브로카르 점 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Brocard point.svg|섬네일|제1 브로카르 점]]
[[기하학]]에서 '''브로카르 점'''({{llang|en|Brocard points}})은 주어진 [[삼각형]]으로 결정되는 한 쌍의 [[등각 켤레점]]이다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref><ref name="Johnson">{{서적 인용
|성=Johnson
|이름=Roger A.
|제목=Advanced Euclidean Geometry
|언어=en
|출판사=Dover Publications
|위치=New York, N. Y.
|날짜=1960
|원본연도=1929
}}</ref>

== 정의 ==
(유향) 평면 위의 삼각형 <math>ABC</math>가 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 점 <math>\Omega</math>가 유일하게 존재하며, 이 점을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''제1 브로카르 점'''({{llang|en|first Brocard point}}) <math>\Omega</math>라고 한다.
:<math>\angle\Omega AB=\angle\Omega BC=\angle\Omega CA</math>
(유향) 평면 위의 삼각형 <math>ABC</math>가 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 점 <math>\Omega'</math>이 유일하게 존재하며, 이 점을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''제2 브로카르 점'''({{llang|en|second Brocard point}}) <math>\Omega'</math>이라고 한다.
:<math>\angle\Omega'AC=\angle\Omega'CB=\angle\Omega'BA</math>
제1·제2 브로카르 점을 통틀어 '''브로카르 점'''이라고 한다.
{{증명}}
등식 <math>\angle\Omega AB=\angle\Omega BC</math>는 <math>\Omega</math>가 점 <math>A</math>를 지나며 점 <math>B</math>에서 변 <math>BC</math>에 접하는 원 위의 (점 <math>A</math> 또는 <math>B</math>가 아닌) 점인 것과 동치이며, 등식 <math>\angle\Omega AB=\angle\Omega CA</math>는 <math>\Omega</math>가 점 <math>C</math>를 지나며 점 <math>A</math>에서 변 <math>AB</math>에 접하는 원 위의 (점 <math>C</math> 또는 <math>A</math>가 아닌) 점인 것과 동치이다. 변 <math>AB</math>는 각각 두 원의 현과 접선이므로, 두 원은 교점 <math>B</math>에서 접하지 않으며, 두 원은 다른 한 교점을 갖는다. 이는 제1 브로카르 점의 정의를 만족시키는 유일한 점이다.

이는 [[미켈 정리]]에 극한을 취한 경우와 같다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
=== 브로카르 각 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 제1·제2 브로카르 점 <math>\Omega</math>, <math>\Omega'</math>은 [[등각 켤레점]]이다. 즉, 위 6개의 각의 크기는 일치한다. 이 각의 크기를 삼각형 <math>ABC</math>의 '''브로카르 각'''({{llang|en|Brocard angle}}) <math>\omega</math>라고 한다. 삼각형 <math>ABC</math>의 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>의 대변의 길이를 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, 넓이를 <math>S</math>라고 하자. 그렇다면 다음 항등식들이 성립한다.<ref name="Johnson" />{{rp|266–267, §[XVI.]434–435}}
:<math>\begin{align}
\cot\omega
& =\cot A+\cot B+\cot C \\
& =\frac{a^2+b^2+c^2}{4S} \\
& =\frac{1+\cos A\cos B\cos C}{\sin A\sin B\sin C} \\
& =\frac{\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C}{2\sin A\sin B\sin C} \\
& =\frac{a\sin A+b\sin B+c\sin C}{a\cos A+b\cos B+c\cos C}
\end{align}</math>
:<math>\csc\omega=\csc A+\csc B+\csc C</math>
:<math>\sin\omega=\frac{2S}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}</math>
{{증명}}
유향 선분 <math>B\Omega</math>의 연장선과 점 <math>C</math>를 지나며 점 <math>A</math>에서 변 <math>AB</math>에 접하는 원의 교점을 <math>P</math>라고 하자. 그렇다면 [[원주각]]의 성질에 따라
:<math>\angle\Omega PA=\angle\Omega CA=\angle\Omega AB</math>
이므로 <math>AP</math>와 <math>BC</math>는 평행한다. 점 <math>A</math>, <math>P</math>를 지나는 변 <math>BC</math>의 수선의 발을 <math>D</math>, <math>E</math>라고 하자. 그렇다면 [[접현각]]의 성질에 따라
:<math>\angle PCE=\angle CPA=\angle CAB</math>
이다. 따라서 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\cot\omega
& =\frac{BE}{PE} \\
& =\frac{BD}{AD}+\frac{DC}{AD}+\frac{CE}{PE} \\
& =\cot B+\cot C+\cot A
\end{align}</math>
또한
:<math>\begin{align}
a^2
& =a\cdot(BD+CD) \\
& =a\cdot AD\cdot(\cot B+\cot C) \\
& =2S(\cot B+\cot C) \\
\end{align}</math>
:<math>b^2=2S(\cot C+\cot A)</math>
:<math>c^2=2S(\cot A+\cot B)</math>
이므로
:<math>a^2+b^2+c^2=4S(\cot A+\cot B+\cot C)=4S\cot\omega</math>
이다.

