브뤼아 분해 문서 원본 보기

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[[리 군]] 이론에서, '''브뤼아 분해'''({{llang|en|Bruhat decomposition}})는 [[가우스-요르단 소거법]]을 임의의 [[리 군]]에 대하여 일반화한 분해이다.

== 정의 ==
<math>G</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]에 대한 [[연결 공간|연결]] [[가약군]]이라고 하자. 그렇다면, <math>G</math>의 [[보렐 부분군]](최대 [[가해군|가해]] 부분군)을 <math>B\subset G</math>라고 하며, <math>G</math>의 [[바일 군]]을 <math>W</math>라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
:<math>G=\bigsqcup_{w\in W}BwB</math>
여기서
:<math>BwB=\{b_1wb_2|b_1,b_2\in B\}</math>
는 양방향 [[잉여류]]이며, <math>\bigsqcup</math>은 [[서로소 합집합]]을 의미한다.

== 예 ==
<math>k</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하고, <math>G</math>가 [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(n;k)</math>라고 하자. 그렇다면 그 [[보렐 부분군]]은 상[[삼각행렬]]군
:<math>\operatorname{Upper}(n;k)=\{M\in\operatorname{GL}(n;k)|\forall i>j\colon M_{ij}=0\}</math>
이며, 그 [[바일 군]]은 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Weyl}(G)=S_n</math>이다. 그렇다면 브뤼아 분해에 따라서 임의의 가역 정사각행렬 <math>M\in\operatorname{GL}(n;k)</math>을 다음과 같이 분해할 수 있다.
:<math>M=U_1PU_2</math>
여기서 <math>U_1,U_2\in\operatorname{Upper}(n;k)</math>이며, <math>P</math>는 [[치환행렬]](permutation matrix)이다. 즉,
:<math>U_1^{-1}MU_2^{-2}=P</math>
이다. 따라서, 모든 [[가역행렬]]은 양쪽에 상[[삼각행렬]]들을 곱해 [[치환행렬]]로 놓을 수 있다. 이것은 사실상 [[연립일차방정식]]의 풀이와 같으며, 즉 [[가우스 소거법]]에 해당한다.

== 슈베르트 세포와의 관계 ==
리 군을 그 [[보렐 부분군]]에 대하여 잉여류 공간을 취한 [[몫공간]]을 (일반화) '''[[깃발 공간]]'''({{llang|en|flag variety}})이라고 하며, 브뤼아 분해는 깃발 공간의 [[CW 복합체|세포 분해]]를 정의한다. 이 경우, [[바일 군]]의 각 원소는 깃발 공간의 세포에 대응하며, 이를 '''슈베르트 세포'''({{llang|en|Schubert cell}})라고 한다. 슈베르트 세포의 차원은 대응하는 바일 군의 ([[콕서터 군]]으로서의) 단어 길이({{llang|en|word length}}, 군의 원소를 반사들의 합성으로 썼을 때 반사들의 수의 최솟값)이다.

예를 들어, 최고차 슈베르트 세포는 유일하며, 이는 콕서터 군의 유일한 최장(最長) 원소에 대응한다.

== 역사 ==
[[프랑수아 브뤼아]]({{llang|fr|François Bruhat}})가 [[고전군]]에 대하여 정의하였고,<ref>{{저널 인용|이름=F.|성=Bruhat|제목=Sur les representations induites des groupes de Lie|저널=Bulletin de la Société Mathématique de France|권=84|날짜=1956|쪽=97–205|zbl=0074.10303|언어=fr}}</ref> 이를 [[클로드 슈발레]]가 일반화하였다.<ref>{{서적 인용|이름=C.|성=Chevalley|저자링크=클로드 슈발레|제목=Classification des groupes de Lie algébriques|언어=fr|위치=Paris|날짜=1958|mr=0106966|zbl=0092.26301}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Daniel|성=Bump|제목=Lie groups|isbn=978-1-4614-8024-2 |총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=225|날짜=2013|출판사=Springer|doi=10.1007/978-1-4614-8024-2|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=1006.5004|제목=Bruhat decomposition and applications|이름=G.|성=Lusztig|날짜=2010|bibcode=2010arXiv1006.5004L|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[이와사와 분해]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Bruhat decomposition}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]
[[분류:대수군]]