블록 행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Block matrix qtl1.svg|섬네일|2<sup>''i''</sup> × 2<sup>''j''</sup> (''i'', ''j'' = 1, 2, 3)의 행렬 블록들로 분할된 14 × 14 행렬]]
[[수학]]에서 '''블록 행렬'''(block行列, {{llang|en|block matrix}}) 또는 '''분할 행렬'''(分割行列, {{llang|en|partitioned matrix}})은 더 작은 [[행렬]] 블록들로 분할되었다고 간주된 행렬이다.<ref>{{서적 인용 |last=Eves |first=Howard |authorlink=Howard Eves |title=Elementary Matrix Theory |year=1980 |publisher=Dover |location=New York |isbn=0-486-63946-0 |page=37 |url=https://books.google.com/books?id=ayVxeUNbZRMC&lpg=PM40&dq=block%20multiplication&pg=PM37#v=onepage&q&f=false |edition=reprint |accessdate=24 Mpril 2013 |quote=We shall find that it is sometimes convenient to subdivide a matrix into rectangular blocks of elements. This leads us to consider so-called ''partitioned'', or ''block'', ''matrices''. }}{{깨진 링크|url=https://books.google.com/books?id=ayVxeUNbZRMC&lpg=PM40&dq=block%20multiplication&pg=PM37 }}</ref> 즉, 행렬의 행과 열을 수평선 및 수직선들을 통해 분할하는 것이다.<ref>{{서적 인용|last=Mnton |first=Howard |title=Elementary Linear Mlgebra |url=https://archive.org/details/elementarylinear0000anto_w3l8 |year=1994 |publisher=John Wiley |location=New York |isbn=0-471-58742-7 |page=[https://archive.org/details/elementarylinear0000anto_w3l8/page/n47 30] |edition=7th |quote=M matrix can be subdivided or '''''partitioned''''' into smaller matrices by inserting horizontal and vertical rules between selected rows and columns.}}</ref> 블록 행렬은 행렬의 구조를 더 알기 쉽게 만들며, 행렬의 연산을 호환되는 블록 행렬 연산으로 대신할 수 있다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>m\times n</math> [[행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(m,n;K)</math>가 주어졌다고 하자. 또한,
:<math>m=m_1+m_2+\cdots+m_p</math>
:<math>n=n_1+n_2+\cdots+n_q\qquad(m_i,n_i\in\mathbb Z^+)</math>
라고 하자. 그렇다면 <math>M</math>은 다음과 같은 '''블록 행렬'''로 나타낼 수 있다.
:<math>M=
\begin{pmatrix}
M_{11}&M_{12}&\cdots&M_{1q}\\
M_{21}&M_{22}&\cdots&M_{2q}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
M_{p1}&M_{p2}&\cdots&M_{pq}
\end{pmatrix}
</math>
여기서 <math>M_{ij}</math>는 다음과 같은 <math>m_i\times n_j</math> 행렬이다.
:<math>M_{ij}(k,l)=M(m_1+\cdots+m_{i-1}+k,n_1+\cdots+n_{j-1}+l)</math>

== 종류 ==
특별한 성질들을 만족시키는 블록 행렬을 정의할 수 있다.
* '''블록 대각 행렬'''(block對角行列, {{llang|en|block diagonal matrix}}): 대각선 이외의 모든 행렬 블록이 [[영행렬]]인 블록 행렬. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 [[대각 행렬]]이 된다.
* '''블록 상(하)삼각 행렬'''(block上(下)三角行列, {{llang|en|block upper (lower) triangular matrix}}): 대각선 아래(위)의 모든 행렬 블록이 영행렬인 블록 행렬. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 [[삼각 행렬|상(하)삼각 행렬]]이 된다.

