비가환 기하학 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''비가환 기하학'''(非可換幾何學, {{llang|en|noncommutative geometry}}, NCG)는 비가환 [[C* 대수]]를 마치 어떤 기하학적 구조 위에 존재하는 함수대수처럼 간주하여 기하학적으로 다루는 분야다.

== 개론 ==
'''겔판트 표현 정리'''({{llang|en|Gelfand representation theorem}})에 따라, 모든 가환 [[C* 대수]]는 어떤 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] 위에 존재하는 함수대수와 [[동형]]이다. 즉, (국소 콤팩트 하우스도르프) [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 연구하는 것은 그 위에 존재하는 함수대수를 연구하는 것과 같으며, 위상 공간의 여러 성질들을 그 함수대수의 성질로 나타낼 수 있다. 물론, 이러한 함수대수들은 모두 가환대수다.

이 위상 공간/C* 대수 이중성을 비가환 C* 대수에 대하여 확장하려 한다고 하자. 즉, 비가환 C* 대수를 어떤 (실재하지 않는 가상의) "위상 공간" 위에 존재하는 함수대수로 간주하여, 기하학적인 기법으로 연구할 수 있다. 즉, 비가환 C* 대수는 "비가환 위상 공간" 위의 함수대수다. 예를 들어, [[비가환 원환면]]이라고 불리는 비가환 C* 대수는 마치 [[원환면]] 위의 함수대수와 여러 가지 유사한 성질을 지녀, "비가환" 원환면 위의 함수대수로 생각할 수 있다. 마찬가지로, [[퍼지 구]]는 일반 [[구 (기하학)|구]]를 일반화한 것으로 볼 수 있다.

[[리만 다양체]]의 구조는 함수 대수에 [[스피너]]에 대한 미분 연산자 ('''[[디랙 연산자]]''')를 추가한, 소위 '''[[스펙트럼 삼조]]'''로 나타내어진다. 이는 [[알랭 콘]]이 증명하였다. 따라서, 비가환 스펙트럼 삼중은 비가환 리만 다양체 위의 함수대수로 간주할 수 있다.

== 개념 및 도구 ==
비가환 공간 위에는 가환공간과 유사하게 [[호흐실트 호몰로지]](Hochschild homology)나 [[순환 호몰로지]](cyclic homology)와 같은 [[호몰로지]] 및 연산자 K이론을 통한 [[K이론]]을 정의할 수 있다. 또한, 비가환 [[대수기하학]]도 존재한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=math/0506603|제목=Lectures on Noncommutative Geometry|이름=Victor|성=Ginzburg|언어=en|날짜=2005|bibcode=2005math......6603G}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=math/9910082|제목=Noncommutative curves and noncommutative surfaces|이름=J. T.|성=Stafford|공저자=M. Van den Bergh|언어=en|날짜=1999|bibcode=1999math.....10082S}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=math/0409520|bibcode=2004math......9520M|날짜=2004|언어=en|제목=Lectures on Arithmetic Noncommutative Geometry|이름=Matilde|성=Marcolli}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=On some approaches towards non-commutative algebraic geometry|arxiv=math/0501166|bibcode=2005math......1166M|성=Mahanta|이름=Snigdhayan|언어=en|날짜=2005}}</ref>

== 물리학에서의 비가환성 ==
비가환 기하학은 [[양자장론]] 및 [[끈 이론]]에서 널리 쓰인다.<ref name="DouglasNekrasov">{{저널 인용|arxiv=hep-th/0106048|제목=
Noncommutative Field Theory|doi=10.1103/RevModPhys.73.977|이름=Michael R.|성=Douglas|공저자=Nikita A. Nekrasov|bibcode=2001RvMP...73..977D|저널=Reviews of Modern Physics|권=73|호=4|쪽=977–1029|날짜=2001-11-29|언어=en|issn= 0034-6861}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=0909.1000|doi=10.1007/s10701-009-9349-y|bibcode=2009FoPh...39.1297B|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0006012|doi=10.1088/0264-9381/17/17/302|bibcode=2000CQGra..17.3403B|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=1101.4579|bibcode=2011JPhCS.287a2012R|doi=10.1088/1742-6596/287/1/012012|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9901146|bibcode=1999hep.th....1146D|언어=en|제목=Two Lectures on D-Geometry and Noncommutative Geometry|이름=Michael R.|성=Douglas|날짜=1999}}</ref>

=== 비가환 기하학과 쌍극자 ===
공간 좌표의 비가환성은 대략 균일한 [[자기장]] 속에 존재하는 [[전기 쌍극자]]처럼 생각할 수 있다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9908056|이름=Daniela|성=Bigatti|공저자=[[레너드 서스킨드|Leonard Susskind]]}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9901080}}</ref>

