불변 부분 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서, [[선형 변환]]의 '''불변 부분 공간'''(不變部分空間, {{lang|en|invariant subspace}})은 그 선형 변환에 대하여 닫혀있는 [[부분 벡터 공간]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 [[선형 변환]] <math>T\colon V\to V</math>가 주어졌다고 하자. [[부분 벡터 공간]] <math>W\subset V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>W</math>를 '''<math>T</math>-불변 부분 공간'''이라고 한다.
* 임의의 <math>w\in W</math>에 대하여, <math>Tw\in W</math>
* <math>T(W)\subset W</math>
보다 일반적으로, <math>V</math> 위의 [[선형 변환]]의 족 <math>\mathcal T</math>가 주어졌다고 하자. [[부분 벡터 공간]] <math>W\subset V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>W</math>를 '''<math>\mathcal T</math>-불변 부분 공간'''이라고 한다.
* 임의의 <math>T\in\mathcal T</math> 및 <math>w\in W</math>에 대하여, <math>Tw\in W</math>
* 임의의 <math>T\in\mathcal T</math>에 대하여, <math>W</math>는 <math>T</math>-불변 부분 공간이다.

== 성질 ==
선형 변환 <math>T,U\colon V\to V</math>가 <math>TU=UT</math>를 만족시킨다면, <math>\ker U</math>와 <math>U(V)</math>는 <math>T</math>-불변 부분 공간이다.
{{증명}}
임의의 <math>v\in\ker U</math>에 대하여,
:<math>UTv=TUv=T0=0</math>
이므로, <math>Tv\in\ker U</math>. 또한, 임의의 <math>Uv\in U(V)</math>에 대하여,
:<math>TUv=UTv\in U(V)</math>
{{증명 끝}}
특히, <math>T</math>는 다음과 같은 불변 부분 공간을 갖는다.
* <math>\{0_V\}</math>
* <math>V</math>
* <math>\ker T</math>
* <math>T(V)</math>
* <math>V_\lambda\qquad(\lambda\in\sigma_T)</math>
* <math>\ker p(T)\qquad(p\in K[x])</math>
선형 변환 <math>T\colon V\to V</math>를 <math>T</math>-불변 부분 공간 <math>W</math>에 제한시키면 다음과 같은 선형 변환 <math>T|_W</math>를 얻을 수 있다.
:<math>T|_W\colon W\to W</math>
:<math>T|_W\colon w\mapsto Tw</math>
또한, [[몫 벡터 공간]] <math>V/W</math> 위에 다음과 같은 선형 변환 <math>T_{/W}</math>를 유도할 수 있다.
:<math>T_{/W}\colon V/W\to V/W</math>
:<math>T_{/W}\colon v+W\mapsto Tv+W</math>
<math>T|_W</math>의 [[특성 다항식]]은 <math>T</math>의 특성 다항식을 나누며, <math>T|_W</math>의 [[최소 다항식]]은 <math>T</math>의 최소 다항식을 나눈다.

=== 행렬 표현 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 유한 <math>n</math>차원 벡터 공간 <math>V</math>
* 선형 변환 <math>T\colon V\to V</math>
* <math>T</math>-불변 부분 공간 <math>W</math>
* <math>W</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>\{v_1,v_2,\dots,v_r\}</math>
* <math>V/W</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>\{v_{r+1}+W,v_{r+2}+W,\dots,v_n+W\}</math>
그렇다면, <math>T,T|_W,T_{/W}</math>의 행렬
:<math>A=[T]_{(v_i)_{i=1}^n}</math>
:<math>B=[T|_W]_{(v_i)_{i=1}^r}</math>
:<math>C=[T_{/W}]_{(v_i+W)_{i=r+1}^n}</math>
사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.
:<math>A=\begin{pmatrix}B&D\\0&C\end{pmatrix}
\qquad D\in\operatorname{Mat}(r,n-r;K)</math>
다음이 주어졌다고 하자.
* 유한 <math>n</math>차원 벡터 공간 <math>V</math>
* 선형 변환 <math>T\colon V\to V</math>
* <math>T</math>-불변 부분 공간 <math>W_1,W_2,\dots,W_k</math>. 또한, <math>V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_k</math>
* <math>W_i</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>\{v_{i1},v_{i2},\dots,v_{ir_i}\}</math>
그렇다면, <math>T,T|_{W_1},T|_{W_2},\dots,T|_{W_k}</math>의 위에서 정한 기저에 대한 행렬 <math>A,A_1,A_2,\dots,A_k</math> 사이에 다음 관계가 성립한다.
:<math>A=\begin{pmatrix}
A_1\\
&A_2\\
&&\ddots\\
&&&A_k
\end{pmatrix}</math>

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Invariant subspace}}
* {{웹 인용|url=http://planetmath.org/sites/default/files/texpdf/39771.pdf|형식=PDF|제목=Invariant subspace problem|웹사이트=PlanetMath|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://planetmath.org/sites/default/files/texpdf/39771.pdf }}
* {{proofwiki|id=Definition:Invariant Subspace|제목=Definition:Invariant subspace}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:연산자 이론]]
[[분류:표현론]]