그 밖의 항등식들은 이 두 항등식과 삼각법을 사용하여 증명할 수 있다.
{{증명 끝}}

모든 삼각형의 브로카르 각은 <math>\pi/6</math> 이하이며, 정확히 <math>\pi/6</math>일 필요 충분 조건은 [[정삼각형]]이다 ([[바이첸뵈크 부등식]]).<ref name="Honsberger" />{{rp|104, §10.2}}
:<math>\omega\le\frac\pi 6</math>

보다 일반적으로, 볼록 다각형 <math>A_1\cdots A_n</math> (<math>A_{n+1}=A_1</math>) 및 그 내부에 속하는 점 <math>P</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 부등식이 성립하며, 등식이 성립할 필요 충분 조건은 [[정다각형]]과 그 중심이다.<ref name="Besenyei">{{저널 인용
|성1=Besenyei
|이름1=Ádám
|제목=The Brocard Angle and a Geometrical Gem from Dmitriev and Dynkin
|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2015-05_122_5/page/n92
|언어=en
|저널=The American Mathematical Monthly
|권=122
|호=5
|쪽=495–499
|날짜=2015-05
|issn=0002-9890
|doi=10.4169/amer.math.monthly.122.5.495
|jstor=10.4169/amer.math.monthly.122.5.495
}}</ref>
:<math>\min_{1\le i\le n}\angle PA_iA_{i+1}\le\frac{(n-2)\pi}{2n}</math>
{{증명}}
모든 <math>i=1,\dots,n</math>에 대하여 <math>\angle PA_iA_{i+1}\ge(n-2)\pi/2n</math>이라고 가정하자. 그렇다면 모든 <math>i=1,\dots,n</math>에 대하여, <math>\angle PA_iB_i=(n-2)\pi/2n</math>인 선분 <math>PA_{i+1}</math> 위의 점 <math>B_i</math>가 존재한다. [[사인 법칙]]에 따라 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\sin\angle PB_1A_1\cdots\sin\angle PB_nA_n
& =\frac{PA_1}{PB_1}\sin\angle PA_1B_1\cdot\cdots\cdot\frac{PA_n}{PB_n}\sin\angle PA_nB_n \\
& \ge\frac{PA_1}{PA_2}\cdot\cdots\cdot\frac{PA_n}{PA_1}\sin^n\frac{(n-2)\pi}{2n} \\
& =\sin^n\frac{(n-2)\pi}{2n}
\end{align}</math>
또한 [[산술-기하 평균 부등식]]과 [[옌센 부등식]]에 따라 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\sin\angle PB_1A_1\cdots\sin\angle PB_nA_n
& \le\left(\frac{\sin\angle PB_1A_1+\cdots+\sin\angle PB_nA_n}n\right)^n \\
& \le\sin^n\frac{\angle PB_1A_1+\cdots\angle PB_nA_n}n \\
& =\sin^n\frac{(\pi-(n-2)\pi/2n-\angle A_1PA_2)+\cdots+(\pi-(n-2)\pi/2n-\angle A_nPA_1)}n \\
& =\sin^n\frac{(n-2)\pi}{2n}
\end{align}</math>
따라서 위 두 부등식에서 등식이 성립한다. 등식이 성립할 조건에 따라 모든 <math>i=1,\dots,n</math>에 대하여 <math>B_i=A_{i+1}</math>이며,
:<math>\angle PA_2A_1=\angle PA_3A_2=\cdots=\angle PA_1A_n=\frac{(n-2)\pi}{2n}</math>
이다. 또한
:<math>\angle PA_1A_2=\angle PA_2A_3=\cdots=\angle PA_nA_1=\frac{(n-2)\pi}{2n}</math>
이다. 따라서 볼록 다각형 <math>A_1\cdots A_n</math>은 정다각형이며 <math>P</math>는 그 중심이다.
{{증명 끝}}