<math>xy</math> 평면에서, 균일한 자기장 <math>B\hat{\mathbf z}</math>를 생각하자. 이 속에, 전하가 <math>\pm q</math>이고 질량이 <math>m</math>인 두 입자가 존재하고, 이들 사이에 [[양자 조화 진동자|조화 진동자]] 퍼텐셜
:<math>V(\Vert\mathbf x_1-\mathbf x_2\Vert)=\frac12k(\mathbf x_1-\mathbf x_2)^2</math>
이 존재하여 이 두 입자가 전기 쌍극자로 묶여 있다고 하자. 이 경우, [[라그랑지언]] <math>L</math>은 다음과 같다.
:<math>L=\frac12m(\dot{\mathbf x}_1^2+\dot{\mathbf x}_2^2)+\frac12qB\epsilon_{ij}(\dot x_1^ix_1-\dot x_2^ix_2^j)-\frac12k(\mathbf x_1-\mathbf x_2)^2</math>
이제, 쌍극자 [[질량 중심]]의 위치
:<math>\mathbf X=(\mathbf x_1+\mathbf x_2)/2</math>
와 쌍극자의 크기
:<math>\boldsymbol{\Delta}=(\mathbf x_1-\mathbf x_2)/2</math>
를 정의하자. 이 변수로 쓰면, 라그랑지언은 다음과 같다.
:<math>L=2m\dot{\mathbf X}\cdot\dot{\boldsymbol{\Delta}}+qB\epsilon_{ij}\dot X^i\Delta^j-2k\Delta^2</math>

라그랑지언으로부터, 쌍극자 질량 중심 <math>\mathbf X</math>에 대응하는 [[일반화 운동량]] <math>\mathbf P</math>는 다음과 같다.
:<math>P_i=\frac{\delta L}{\delta\dot X^i}=2m\dot\Delta^i+qB\epsilon_{ij}\Delta^j</math>
따라서, 이 [[계 (물리학)|계]]를 [[양자화 (물리학)|양자화]]하려면 다음과 같은 [[정준 교환 관계]]
:<math>[X^i,P_j]=i\hbar\delta^i_j</math>
를 가한다.

이제, 입자들의 질량 <math>m</math>이 매우 작아 무시할 수 있다고 하자. 그렇다면
:<math>P_i=qB\epsilon_{ij}\Delta^j</math>
이다. 즉, 쌍극자의 크기는 그 운동량과 비례한다. 따라서
:<math>[X^i,\Delta^j]=i\hbar\epsilon^{ij}/(qB)</math>
이다. 다시 원래 변수 <math>\mathbf x_1=\mathbf X+\boldsymbol{\Delta}</math>, <math>\mathbf x_2=\mathbf X-\boldsymbol{\Delta}</math>로 바꾸면
:<math>[x_1^i,x_2^j]=-2i\hbar\epsilon^{ij}/qB</math>
기 된다. 따라서, 자기 쌍극자의 양끝의 좌표가 가환하지 않는 것을 알 수 있다.

이에 따라서, 비가환 평면에 존재하는, 운동량 <math>\mathbf p</math>를 가진 평면파 <math>\exp(i\mathbf p\cdot\mathbf x)</math>는 크기가 그 운동량에 비례하는 쌍극자로 간주할 수 있다.<ref name="DouglasNekrasov"/>{{rp|§II.B.2}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Connes | first=Alain | authorlink=알랭 콘 | title=Non-commutative geometry | url=http://www.alainconnes.org/docs/book94bigpdf.pdf | publisher=Academic Press | location=Boston, MA | isbn=978-0-12-185860-5 | year=1994|언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Connes | first=Alain | authorlink=알랭 콘 | 공저자=Matilde Marcolli | title=An invitation to noncommutative geometry. Lectures of the international workshop on noncommutative geometry, Tehran, Iran, 2005 | arxiv=math/0601054 | publisher=World Scientific | mr=2408150 | year=2008 | chapter=A walk in the noncommutative garden | pages=1–128|언어=en|zbl=1145.14005 | isbn=978-981-270-616-4}}
* {{저널 인용|제목=A short survey of noncommutative geometry|이름=Alain|성=Connes|저자링크=알랭 콘|arxiv=hep-th/0003006|doi=10.1063/1.533329|bibcode=2000JMP....41.3832C|저널=Journal of Mathematical Physics|권=41|호=6|쪽=3832–3866|날짜=2000-06|언어=en|issn=0022-2488|zbl=0974.58008|mr=1768641}}
* {{저널 인용|arxiv=gr-qc/9906059|bibcode=2000cqnl.conf..111M|성=Madore|이름=J.|날짜=1999|언어=en|제목=Noncommutative Geometry for Pedestrians}}
* {{저널 인용|arxiv=math-ph/0612012|bibcode=2006math.ph..12012M|제목=An informal introduction to the ideas and concepts of noncommutative geometry|이름=Thierry|성=Masson|날짜=2006|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Very basic noncommutative geometry|arxiv=math/0408416|이름=Masoud|성=Khalkhali|bibcode=2004math......8416K|날짜=2004|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/9701078|제목=An introduction to noncommutative spaces and their geometry|이름=Giovanni|성=Landi|bibcode=1997hep.th....1078L|날짜=2007|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=1205.2908|제목= Length and distance on a quantum space|bibcode=2012arXiv1205.2908M|성=Martinetti|이름=Pierre|공저자=Luca Tomassini|날짜=2012|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[양자군]]
* [[초다양체]]

== 외부 링크 ==
* {{저널 인용|제목=새로운 연구결과 소개|url=http://www.kps.or.kr/~pht/10-12/011242.htm|저자=박동수|공저자=박정혁, 이기명|저널=물리학과 첨단기술|권=10|호=12|날짜=2001-12|확인날짜=2013-05-05|보존url=https://web.archive.org/web/20160306042259/http://kps.or.kr/~pht/10-12/011242.htm|보존날짜=2016-03-06|url-status=dead}}

[[분류:비가환 기하학| ]]
[[분류:양자중력]]