브라우어르 차수 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서, 두 [[다양체]] 사이의 [[연속 함수]]의 '''브라우어르 차수'''(Brouwer次數, {{lang|en|Brouwer degree}})는 함수의 [[정의역]]이 함수의 [[치역]]을 몇 번 감싸는지를 나타내는 정수이다. 기호는 <math>\deg</math>.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>
* 두 <math>n</math>차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간|연결]] [[다양체]] <math>X</math>, <math>Y</math>
* <math>X</math>와 <math>Y</math> 위의 [[방향 (다양체)|방향]]. 즉, [[기본류]] <math>[X]\in\operatorname H_n(X;\mathbb Z)</math>, <math>[Y]\in\operatorname H_n(X;\mathbb Z)</math>.
* [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>
이에 따라, <math>X</math>와 <math>Y</math>의 최고차 [[호몰로지 군]]은 다음과 같다.
:<math>H_n(X;\mathbb Z)\cong H_n(Y;\mathbb Z)\cong\mathbb Z</math>
그렇다면, <math>f</math>는 [[군 준동형]]
:<math>f_*\colon\operatorname H_n(X;\mathbb Z)\to\operatorname H_n(Y;\mathbb Z)</math>
를 유도한다. 연속 함수 <math>f</math>의 '''브라우어르 차수''' <math>\deg f</math>는 다음 조건을 만족시키는 유일한 정수이다.
:<math>f_*([X])=(\deg f)[Y]</math>.

== 예 ==
단위 [[절댓값]]의 복소수 집합으로 여긴 원
:<math>\mathbb S^1=\{z\in\mathbb Z\colon|z|=1\}</math>
을 생각하자. 이는 표준적인 [[방향 (다양체)|방향]]을 갖는 1차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[다양체]]이다. 이 경우, [[연속 함수]]
:<math>f\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1</math>
:<math>f\colon z\mapsto z^n</math>
의 브라우어르 차수는 다음과 같다.
:<math>\deg f=n</math>

== 역사 ==
[[라위트전 브라우어르]]가 1911년 정의하였다.<ref>{{저널 인용|날짜=1911-03|권=71|호=1|쪽=97–115|제목=Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten|저널=Mathematische Annalen|이름=L. E. J.|성=Brouwer|저자링크=라위트전 브라우어르|doi=10.1007/BF01456931|언어=de}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[밀도 (다포체)]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=BrouwerDegree|title=Brouwer degree}}
* {{eom|title=Brouwer degree}}
* {{nlab|id=degree of a continuous function|title=Degree of a continuous function}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:연속 함수]]