삼각형 <math>ABC</math>의 제1·제2 브로카르 점을 <math>\Omega</math>, <math>\Omega'</math>, [[외심]]을 <math>O</math>라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|106, §10.2}}
:<math>\Omega O=\Omega'O</math>
:<math>\angle\Omega O\Omega'=2\omega</math>
{{증명}}
유향 선분 <math>A\Omega</math>, <math>B\Omega</math>, <math>C\Omega</math>의 연장선과 외접원의 교점을 <math>A'</math>, <math>B'</math>, <math>C'</math>이라고 하자. 그렇다면 [[원주각]]의 성질에 따라
:<math>\angle\Omega A'C'=\angle CBC'=\omega</math>
:<math>\angle AOA'=2\angle A'CA=2\omega</math>
:<math>\angle\Omega C'B'=\angle\Omega B'A'=\omega</math>
:<math>\angle BOB'=\angle COC'=2\omega</math>
이다. 따라서 삼각형 <math>ABC</math>는 삼각형 <math>A'B'C'</math>을 외심 <math>O</math>에 대하여 <math>2\omega</math>만큼 회전한 상이며, <math>\Omega</math>는 삼각형 <math>A'B'C'</math>의 제2 브로카르 점이다. 따라서 점 <math>\Omega</math>를 외심 <math>O</math>에 대하여 <math>2\omega</math>만큼 회전한 상은 원래 삼각형 <math>ABC</math>의 제2 브로카르 점 <math>\Omega'</math>과 같다.
{{증명 끝}}

삼각형 <math>ABC</math>의 제1 브로카르 점 <math>\Omega</math>를 지나는 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 수선의 발을 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하고, 제2 브로카르 점 <math>\Omega'</math>을 지나는 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 수선의 발을 <math>D'</math>, <math>E'</math>, <math>F'</math>라고 하자. 그렇다면 두 브로카르 점의 수족 삼각형 <math>FDE</math>와 <math>E'F'D'</math>은 [[합동 (기하학)|합동]]이며, 둘 모두 원래 삼각형 <math>ABC</math>와 [[닮음 (기하학)|닮음]]이다.<ref name="Johnson" />{{rp|269, §[XVI.]441}}
{{증명}}
사각형 <math>\Omega FBD</math>, <math>\Omega DCE</math>, <math>\Omega EAF</math>는 [[내접 사각형]]이므로 [[원주각]]의 성질에 따라
:<math>\angle\Omega FD=\angle\Omega BC=\omega</math>
:<math>\angle\Omega DE=\angle\Omega CA=\omega</math>
:<math>\angle\Omega EF=\angle\Omega AB=\omega</math>
이다. 따라서 <math>\Omega</math>는 삼각형 <math>FDE</math>의 제1 브로카르 점이다. 또한
:<math>\angle DFE=\angle\Omega FD+\angle\Omega FE=\omega+\angle\Omega AC=\angle BAC</math>
:<math>\angle EDF=\angle\Omega DE+\angle\Omega DF=\omega+\angle\Omega BA=\angle CBA</math>
:<math>\angle FED=\angle\Omega EF+\angle\Omega ED=\omega+\angle\Omega CB=\angle ACB</math>
이므로 삼각형 <math>FDE</math>와 <math>ABC</math>는 닮음이다. 닮음비는
:<math>\frac{\Omega F}{\Omega A}=\sin\omega</math>
이며, 이는 제2 브로카르 점의 경우도 마찬가지다.
{{증명 끝}}

