브릴루앵 함수와 랑주뱅 함수 문서 원본 보기

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'''브릴루앵 함수'''와 '''랑주뱅 함수'''는 이상(ideal) 상태의 [[상자성]] 물질을 [[통계역학]]으로 서술할 때 등장하는 [[특수 함수]]이다.

== 브릴루앵 함수 ==
'''브릴루앵 함수'''<ref name=AshcroftMermin> N. W. Ashcroft, N. D. Mermin, ''Solid State Physics'', pages 655-6, {{ISBN|978-0-030-83993-1}}.</ref>는 다음 식으로 정의되는 특수 함수이다:
<blockquote style="border: 1px solid black; padding:10px; width:490px">
:<math>B_J(x) = \frac{2J + 1}{2J} \coth \left ( \frac{2J + 1}{2J} x \right ) - \frac{1}{2J} \coth \left ( \frac{1}{2J} x \right )</math>
</blockquote>
보통 ''x''는 [[실수]] 변수이고 ''J''는 [[정수]] 혹은 [[반홀수]]({{lang|en|half-integer}}, 정수에 1/2을 더한 값)값을 가진다. 함수값의 범위는 -1에서 1 사이이며 <math>x \to +\infty</math>의 극한에서 1, <math>x \to -\infty</math>의 극한에서 -1이 된다.

이 함수는 이상적인 [[상자성|상자성체]]의 [[자기|자성]]을 계산할 때 등장하는 함수로 널리 알려져 있다. 특히, 자화량이 외부에서 가한 [[자기장]] ''B''와 해당 물질의 [[총 각운동량 양자수]] ''J''에 따라 어떻게 변하는지 설명하는 수식에서 쓰인다:<ref name=AshcroftMermin/>
:<math>M = N g \mu_B J \cdot B_J(x)</math>
여기서 <math>N</math>은 단위 부피당 원자의 개수, <math>g</math>는 [[랑데 지 인자]], <math>\mu_B</math>는 [[보어 마그네톤]], <math>x</math>는 자기장 하에서 자기 모멘트가 받는 [[제이만 효과|제이만]] 에너지와 열 에너지 <math>k_B T</math> 사이의 비율 <math>x = \frac{g \mu_B J B}{k_B T}</math> (<math>k_B</math>는 [[볼츠만 상수]], <math>T</math>는 온도)이다. 브릴루앵 함수는 다음과 같이 유도할 수 있다.<ref name=AshcroftMermin/>

외부 자기장의 방향을 '''z'''방향으로 정하자. 자기 모멘트의 각운동량 중 z-방향 성분 즉 [[자기 양자수]] ''m''은 -''J''에서 ''J''까지 (2''J''+1)의 값들 중 어느 것이든 가질 수 있다. 외부 자기장 '''B'''때문에 각 상태의 에너지가 전부 다르고 자기 양자수가 ''m''인 상태의 에너지는
:<math>E_m = -mg \mu_B B = -k_BTxm/J</math>
가 된다. 자기 양자수가 각각의 값을 가질 확률은 [[맥스웰-볼츠만 분포|볼츠만 분포]]에 따라
:<math>P(m)=e^{-E_m/(k_BT)}/Z=e^{xm/J}/Z</math>
이다. ''Z''는 확률의 총 합이 1이 되도록 규격화해주는 상수 즉 [[분배 함수 (통계 역학)|분배 함수]])로써 이를 계산하여 대입하면 다음 식을 얻는다.
:<math>P(m) = e^{xm/J}/\left(\sum_{m'=-J}^J e^{xm'/J}\right)</math>.
따라서 자기 양자수 ''m''의 [[기댓값]]은
:<math>\langle m \rangle = (-J)\times P(-J) + \cdots + J\times P(J) = \left(\sum_{m=-J}^J m e^{xm/J}\right)/ \left(\sum_{m=-J}^J e^{xm/J}\right)</math>.
이다. 분모의 [[등비수열]](또는 기하수열)을 (''x/J'')에 대해 미분하면 분자의 식이 됨에 유의하여 계산하면
:<math>\langle m \rangle = J B_J(x)</math>
로 자기 모멘트의 평균값이 브릴루앵 함수로 표시된다. 단위 부피당 자기 모멘트의 개수 즉 자기 모멘트 밀도를 ''N''이라 할 때 자화량의 밀도는 다음과 같다.
:<math>M = Ng\mu_B\langle m \rangle = NgJ\mu_B B_J(x)</math>.

