비교 판정법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''비교 판정법'''(比較判定法, {{llang|en|comparison test}})은 음이 아닌 [[실수]] 항의 [[급수 (수학)|급수]]의 [[수렴]] 여부를 판단하는 방법의 하나다. 이에 따르면, 만약 어떤 [[양항 급수]]가 어떤 수렴하는 양항 급수보다 작은 항들로 이루어졌다면, 이 급수 역시 수렴한다.

== 정의와 증명 ==
=== 급수 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>n_0\in\{0,1\}</math>
* 두 실수 항 급수 <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math>와 <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>
또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.
* 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여, <math>0\le a_n\le b_n</math> (즉, 어떤 <math>N\ge n_0</math> 및 모든 <math>n>N</math>에 대하여, <math>0\le a_n\le b_n</math>)
그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.
* 만약 <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>이 [[수렴]]한다면, <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math> 역시 수렴한다.
* 만약 <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math>이 [[발산]]한다면, <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math> 역시 발산한다.
이를 '''비교 판정법'''이라고 한다.
{{증명}}
두 명제는 서로 [[대우 (논리학)|대우]]다. 따라서 첫 번째를 증명하면 충분하다. 급수의 유한 개의 항을 변경하는 것은 급수의 수렴 여부에 영향을 미치지 않으므로, 편의상 모든 <math>n\ge n_0</math>에 대하여 <math>0\le a_n\le b_n</math>이라고 가정할 수 있다. 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴할 [[필요충분조건]]은 [[부분합]] 수열이 [[유계 수열]]인 것이다. 즉,
:<math>S_n=a_{n_0}+a_{n_0+1}+\cdots+a_n</math>
이라고 하였을 때, 어떤 <math>M<\infty</math> 및 임의의 <math>n\ge n_0</math>에 대하여
:<math>S_n\le M</math>
이어야 한다. (이는 [[실수의 완비성]]을 필요로 한다.) 이제, 마찬가지로
:<math>T_n=b_{n_0}+b_{n_0+1}+\cdots+b_n</math>
이라고 하자. 만약 급수 <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>이 수렴한다면, 어떤 <math>M<\infty</math> 및 임의의 <math>n\ge n_0</math>에 대하여
:<math>T_n\le M</math>
이다. 그런데 항상 <math>a_n\le b_n</math>이므로
:<math>S_n\le T_n\le M</math>
이다. 따라서 <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math> 역시 수렴한다.
{{증명 끝}}

비교 판정법은 [[절대 수렴]]의 개념을 사용하여 서술할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>
* <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>(V,\|{\cdot}\|)</math>
* <math>n_0\in\{0,1\}</math>
* <math>V</math> 항의 급수 <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math>와 <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>
** 만약 <math>V=(\mathbb K,|{\cdot}|)</math>라면, 이는 두 [[실수]] 또는 [[복소수]] 항 급수다.
또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.
* 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여, <math>\|a_n\|\le\|b_n\|</math> (즉, 어떤 <math>N\ge n_0</math> 및 모든 <math>n>N</math>에 대하여, <math>\|a_n\|\le\|b_n\|</math>)
** 만약 <math>V=(\mathbb K,|{\cdot}|)</math>라면, 노름은 [[절댓값]]이며, <math>\|a_n\|\le\|b_n\|</math>은 <math>|a_n|\le|b_n|</math>이 된다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>이 [[절대 수렴]]한다면, <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math> 역시 절대 수렴한다.
* 만약 <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math>이 [[절대 수렴]]하지 않는다면, <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math> 역시 절대 수렴하지 않는다.
두 번째 명제에서, <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>이 수렴하지 않는다고 결론 내릴 수 없다. 예를 들어, <math>a_n=b_n=\frac{(-1)^{n-1}}n</math>에 대응하는 급수는 [[조건 수렴]]한다. 비교 판정법은 노름 값을 취하는 [[실수선]]의 완비성에만 의존하므로, [[바나흐 공간]]이 아닌 [[노름 공간]]에서도 성립한다. 하지만 이 경우, 절대 수렴하는 급수는 수렴할 필요가 없다.
{{증명}}
비교 판정법의 이전 형태에서, <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math>와 <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>을 <math>\sum_{n=n_0}^\infty\|a_n\|</math>와 <math>\sum_{n=n_0}^\infty\|b_n\|</math>으로 대체한다.
{{증명 끝}}

=== 이상 적분 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>a\in\mathbb R</math>
* 두 실수 값 함수 <math>f,g\colon[a,\infty)\to\mathbb R</math>
또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
* 임의의 <math>b>a</math>에 대하여, <math>f</math>와 <math>g</math>는 <math>[a,b]</math>에서 [[리만 적분 가능]]하다.
* 어떤 <math>X\ge a</math> 및 임의의 <math>x\ge X</math>에 대하여, <math>0\le f(x)\le g(x)</math>
그렇다면, 다음 두 가지가 성립한다.
* 만약 [[이상 적분]] <math>\int_a^\infty g(x)\,dx</math>가 수렴한다면, 이상 적분 <math>\int_a^\infty f(x)\,dx</math> 역시 수렴한다.
* 만약 [[이상 적분]] <math>\int_a^\infty f(x)\,dx</math>가 발산한다면, 이상 적분 <math>\int_a^\infty g(x)\,dx</math> 역시 발산한다.