삼각형 <math>ABC</math>의 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 한 꼭짓점 <math>A</math>와 제1 브로카르 점 <math>\Omega</math>를 지나는 직선 <math>A\Omega</math>, 시계 반대 방향에 대한 다음 꼭짓점 <math>B</math>를 지나는 [[대칭 중선]] <math>BK</math>, 남은 꼭짓점 <math>C</math>를 지나는 [[중선]] <math>CG</math>는 한 점에서 만난다. 반대로, 한 꼭짓점 <math>A</math>와 제2 브로카르 점 <math>\Omega'</math>을 지나는 직선 <math>A\Omega'</math>, 시계 방향에 대한 다음 꼭짓점 <math>C</math>를 지나는 대칭 중선 <math>CK</math>, 남은 꼭짓점 <math>B</math>를 지나는 중선 <math>BG</math>는 한 점에서 만난다.<ref name="Honsberger" />{{rp|122, §10.6}}
{{증명}}
각 꼭짓점을 지나는 직선 <math>A\Omega</math>, <math>BK</math>, <math>CG</math>의 발을 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하자. 그렇다면 대칭 중선과 중선의 성질에 따라
:<math>\frac{AF}{FB}=1</math>
:<math>\frac{CE}{EA}=\frac{a^2}{c^2}</math>
이다. [[체바 정리]]에 따라 다음을 보이는 것으로 충분하다.
:<math>\frac{BD}{DC}=\frac{c^2}{a^2}</math>
제1 브로카르 점 <math>\Omega</math>의 정의에 따라
:<math>\angle B\Omega D=\angle\Omega AB+\angle\Omega BA=\omega+\angle ABC-\omega=\angle ABC</math>
:<math>\angle D\Omega C=\angle BAC</math>
이다. [[사인 법칙]]에 따라 다음이 성립한다.
:<math>\frac{B\Omega}{\sin(C-\omega)}=\frac a{\sin(A+B)}=\frac a{\sin C}</math>
:<math>\frac{\Omega D}{\sin(C-\omega)}=\frac{DC}{\sin A}</math>
삼각형 <math>DB\Omega</math>와 <math>DAB</math>가 닮음이므로
:<math>\frac c{BD}=\frac{B\Omega}{\Omega D}=\frac{a\sin A}{DC\cdot\sin C}=\frac{a^2}{DC\cdot c}</math>
이다.
{{증명 끝}}

=== 제1 브로카르 삼각형과 브로카르 원 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 각각 제1·제2 브로카르 점 <math>\Omega</math>와 <math>\Omega'</math>을 지나는 두 [[체바 직선]] <math>B\Omega</math>와 <math>C\Omega'</math>, <math>C\Omega</math>와 <math>A\Omega'</math>, <math>A\Omega</math>와 <math>B\Omega'</math>의 교점 <math>B_A</math>, <math>B_B</math>, <math>B_C</math>를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''제1 브로카르 삼각형'''({{llang|en|first Brocard triangle}}) <math>B_AB_BB_C</math>라고 한다. 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 <math>B_A</math>, <math>B_B</math>, <math>B_C</math>는 각각 삼각형의 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 수직 이등분선 위의 점이다.
{{증명}}
이는 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 <math>B_A</math>, <math>B_B</math>, <math>B_C</math>가 각각 브로카르 각을 밑각으로 하는 이등변 삼각형 <math>B_ABC</math>, <math>B_BCA</math>, <math>B_CAB</math>의 꼭짓점이기 때문이다.
{{증명 끝}}

삼각형 <math>ABC</math>의 [[대칭 중점]] <math>K</math>와 [[외심]] <math>O</math> 사이의 선분 <math>KO</math>를 지름으로 하는 원을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''브로카르 원'''({{llang|en|Brocard circle}})이라고 한다. 브로카르 원은 [[제1 르무안 원]]과 [[동심원]]이다. 삼각형 <math>ABC</math>의 제1·제2 브로카르 점 <math>\Omega</math>, <math>\Omega'</math>은 모두 브로카르 원 위의 점이다. 브로카르 원은 제1 브로카르 삼각형 <math>B_AB_BB_C</math>의 [[외접원]]이다.
{{증명}}
삼각형 <math>ABC</math>의 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 중점을 각각 <math>M_A</math>, <math>M_B</math>, <math>M_C</math>라고 하자. 그렇다면 <math>B_A</math>와 변 <math>BC</math> 사이의 거리는
:<math>B_AM_A=BM_A\tan\angle B_ABM_A=\frac 12a\tan\omega</math>
이다. 이는 대칭 중점 <math>K</math>와 변 <math>BC</math> 사이의 거리와 같으므로 <math>KB_A</math>와 <math>BC</math>는 평행한다. <math>OB_A</math>는 <math>BC</math>의 수선이므로 <math>KB_A</math>의 수선이다. 즉, 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 <math>B_A</math>는 브로카르 원 위의 점이다.

마찬가지로 <math>KB_B</math>와 변 <math>CA</math>는 평행하며 <math>B_B</math>는 브로카르 원 위의 점이다. 따라서
:<math>\angle\Omega B_AK=\angle B_ABC=\omega=\angle B_BCA=\angle\Omega B_BK</math>
이다. 즉, 제1 브로카르 점 <math>\Omega</math>는 브로카르 원 위의 점이다.
{{증명 끝}}

