브로카 문제 문서 원본 보기

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수학에서 '''브로카 문제'''({{lang|en|Brocard's problem}})는 다음을 만족하는 [[정수]]해 <math>n</math>, <math>m</math>을 찾는 미해결 문제이다.

<math>n!+1=m^2</math>

여기서 <math>n!</math>은 팩토리얼이다. 이 문제는 [[앙리 브로카]]가 1876년<ref>{{인용|last=Brocard|first=H.|title=Question 166|journal=Nouv. Corres. Math.|volume=2|pages=287|year=1876}}</ref>과 1885년<ref>{{인용|last=Brocard|first=H.|title=Question 1532|journal=Nouv. Ann. Math.|volume=4|pages=391|year=1885}}</ref>에, [[스리니바사 라마누잔]]이 1913년에<ref>{{인용|last=Ramanujan|first=S.|title=Question 469|journal=J. Indian Math. Soc.|volume=5|pages=59|year=1913}}</ref> 각각 독립적으로 제시하였다.

== 브라운 수 ==
브로카 문제를 만족하는 정수쌍 (n,m)은 '''브라운 수'''({{lang|en|Brown numbers}})라 불린다. 2020년까지, 브라운 수는 (4,5), (5,11), (7,71)의 3쌍만이 알려져 있다.

[[에르되시 팔]]은 브로카 문제의 다른 해가 존재하지 않는다고 추측하였다. 1993년에 Overholt와 Marius는 [[Abc 추측|''abc'' 추측]]이 참이라면 해가 유한함을 증명하였다.<ref>{{인용|last=Overholt|first=Marius|title=The diophantine equation ''n''! + 1 = ''m''<sup>2</sup>|journal=Bull. London Math. Soc.|volume=25|page=104|year=1993|doi=10.1112/blms/25.2.104|issue=2}}</ref> 2000년에는 계산을 통해 n이 10<sup>9</sup>까지 해가 존재하지 않음을 보였다.<ref>{{인용|author1-link=Bruce C. Berndt|last1=Berndt|first1=Bruce C.|last2=Galway|first2=William F.|title=The Brocard–Ramanujan diophantine equation ''n''! + 1 = ''m''<sup>2</sup>|journal=The Ramanujan Journal|url=http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf|volume=4|year=2000|pages=41–42|doi=10.1023/A:1009873805276}}</ref> 2017년에는 이를 10<sup>12</sup>까지 늘렸고,<ref>{{인용|last=Matson|first=Robert|title=Brocard’s Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues|url=http://unsolvedproblems.org/S99.pdf|journal=Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography|year=2017|access-date=2020-11-03|archive-date=2018-10-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20181006100943/http://unsolvedproblems.org/S99.pdf}}</ref> 2020년에는 10<sup>15</sup>까지 해가 존재하지 않음이 밝혀졌다.<ref>{{인용|author1-link=Jacob Glickman|last1=Epstein|first1=Andrew|last2=Glickman|first2=Jacob|title=C++ Brocard GitHub Repository|url=https://github.com/jhg023/brocard|year=2020}}</ref>

== 파생 문제 ==
1996년에 Dabrowski는 Overholt의 결과를 일반화하여, ''abc'' 추측이 참일 경우 모든 정수 <math>A</math>에 대해 다음을 만족하는 정수해가 유한함을 증명하였다.<ref>{{인용|last=Dabrowski|first=A.|title=On the Diophantine Equation ''x''! + ''A'' = ''y''<sup>2</sup>|journal=Nieuw Arch. Wisk.|volume=14|pages=321–324|year=1996}}</ref>

<math>n!+A=m^2</math>

2002년에 Luca는 이를 더 일반화하여, ''abc'' 추측이 참일 경우 다음 식을 만족하는 정수해가 유한함을 증명하였다.<ref>{{인용|last=Luca|first=Florian|title=The diophantine equation ''P''(''x'') = ''n''! and a result of M. Overholt|journal=Glasnik Matematički|volume=37|pages=269–273|year=2002|url=http://web.math.hr/glasnik/37.2/37(2)-04.pdf|issue=57}}</ref>

<math>n!=P(x)</math>

여기서 <math>P(x)</math>는 이차 이상의 정수계수 [[다항식]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[수학의 미해결 문제 목록]]

== 각주 ==
<references />

== 외부 링크 ==

* {{매스월드|title=Brocard's Problem|urlname=BrocardsProblem}}
* {{매스월드|title=Brown Numbers|urlname=BrownNumbers}}

[[분류:수론의 미해결 문제]]
[[분류:디오판토스 방정식]]