비대칭도 문서 원본 보기

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[[파일:SkewedDistribution.png|섬네일|200px|비대칭도 실험 자료의 예]]
[[확률 이론]] 및 [[통계학]]에서 '''비대칭도'''(非對稱度, {{lang|en|skewness}}) 또는 '''왜도'''(歪度)는 [[실수]] 값 [[확률 변수]]의 [[확률 분포]] 비대칭성을 나타내는 지표이다. 왜도의 값은 양수나 음수가 될 수 있으며 정의되지 않을 수도 있다. 왜도가 음수일 경우에는 확률밀도함수의 왼쪽 부분에 긴 꼬리를 가지며 중앙값을 포함한 자료가 오른쪽에 더 많이 분포해 있다. 왜도가 양수일 때는 확률밀도함수의 오른쪽 부분에 긴 꼬리를 가지며 자료가 왼쪽에 더 많이 분포해 있다는 것을 나타낸다. 평균과 중앙값이 같으면 왜도는 0이 된다.

== 정의 ==
확률변수 ''X''의 왜도는 3차 표준 모멘트로 정의되며 ''γ''<sub>1</sub>로 표시한다. ''γ''<sub>1</sub>이라는 기호는 [[칼 피어슨]]이 사용했다.<ref>{{매스월드|id=Skewness|title=Skewness}}</ref>
: <math>
    \gamma_1 = \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]
             = \frac{\mu_3}{\sigma^3}
             = \frac{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}\,
  </math>
여기서 ''μ''<sub>''i''</sub>는 ''i''번째 [[중심적률]]을 의미한다. 왜도를 Skew[''X'']로 표현하기도 한다. [[로널드 피셔]]는 <math>\sqrt{\beta_1}</math>로 표현했지만 왜도는 음수가 될 수 있어 불편한 점이 있었다.

확률변수 ''X''의 평균 ''μ'', 표준편차 ''σ''에 대해, 왜도를 나타내는 식을 풀어 쓰면
:<math>
    \gamma_1
     = \operatorname{E}\bigg[\Big(\frac{X-\mu}{\sigma}\Big)^{\!3} \,\bigg]
     = \frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\operatorname E[X^2] +3 \mu^2\operatorname E[X]  - \mu^3}{\sigma^3}
     = \frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}\ .
  </math>
로 표현할 수 있다.

=== 표본 왜도 ===
크기가 ''n''인 표본의 왜도는
:<math>g_1 = \frac{m_{3}}{m_{2} ^{3/2}} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^3}{\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\right)^{3/2}}</math>
로 정의한다. 여기서 ''m<sub>i</sub>''는 i차 표본중심적률을 의미하며 <math>\bar{x}</math>는 표본평균을 의미한다.

모집단에서 표본을 추출하였을 때 표본왜도는 모집단의 왜도의 [[편의추정량]]이다. 이산확률변수에서는 표본왜도가 정의되지 않을 수도 있다.

== 피어슨의 비대칭 계수 ==
'''피어슨의 비대칭 계수'''(Pearson's skewness coefficients)는 [[칼 피어슨]]이 비대칭도 측정을 위해 제안한 간단한 계산법으로,<ref>{{매스월드|title=Pearson Mode Skewness|id=PearsonModeSkewness}}</ref> 일반적으로 왜도와 비슷하게 분포가 좌우로 얼마나 대칭적인지를 나타내는 통계값이다.<ref>{{매스월드|id=PearsonsSkewnessCoefficients|title=Pearson's Skewness Coefficients}}</ref>

피어슨의 비대칭도는 다음과 같이 정의 된다.
* ([[평균]] − [[최빈값]]) / [[표준 편차]]
피어슨의 첫 번째 비대칭 계수(Pearson's first skewness coefficient)
* 3 ([[평균]] − [[최빈값]]) / [[표준 편차]]
피어슨의 두 번째 비대칭 계수(Pearson's second skewness coefficient)
* 3 ([[평균]] − [[중앙값]]) / [[표준 편차]]

[[파일:Negative_and_positive_skew_diagrams_(English).svg|섬네일|350px|비대칭도 통계학]]

Cs =3*(평균 - 중앙값)/표준편차로 구할 수 있다. 중앙값, 최빈값, 평균이 일치하면 Cs=0으로 정규분포를 이룬다. Cs 값이 0보다 크면 왼쪽으로 치우치고 오른쪽으로 긴 꼬리를 가지는 분포를 이룬다. 이를 정적편포라 한다. 반대로 0보다 작으면 오른쪽으로 치우치고 왼쪽으로 긴 꼬리를 가지는 분포를 이룬다. 이를 부적편포라 한다.

== 같이 보기 ==
* [[첨도]](Kurtosis)
* [[비대칭도 위험]]
* [[첨도 위험]]
* [[형상 모수]](Shape parameter)
* [[비대칭 정규 분포]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://petitjeanmichel.free.fr/itoweb.petitjean.skewness.html An Asymmetry Coefficient for Multivariate Distributions] by Michel Petitjean
* [http://repositories.cdlib.org/cgi/viewcontent.cgi?article=1017&context=ucsdecon On More Robust Estimation of Skewness and Kurtosis] Comparison of skew estimators by Kim and White.

{{전거 통제}}

[[분류:확률분포]]
[[분류:통계량]]
[[분류:모멘트 (수학)]]