제1 브로카르 삼각형 <math>B_AB_BB_C</math>는 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 원래 삼각형 <math>ABC</math>와 [[닮음 (기하학)|닮음]]이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|112, §10.4}}
{{증명}}
이는 [[원주각]]의 성질을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
:<math>\begin{align}
\angle B_AB_CB_B
& =\angle B_A\Omega B_B \\
& =\pi-\angle\Omega B_AC-\angle\Omega CB_A \\
& =\pi-(\pi-2\omega)-(2\omega-C) \\
& =\angle ACB
\end{align}</math>
:<math>\angle B_CB_BB_A=\angle CBA</math>
{{증명 끝}}

제1 브로카르 삼각형 <math>B_AB_BB_C</math>와 원래 삼각형 <math>ABC</math>의 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]은 일치한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|112, §10.4}} 이에 따라, 제1 브로카르 삼각형의 각 변 <math>B_BB_C</math>, <math>B_CB_A</math>, <math>B_AB_B</math>의 중점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>를 지나는 원래 삼각형의 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 수선은 원래 삼각형의 [[구점원]]의 중심 <math>N</math>에서 만난다.<ref name="Honsberger" />{{rp|117, §10.4}}
{{증명}}
점 <math>B_A</math>를 변 <math>BC</math>에 대하여 [[반사 (기하학)|반사]]시킨 상을 <math>B_A'</math>이라고 하자. 그렇다면
:<math>\angle B_CBB_A'=\angle B_CBB_A+2\omega=\angle ABC</math>
:<math>\frac{B_CB}{AB}=\frac 12\sec\omega=\frac{BB_A}{BC}=\frac{BB_A'}{BC}</math>
이므로 삼각형 <math>ABC</math>와 <math>B_CBB_A'</math>은 닮음이다. 마찬가지로
:<math>\angle B_BCB_A'=\angle ACB</math>
:<math>\frac{B_BC}{AC}=\frac 12\sec\omega=\frac{B_A'C}{BC}</math>
이므로 삼각형 <math>ABC</math>와 <math>B_BB_A'C</math>는 닮음이다. 또한 <math>BB_A'=B_A'C</math>이므로 삼각형 <math>B_CBB_A'</math>와 <math>B_BB_A'C</math>는 합동이다. 따라서
:<math>AB_C=B_CB=B_BB_A'</math>
이다. 선분 <math>AB_C</math>, <math>B_BB_A'</math>을 각각 점 <math>A</math>, <math>C</math>에 대하여 시계 방향 <math>\omega</math>만큼 회전시킨 상은 모두 변 <math>AB</math>와 평행하므로, <math>AB_C</math>와 <math>B_BB_A'</math>은 평행한다. 따라서 사각형 <math>AB_CB_A'B_B</math>는 [[평행 사변형]]이며, 대각선 <math>AB_A'</math>와 <math>B_CB_B</math>는 그 교점 <math>P</math>에서 서로를 이등분한다. 선분 <math>B_AD</math>는 삼각형 <math>B_AB_BB_C</math>와 <math>AB_AB_A'</math>의 공통 꼭짓점 <math>B_A</math>를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 <math>B_AB_BB_C</math>와 <math>AB_AB_A'</math>의 무게 중심은 일치한다. 선분 <math>BC</math>와 <math>B_AB_A'</math>의 공통 중점을 <math>M_A</math>라고 하자. 그렇다면 선분 <math>AM_A</math>는 삼각형 <math>ABC</math>와 <math>AB_AB_A'</math>의 공통 꼭짓점 <math>A</math>를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 <math>ABC</math>와 <math>AB_AB_A'</math>의 무게 중심 역시 일치한다. 따라서 삼각형 <math>ABC</math>와 <math>B_AB_BB_C</math>의 무게 중심은 일치한다.

삼각형 <math>ABC</math>의 외심 <math>O</math>와 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 <math>B_A</math>, <math>B_B</math>, <math>B_C</math>에 무게 중심 <math>G</math>를 닮음 중심으로 하고 <math>-1/2</math>을 닮음비로 하는 [[중심 닮음 변환]]을 가한 상은 각각 구점원의 중심 <math>N</math>과 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>이다. <math>B_AO</math>, <math>B_BO</math>, <math>B_CO</math>는 각각 삼각형의 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 수직 이등분선이다. 위 변환은 직선의 방향을 보존하므로 <math>DN</math>과 <math>B_AO</math>, <math>EN</math>과 <math>B_BO</math>, <math>FN</math>과 <math>B_CO</math>는 평행한다. 따라서 <math>DN</math>, <math>EN</math>, <math>FN</math>은 각각 삼각형의 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 수선이다.
{{증명 끝}}