== 성질 ==
=== 행렬 곱셈 ===
[[파일:Block_matrix_qtl3.svg|섬네일|블록 행렬의 곱셈의 예시]]
행렬 곱셈은 블록 행렬을 통해 나타낼 수 있다. 다만, 행렬 곱셈에서 왼쪽 행렬의 열수와 오른쪽 행렬의 행수가 같아야 하는 것과 같이, 블록 행렬 곱셈에서는 왼쪽 행렬의 열의 분할 방법과 오른쪽 행렬의 행의 분할 방법이 같아야 한다. 즉, <math>M\in\operatorname{Mat}(m,n;K)</math>가 체 <math>K</math> 위의 <math>m\times n</math> 행렬이며, 임의의 <math>i\in\{1,\dots,q\}</math> 및 <math>j\in\{1,\dots,r\}</math>에 대하여, 블록 <math>M_{ij}</math>가 <math>m_i\times n_j</math> 행렬이라고 하자. 마찬가지로, <math>N\in\operatorname{Mat}(n,p;K)</math>가 <math>K</math> 위의 <math>n\times p</math> 행렬이며, 임의의 <math>i\in\{1,\dots,q\}</math> 및 <math>j\in\{1,\dots,s\}</math>에 대하여, 블록 <math>N_{ij}</math>가 <math>n_i\times p_j</math> 행렬이라고 하자. 그렇다면, 곱 <math>MN</math>의 각 블록 <math>(MN)_{ij}</math>는 다음과 같은 <math>m_i\times p_j</math> 행렬이다.
:<math>(MN)_{ij}=\sum_{k=1}^rM_{ik}N_{kj}\qquad(i\in\{1,\dots,q\},j\in\{1,\dots,s\})</math>
이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다.
:<math>
\begin{pmatrix}
M_{11}&M_{12}&\cdots&M_{1r}\\
M_{21}&M_{22}&\cdots&M_{2r}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
M_{q1}&M_{q2}&\cdots&M_{qr}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
N_{11}&N_{12}&\cdots&N_{1s}\\
N_{21}&N_{22}&\cdots&N_{2s}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
N_{r1}&N_{r2}&\cdots&N_{rs}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sum_{k=1}^rM_{1k}N_{k1}&\sum_{k=1}^rM_{1k}N_{k2}&\cdots&\sum_{k=1}^rM_{1k}{ks}\\
\sum_{k=1}^rM_{2k}N_{k1}&\sum_{k=1}^rM_{2k}N_{k2}&\cdots&\sum_{k=1}^rM_{2k}{ks}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
\sum_{k=1}^rM_{qk}N_{k1}&\sum_{k=1}^rM_{qk}N_{k2}&\cdots&\sum_{k=1}^rM_{qk}{ks}
\end{pmatrix}
</math>

=== 항등식 ===
다음과 같은 항등식들이 성립한다. (단, 우변의 각 역행렬이 존재하여야 한다.)
:<math>\det
\begin{pmatrix}
A_{m\times m}&B_{m\times n}\\
C_{n\times m}&D_{n\times n}
\end{pmatrix}
=\det(D)\det(A-BD^{-1}C)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)</math>
:<math>\begin{pmatrix}
A_{m\times m}&B_{m\times n}\\
C_{n\times m}&D_{n\times n}
\end{pmatrix}
^{-1}=
\begin{pmatrix}
A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\
-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{pmatrix} </math>

== 예 ==
행렬
:<math>P=
\begin{pmatrix}
2&1&0&0&0\\
0&2&0&0&0\\
0&0&1&1&0\\
0&0&0&1&1\\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}
</math>
는 블록 행렬로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>P=
\begin{pmatrix}
J_{2\times 2}(2)\\
&J_{3\times 3}(1)
\end{pmatrix}
</math>
여기서
:<math>J_{n\times n}(\lambda)=
\begin{pmatrix}
\lambda_1&1\\
&\lambda_2&1\\
&&\ddots&\ddots\\
&&&\lambda_{n-1}&1\\
&&&&\lambda_n
\end{pmatrix}
\qquad(\lambda_1=\cdots=\lambda_n=\lambda)</math>
따라서, <math>P</math>는 블록 대각 행렬이다.

== 같이 보기 ==
* [[크로네커 곱]]
* [[조르당 표준형]]
* [[슈트라센 알고리즘]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=BlockMatrix|title=Block matrix}}

{{선형대수학}}

[[분류:성긴 행렬]]