. 이는 존재하지만, [[프레셰 다양체]] <math>\operatorname{Diff}(\mathbb S^1)</math>에서 [[항등 함수]]의 임의의 [[근방]]에서, <math>\exp</math>의 [[치역]]에 포함되지 않는 원소가 존재한다.<ref>{{서적 인용|제목=The geometry of infinite-dimensional groups | 이름=Boris | 성=Khesin | 이름2= Robert | 성2= Wendt | 출판사=Springer-Verlag | doi= 10.1007/978-3-540-77263-7 | 언어=en}}</ref>{{rp|14, Proposition 1.23}}<ref>{{서적 인용|이름=Andrew |성=Pressley
|이름2= Graeme |성2=Segal|title=Loop groups|publisher=Oxford University Press|year=1986|isbn=0-19-853535-X|언어=en}}</ref>{{rp|28, Proposition 3.3.1}}

== 역사 ==
[[엘리 카르탕]]이 1909년에 비트 대수를 발견하였고, [[에른스트 비트]]가 이를 [[유한체]]의 경우에 대하여 1930년대에 연구하였다.

비트 대수의 중심 확장은 리처드 얼 블록({{llang|en|Richard Earl Block}})<ref>{{저널 인용|제목=On the Mills–Seligman axioms for Lie algebras of classical type|이름=Richard E.|성=Block|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=121|호=2|연도=1966|쪽=378–392|doi=10.1090/S0002-9947-1966-0188356-3}}</ref>과 [[이즈라일 겔판트]], 드미트리 푹스({{llang|ru|Дми́трий Бори́сович Фукс}}) (1968)가 발견하였다.

아르헨티나의 물리학자 미겔 안헬 비라소로({{llang|es|Miguel Ángel Virasoro}})가 1970년에 [[끈 이론]]에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 비라소로 대수)를 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Virasoro|이름=Miguel Ángel|저널=Physical Review D|권=1|호=10|쪽=2933–2936|연도=1970|제목=Subsidiary conditions and ghosts in dual-resonance models|doi=10.1103/PhysRevD.1.2933|bibcode=1970PhRvD...1.2933V}}</ref> 이후 그 중심 확장은 와이스 ({{llang|en|J. H. Weis}})가 도입하였다.

== 같이 보기 ==
* [[등각 장론]]
* [[2차원 𝒩=1 초등각 장론]]
* [[W-대수]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Virasoro algebra}}
* {{nlab|id=Virasoro algebra}}

{{전거 통제}}

[[분류:등각 장론]]
[[분류:리 대수]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:수리물리학]]