=== 제2 브로카르 삼각형 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 꼭짓점 <math>B</math> 또는 <math>C</math>를 지나며 꼭짓점 <math>A</math>에서 각각 변 <math>CA</math> 또는 <math>AB</math>에 접하는 두 원의 교점 <math>C_A</math>, 꼭짓점 <math>C</math> 또는 <math>A</math>를 지나며 꼭짓점 <math>B</math>에서 각각 변 <math>AB</math> 또는 <math>BC</math>에 접하는 두 원의 교점 <math>C_B</math>, 꼭짓점 <math>A</math> 또는 <math>B</math>를 지나며 꼭짓점 <math>C</math>에서 각각 변 <math>BC</math> 또는 <math>CA</math>에 접하는 두 원의 교점 <math>C_C</math>를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''제2 브로카르 삼각형'''({{llang|en|second Brocard triangle}}) <math>C_AC_BC_C</math>라고 한다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 <math>C_A</math>, <math>C_B</math>, <math>C_C</math>는 각각 [[대칭 중선]] <math>AK</math>, <math>BK</math>, <math>CK</math> 위의 점이다.
{{증명}}
[[접현각]]의 성질에 따라
:<math>\angle C_AAB=\angle C_ACA</math>
:<math>\angle C_ABA=\angle C_AAC</math>
이므로 삼각형 <math>C_AAB</math>와 <math>C_ACA</math>는 닮음이다. 따라서 <math>C_A</math>와 삼각형의 두 변 <math>AB</math>, <math>CA</math> 사이의 거리의 비는 <math>AB/CA=c/b</math>이다. 즉, <math>C_A</math>는 대칭 중선 <math>AK</math> 위의 점이다.
{{증명 끝}}

브로카르 원은 제2 브로카르 삼각형 <math>C_AC_BC_C</math>의 [[외접원]]이다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 <math>C_A</math>, <math>C_B</math>, <math>C_C</math>는 각각 선분 <math>AK</math>, <math>BK</math>, <math>CK</math>를 연장한 외접원의 현의 중점이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|118, §10.4}}
{{증명}}
편의상 삼각형 <math>ABC</math>가 예각 삼각형이며 대칭 중점 <math>K</math>가 선분 <math>AC_A</math> 위의 점이며 외심 <math>O</math>가 삼각형 <math>AC_AC</math>의 내부에 속한다고 가정하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면
:<math>\angle BC_AC=2\angle BAC=\angle BOC</math>
이므로 <math>B</math>, <math>C_A</math>, <math>O</math>, <math>C</math>는 한 원 위의 점이다. 따라서 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\angle KC_AO
& =\angle AC_AC-\angle OC_AC \\
& =(\pi-\angle C_AAC-\angle C_ACA)-\angle OBC \\
& =(\pi-\angle C_AAC-\angle C_AAB)-(\pi/2-\angle BAC) \\
& =(\pi-\angle BAC)-(\pi/2-\angle BAC) \\
& =\pi/2
\end{align}</math>
즉, 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 <math>C_A</math>는 브로카르 원 위의 점이다.

유향 선분 <math>AK</math>의 연장선과 외접원의 교점을 <math>D</math>라고 하자. 그렇다면 <math>OC_A</math>가 현 <math>AD</math>의 수선이므로 <math>C_A</math>는 현 <math>AD</math>의 중점이다.
{{증명 끝}}

=== 슈타이너 점과 타리 점 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 <math>B_BB_C</math>, <math>B_CB_A</math>, <math>B_AB_B</math>의 평행선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''슈타이너 점'''({{llang|en|Steiner point}}) <math>S</math>라고 한다 ([[야코프 슈타이너]]). 삼각형 <math>ABC</math>의 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 <math>B_BB_C</math>, <math>B_CB_A</math>, <math>B_AB_B</math>의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''타리 점'''({{llang|en|Tarry point}}) <math>T</math>라고 한다 (가스통 타리, {{llang|fr|Gaston Tarry}}). 슈타이너 점과 타리 점은 외접원 위의 한 쌍의 [[대척점]]이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|119–120, §10.5, (a)}}
{{증명}}
꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>를 지나는 변 <math>B_BB_C</math>, <math>B_CB_A</math>의 평행선의 교점을 <math>S</math>라고 하자. 그렇다면 삼각형 <math>ABC</math>와 <math>B_AB_BB_C</math>가 닮음이므로
:<math>\angle ASB=\angle B_AB_CB_B=\angle ACB</math>
이다. 따라서 <math>S</math>는 외접원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라
:<math>\angle BSC=\angle BAC=\angle B_BB_AB_C</math>
이다. <math>BS</math>와 <math>B_CB_A</math>가 평행하므로 <math>CS</math>는 <math>B_AB_B</math>와 평행한다.