온도가 매우 높은 극한에서는 <math>g\mu_B B \ll k_B T</math>이고 <math>x \ll 1</math>이므로
:<math>\coth x \approx \frac{1}{x} + \frac{1}{3}x</math>
이고
:<math>B_J (x) \approx \frac{J+1}{3J}x</math>
가 되어 [[퀴리의 법칙]]
:<math>M=N\frac{(g\mu_B)^2}{3}\frac{J(J+1)}{k_B}B</math>
를 얻는다. 유효 자기 모멘트가 보어 마그네톤의 단위로 <math>g\sqrt{J(J+1)}</math>가 됨을 알 수 있다. 반면 자기장이 매우 강한 극한에서는 <math>x\to\infty</math>이고 평균 자화량이 J로 최대가 되어
:<math>M=Ng\mu_B J</math>
가 된다.

== 랑주뱅 함수 ==
[[파일:Langevin function.png|300px|섬네일|right|랑주뱅 함수 (빨간 곡선)와 ''tanh''(''x/3'') (파란 곡선).]]

고전적 극한에서는 자기 모멘트가 연속적인 어떤 값도 가질 수 있다. 즉 <math>J \to \infty</math>이고 이 극한에서 브릴루앵 함수는 [[폴 랑주뱅]]의 이름을 딴 다음 식으로 간단하게 바뀐다.
<blockquote style="border: 1px solid black; padding:10px; width:225px">
:<math>L(x) = \coth(x) - \frac{1}{x}</math>
</blockquote>

''x''값이 작은 경우, 랑주뱅 함수를 [[테일러 전개]]하고 고차 항들을 버리면 근사적으로
:<math>
   L(x) = \tfrac{1}{3} x - \tfrac{1}{45} x^3 + \tfrac{2}{945} x^5 - \tfrac{1}{4725} x^7 + \dots
</math>
로 쓸 수 있다. 혹은 <math>\tanh(x)</math>의 [[연분수]]를 이용하여 다음과 같이 더 나은 근사식을 얻을 수도 있다.
:<math>
L(x) = \frac{x}{3+\tfrac{x^2}{5+\tfrac{x^2}{7+\tfrac{x^2}{9+\ldots}}}}
</math>

랑주뱅 함수의 역함수는 (-1, 1) 범위에서 5% 이내의 정확도로 다음과 같이 근사시킬 수 있다.<ref name="Cohen">{{저널 인용|title=A Padé approximant to the inverse Langevin function |last=Cohen |first=A. |journal=[[Rheologica Acta]] |volume=30 |issue=3 |pages=270–273 |year=1991 |doi=10.1007/BF00366640 }}</ref>
:<math>
   L^{-1}(x) \approx x \frac{3-x^2}{1-x^2}
</math>
''x''가 작으면
:<math>
   L^{-1}(x) = 3x \frac{35-12x^2}{35-33x^2} + O(x^7)
</math>
혹은
[[테일러 급수]]<ref name="Johal">{{저널 인용|title=Energy functions for rubber from microscopic potentials |last=Johal |first=A. S. |last2=Dunstan |first2=D. J. |journal=[[Journal of Applied Physics]] |volume=101 |issue=8 |page=084917 |year=2007 |doi=10.1063/1.2723870 |bibcode = 2007JAP...101h4917J }}</ref>
:<math>
   L^{-1}(x) = 3 x + \tfrac{9}{5} x^3 + \tfrac{297}{175} x^5 + \tfrac{1539}{875} x^7 + \dots
</math>
의 근사식이 더 잘 맞는다.

== 각주 ==
<references/>

[[분류:자기]]