브라마굽타 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''브라마굽타 정리'''({{lang|en|Brahmagupta}}定理, {{llang|en|Brahmagupta's theorem}})는 [[직교대각선 사각형|두 대각선이 직교하고]] [[내접 사각형|원에 내접하는 사각형]]의 두 대각선의 교점에서 한 변에 내린 [[수직|수선]]은 대변을 [[이등분]]한다는 정리이다.<ref name="Coxeter">{{서적 인용
|성1=Coxeter
|이름1=H. S. M.
|저자링크1=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|성2=Greitzer
|이름2=S. L.
|기타=Buehler, George H. 삽화
|제목=Geometry Revisited
|언어=en
|출판사=Mathematical Association of America
|위치=Washington, D.C.
|날짜=1967
|isbn=0-88385-619-0
}}</ref>{{rp|59, §3.2, Theorem 3.23}} 사실 임의의 내접 사각형의 각 변의 중점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 내접 사각형의 [[반중심]]이라고 한다. 이 경우 브라마굽타 정리는 [[직교대각선]] 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이라는 내용이다.

== 정의 ==
[[직교대각선 사각형|직교대각선]] [[내접 사각형]] <math>ABCD</math>의 두 대각선 <math>AC</math>, <math>BD</math>의 교점을 <math>P</math>라고 하고, <math>P</math>를 지나는 <math>BC</math>의 [[수직|수선]]의 <math>BC</math>, <math>AD</math>와의 교점을 <math>E</math>, <math>F</math>라고 하자. '''브라마굽타 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>AF=FD</math>

즉, 직교대각선 내접 사각형의 [[반중심]]은 두 대각선의 교점이다.

== 증명 ==
[[외접원]]의 호 <math>AB</math>의 두 [[원주각]] <math>\angle ACB</math>와 <math>\angle ADB</math>의 크기는 같다. 또한, <math>\angle BPC</math>와 <math>\angle PEC</math>는 모두 직각이므로, <math>\angle ACB</math>와 <math>\angle BPE</math>는 모두 <math>\angle PBC</math>의 여각이다. 또한, [[맞꼭지각]] <math>\angle BPE</math>와 <math>\angle DPF</math>의 크기는 같다. 즉,
:<math>\angle ADB=\angle ACB=\angle BPE=\angle DPF</math>
이다. 따라서
:<math>PF=FD</math>
이다. 마찬가지로
:<math>PF=AF</math>
를 보일 수 있다.

== 일반화 ==
{{본문|반중심}}
내접 사각형 <math>ABCD</math>의 대각선 <math>AC</math>, <math>BD</math>의 중점을 <math>M</math>, <math>N</math>이라고 하고, 두 대각선의 교점을 <math>P</math>라고 하자. 그렇다면, 이 내접 사각형의 [[반중심]]은 삼각형 <math>PMN</math>의 [[수심 (기하학)|수심]]이다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|39, §4.2}} 두 대각선이 직교할 경우 삼각형 <math>PMN</math>은 <math>P</math>에서 직각을 갖는 직각 삼각형이며, 이 삼각형의 수심은 두 대각선의 교점 <math>P</math>이다. 즉, 브라마굽타 정리는 이 명제의 특수한 경우이다.

== 역사 ==
[[인도]]의 수학자 [[브라마굽타]]가 발견하였다.<ref name="Coxeter" />{{rp|59, §3.2}}

== 같이 보기 ==
* [[브라마굽타 공식]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=BrahmaguptasTheorem|title=Brahmagupta's theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:브라마굽타]]
[[분류:사각형과 원에 대한 정리]]