점 <math>S</math>의 대척점을 <math>T</math>라고 하자. 그렇다면 선분 <math>ST</math>가 외접원의 지름이므로 <math>AT</math>, <math>BT</math>, <math>CT</math>는 각각 <math>AS</math>, <math>BS</math>, <math>CS</math>의 수선이다. 따라서 <math>AT</math>, <math>BT</math>, <math>CT</math>는 <math>B_BB_C</math>, <math>B_CB_A</math>, <math>B_AB_B</math>의 수선이다.
{{증명 끝}}

슈타이너 점은 삼각형의 각 꼭짓점에 외각의 크기를 질량으로 부여한 질점의 무게 중심이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|120, §10.5, (a)}}

삼각형 <math>ABC</math>의 대칭 중점 <math>K</math>는 제1 브로카르 삼각형 <math>B_AB_BB_C</math>의 슈타이너 점이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|121, §10.5, (b)}}
{{증명}}
우선, 제1 브로카르 삼각형 <math>B_AB_BB_C</math>의 제1 브로카르 삼각형 <math>B^2_AB^2_BB^2_C</math>의 각 변 <math>B^2_BB^2_C</math>, <math>B^2_CB^2_A</math>, <math>B^2_AB^2_B</math>가 원래 삼각형 <math>ABC</math>와 중심 닮음임을 증명하자. 대칭성에 따라 <math>B^2_AB^2_B</math>와 <math>AB</math>가 평행함을 증명하면 충분하다. 삼각형 <math>ABC</math>와 제1 브로카르 삼각형 <math>B_AB_BB_C</math>를 조합한 도형은 제1 브로카르 삼각형 <math>B_AB_BB_C</math>와 그 제1 브로카르 삼각형 <math>B^2_AB^2_BB^2_C</math>를 조합한 도형과 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다. 따라서 <math>BC</math>에서 <math>B_AB_B</math>로 회전한 각의 크기와 <math>B_BB_C</math>에서 <math>B^2_AB^2_B</math>로 회전한 각의 크기는 덧셈 역원이다. <math>B_AB_B</math>에서 <math>B_BB_C</math>로 회전한 각의 크기는 <math>BC</math>에서 <math>AB</math>로 회전한 각의 크기와 같으므로 (절댓값은 <math>\angle ABC</math>), <math>BC</math>에서 <math>B^2_AB^2_B</math>로 회전한 각의 크기는 <math>BC</math>에서 <math>AB</math>로 회전한 각의 크기와 같다. 따라서 <math>B^2_AB^2_B</math>와 <math>AB</math>는 평행한다.

이제 대칭 중점 <math>K</math>가 제1 브로카르 삼각형 <math>B_AB_BB_C</math>의 슈타이너 점임을 증명하자. 삼각형 <math>ABC</math>의 외심을 <math>O</math>라고 하자. 대칭성에 따라 <math>B_AK</math>와 <math>B^2_BB^2_C</math>가 평행함을 증명하면 충분하다. 이는 <math>B_AK</math>와 <math>B_AO</math>가 수직이며 <math>B_AO</math>와 <math>BC</math>가 수직이며 또한 <math>BC</math>와 <math>B^2_BB^2_C</math>가 평행하므로 성립한다.
{{증명 끝}}