== 따름정리 ==
=== 극한 비교 판정법 ===
{{본문|극한 비교 판정법}}
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>n_0\in\{0,1\}</math>
* 두 실수 항 급수 <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math>와 <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>
또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
* 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여, <math>a_n,b_n\ne0</math>
* <math>0<\liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\le\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}<\infty</math>
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[필요충분조건]]이다.
* 급수 <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math>이 수렴한다.
* 급수 <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>이 수렴한다.

=== 기타 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>n_0\in\{0,1\}</math>
* 두 실수 항 급수 <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math>와 <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>
또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
* 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여, <math>a_n,b_n>0</math>
* 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여, <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\le\frac{b_{n+1}}{b_n}</math>
그렇다면, 어떤 <math>N\ge n_0</math> 및 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여,
:<math>\begin{align}a_n
&=a_N\cdot\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\cdot\cdots\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}\\
&\le a_N\cdot\frac{b_{N+1}}{b_N}\cdot\frac{b_{N+2}}{b_{N+1}}\cdot\cdots\cdot\frac{b_n}{b_{n-1}}\\
&=\frac{a_N}{b_N}\cdot b_n
\end{align}</math>
이다. 만약 <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>이 수렴한다면, <math>\sum_{n=n_0}^\infty\frac{a_N}{b_N}\cdot b_n</math> 역시 수렴하며, 비교 판정법에 따라 <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math>도 수렴한다. 그 [[대우 (논리학)|대우]]로서, 만약 <math>\sum_{n=n_0}^\infty a_n</math>이 발산한다면, <math>\sum_{n=n_0}^\infty b_n</math>도 발산한다.

== 예 ==
급수
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{n^{n-2}}{\mathrm e^nn!}</math>
를 생각하자. <math>a_n=\frac{n^{n-2}}{\mathrm e^nn!}</math>라고 하였을 때,
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(1+1/n)^{n-2}}{\mathrm e}<\frac{(1+1/n)^{n-2}}{(1+1/n)^n}=\frac{(n+1)^{-2}}{n^{-2}}</math>
이다. 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math>는 수렴하므로, [[#기타]]에 의하여 원래 급수는 수렴한다.

== 같이 보기 ==
* [[수렴판정법]]
* [[수렴]]
* [[지배 수렴 정리]]
* [[적분판정법]]
* [[단조 수렴 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|language=en|last1=Ayres|first1=Frank Jr.|last2=Mendelson|first2=Elliott|title=Schaum's Outline of Calculus|url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00ayre_0|edition=4th|publisher=McGraw-Hill|location=New York|date=1999|isbn=0-07-041973-6|ref=harv}}
* {{서적 인용|language=en|last=Buck|first=R. Creighton|title=Advanced Calculus|url=https://archive.org/details/advancedcalculus00buck_1|edition=2nd|date=1965|publisher=McGraw-Hill|location=New York|ref=harv}}
* {{서적 인용|language=en|last=Knopp|first=Konrad|title=Infinite Sequences and Series|url=https://archive.org/details/infinitesequence0000knop_a6t6|publisher=Dover Publications|location=New York|date=1956|at=§ 3.1|isbn=0-486-60153-6}}
* {{서적 인용|language=en|last1=Munem|first1=M. A.|last2=Foulis|first2=D. J.|title=Calculus with Analytic Geometry|url=https://archive.org/details/calculuswithanal00mune|edition=2nd|date=1984|publisher=Worth Publishers|isbn=0-87901-236-6|ref=harv}}
* {{서적 인용|language=en|last=Silverman|first1=Herb|title=Complex Variables|url=https://archive.org/details/complexvariables0000silv|date=1975|publisher=Houghton Mifflin Company|isbn=0-395-18582-3|ref=harv}}
* {{서적 인용|language=en|last1=Whittaker|first1=E. T.|last2=Watson|first2=G. N.|title=[[Whittaker and Watson|A Course in Modern Analysis]]|edition=4th|publisher=Cambridge University Press|date=1963|at=§ 2.34|isbn=0-521-58807-3}}

[[분류:수렴판정법]]