브라마굽타 공식 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서 '''브라마굽타 공식'''({{lang|en|Brahmagupta}}公式, {{llang|en|Brahmagupta's formula}})은 [[내접 사각형|원에 내접하는 사각형]]의 [[넓이]]를 네 변의 길이에 대한 [[대칭 함수]]로 나타내는 공식이다.

== 정의 ==
[[내접 사각형]] <math>ABCD</math>의 네 변의 길이를 <math>AB=a</math>, <math>BC=b</math>, <math>CD=c</math>, <math>DA=d</math>라고 하자. '''브라마굽타 공식'''에 따르면, 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.
:<math>S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>
여기서
:<math>s=\frac{a+b+c+d}2</math>
는 [[반둘레]]이다.

== 증명 ==
=== 삼각법 증명 ===
내접 사각형의 두 대각은 서로 보각이라는 성질에 의하여,
:<math>B+D=180^\circ</math>
이다. 삼각형 <math>ABC</math>와 <math>ACD</math>에 [[코사인 법칙]]을 적용하면 각각
:<math>AC^2=a^2+b^2-2ab\cos B</math>
와
:<math>\begin{align}AC^2
&=c^2+d^2-2cd\cos D\\
&=c^2+d^2+2cd\cos B
\end{align}</math>
를 얻으며, 이를 연립하면
:<math>2(ab+cd)\cos B=a^2+b^2-c^2-d^2</math>
를 얻는다. 사각형 <math>ABCD</math>의 넓이는 삼각형 <math>ABC</math>와 <math>ACD</math>의 넓이의 합이므로,
:<math>\begin{align}S
&=\frac 12ab\sin B+\frac 12cd\sin D\\
&=\frac 12(ab+cd)\sin B
\end{align}</math>
이다. 따라서
:<math>\begin{align}16S^2
&=4(ab+cd)^2\sin^2B\\
&=4(ab+cd)^2-4(ab+cd)^2\cos^2B\\
&=(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2\\
&=(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)\\
&=((c+d)^2-(a-b)^2)((a+b)^2-(c-d)^2)\\
&=(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)\\
&=2(s-a)\cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-d)\\
&=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
\end{align}</math>
가 성립한다.

== 특수한 경우 ==
=== 헤론의 공식 ===
{{본문|헤론의 공식}}
[[헤론의 공식]]은 브라마굽타 공식의 특수한 경우이다. 브라마굽타 정리에서 두 꼭짓점 C와 D가 같다고 하면, 사각형 ABCD는 삼각형 ABC가 되고, d=0, s=1/2(a+b+c)가 되어, 삼각형 ABC의 넓이는
:<math>S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>
가 된다.

=== 이중중심 사각형의 넓이 ===
[[이중중심 사각형|외, 내접을 모두하는 사각형]] <math>ABCD</math>의 네 변의 길이를 <math>AB=a</math>, <math>BC=b</math>, <math>CD=c</math>, <math>DA=d</math>라고 하자. 그렇다면 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.
:<math>S=\sqrt{abcd}</math>
이는 이 사각형이 내접 사각형이므로 브라마굽타 공식이 성립하고, 또한 [[외접 사각형]]이므로
:<math>a+c=b+d=s</math>
이기 때문이다.

== 일반화 ==
=== 브레치나이더 공식 ===
'''브레치나이더 공식'''({{lang|de|Bretschneider}}公式, {{llang|en|Bretschneider's formula}})은 브라마굽타 공식을 원에 내접하지 않을 수 있는 임의의 [[사각형]]에까지 일반화한다. 이에 따르면, 임의의 사각형 <math>ABCD</math>의 네 변의 길이를 <math>AB=a</math>, <math>BC=b</math>, <math>CD=c</math>, <math>DA=d</math>라고 하고, 반둘레를 <math>s</math>, 넓이를 <math>S</math>라고 할 경우 다음이 성립한다.
:<math>S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\frac{A+C}2}</math>
내접 사각형에서는 <math>A+C=180^\circ</math>이므로
:<math>\cos\frac{A+C}2=0</math>
이다. 즉, 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 특수한 경우이다.

== 역사 ==
[[인도]]의 수학자 [[브라마굽타]]가 7세기경에 제시하였다.<ref name="Coxeter">{{서적 인용
|성1=Coxeter
|이름1=H. S. M.
|저자링크1=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|성2=Greitzer
|이름2=S. L.
|기타=Buehler, George H. 삽화
|제목=Geometry Revisited
|언어=en
|출판사=Mathematical Association of America
|위치=Washington, D.C.
|날짜=1967
|isbn=0-88385-619-0
}}</ref>{{rp|57, §3.2}} 그러나 그는 이에 대한 증명을 제시하지는 않았으며, 사각형이 원에 내접해야 한다고 명시하지도 않았다.<ref name="Kline">{{서적 인용
|성=Kline
|이름=Morris
|제목=Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 1
|언어=en
|출판사=Oxford University Press
|위치=New York, New York
|날짜=1972
|isbn=0-19-506135-7
}}</ref>{{rp|188-189, §9.3}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=BrahmaguptasFormula|title=Brahmagupta's formula}}
* {{proofwiki|id=Brahmagupta's Formula|제목=Brahmagupta's formula}}

{{전거 통제}}

[[분류:브라마굽타]]
[[분류:사각형과 원에 대한 정리]]
[[분류:넓이]]