=== 노이베르크 원 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 브로카르 각을 <math>\omega</math>라고 하자. 그렇다면 각각 선분 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>를 한 변으로 하는 삼각형 <math>PBC</math>, <math>QCA</math>, <math>RAB</math>의 브로카르 각이 <math>\omega</math>가 되게 만드는 점 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>의 자취는 각각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 원과 이를 각각 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>에 대하여 [[반사 (기하학)|반사]]한 상이다. 총 6개의 원 가운데 각각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 3개의 원을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''노이베르크 원'''({{llang|en|Neuberg circles}})이라고 한다 (요제프 노이베르크, {{llang|lb|Joseph Neuberg}}).
{{증명}}
삼각형 <math>ABC</math>와 음이 아닌 실수 <math>\omega\in[0,\pi/6]</math>이 주어졌다고 하자. 삼각형의 변 <math>BC</math>의 중점을 <math>M_A</math>라고 하자. 변 <math>BC</math>의 수직 이등분선에서 변 <math>BC</math>에 대하여 <math>A</math>와 같은 쪽이며
:<math>N_AM_A=\frac 12a\cot\omega</math>
인 점 <math>N_A</math>를 취하자. [[아폴로니오스 정리]]에 따라
:<math>{AM_A}^2=\frac 12b^2+\frac12 c^2-\frac 14a^2</math>
이다. 또한 삼각형 <math>ABC</math>의 넓이는 다음과 같다.
:<math>S=\frac 12a\cdot AM_A\cdot\cos\angle AM_AN_A</math>
[[코사인 법칙]]에 따라 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
N_AA^2
& ={AM_A}^2+{N_AM_A}^2-2\cdot AM_A\cdot N_AM_A\cdot\cos\angle AM_AN_A \\
& =\frac 12b^2+\frac 12 c^2-\frac 14a^2+\frac 14a^2\cot^2\omega-2\cdot AM_A\cdot\frac 12a\cot\omega\cdot\cos\angle AM_AN_A \\
& =\frac 12b^2+\frac 12 c^2-\frac 14a^2+\frac 14a^2\cot^2\omega-2S\cot\omega
\end{align}</math>
만약 삼각형 <math>ABC</math>의 브로카르 각이 <math>\omega</math>라면,
:<math>\begin{align}
N_AA^2
& =\frac 12b^2+\frac 12 c^2-\frac 14a^2+\frac 14a^2\cot^2\omega-\frac{a^2+b^2+c^2}2 \\
& =\frac 14a^2(\cot^2\omega-3)
\end{align}</math>
이다. 즉, <math>A</math>는 중심이 <math>N_A</math>, 반지름이
:<math>\frac 12a\sqrt{\cot^2\omega-3}</math>
인 원 위의 점이다. 반대로, 만약
:<math>N_AA=\frac 12a\sqrt{\cot^2\omega-3}</math>
이라면,
:<math>\cot\omega=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}</math>
이므로 삼각형 <math>ABC</math>의 브로카르 각은 <math>\omega</math>이다.
{{증명 끝}}

꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 노이베르크 원의 중심 <math>N_A</math>, <math>N_B</math>, <math>N_C</math>는 각각 삼각형의 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 수직 이등분선 위의 점이다. 노이베르크 원의 중심 <math>N_A</math>, <math>N_B</math>, <math>N_C</math>와 삼각형의 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math> 사이의 거리는 각각 다음과 같다.<ref name="Johnson" />{{rp|287, §[XVII.]480}}
:<math>d(N_A,BC)=\frac 12a\cot\omega</math>
:<math>d(N_B,CA)=\frac 12b\cot\omega</math>
:<math>d(N_C,AB)=\frac 12c\cot\omega</math>

노이베르크 원의 반지름은 각각 다음과 같다.<ref name="Johnson" />{{rp|287, §[XVII.]480}}
:<math>N_AA=\frac 12a\sqrt{\cot^2\omega-3}</math>
:<math>N_BB=\frac 12b\sqrt{\cot^2\omega-3}</math>
:<math>N_CC=\frac 12c\sqrt{\cot^2\omega-3}</math>

꼭짓점 <math>A</math>를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 <math>B</math>, <math>C</math>를 중심으로 하며 선분 <math>BC</math>를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 마찬가지로, 꼭짓점 <math>B</math>를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 <math>C</math>, <math>A</math>를 중심으로 하며 선분 <math>CA</math>를 반지름으로 하는 두 원과 직교하며, 꼭짓점 <math>C</math>를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>를 중심으로 하며 선분 <math>AB</math>를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 이에 따라, 고정된 선분 <math>BC</math> 및 변화하는 점 <math>A</math>에 대한 (꼭짓점 <math>A</math>를 지나는) 노이베르크 원들은 [[동축원 다발]]을 이루며, 그 두 극한점 <math>L</math>, <math>L'</math>과 선분 <math>BC</math>는 두 정삼각형 <math>LBC</math>, <math>L'BC</math>를 이룬다.<ref name="Johnson" />{{rp|289, §[XVII.]484}}

== 역사 ==
오늘날 브로카르 점이라고 불리는 개념은 아우구스트 레오폴트 크렐레({{llang|de|August Leopold Crelle}})가 1816년에 도입하였다.<ref name="Besenyei" />{{rp|495}} 그 후 카를 프리드리히 안드레아스 야코비({{llang|de|Karl Friedrich Andreas Jacobi}})를 비롯한 수학자들도 이를 연구하였다.<ref name="Besenyei" />{{rp|495}} 앙리 브로카르({{llang|fr|Henri Brocard}})가 1875년에 재발견하였다.<ref name="Besenyei" />{{rp|495}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
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[[분류:삼각 기하학]]