불가촉 수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''불가촉 수'''(Untouchable Number)는 수학자 [[에르되시 팔]]에 의해 만들어진 개념으로, 어떤 [[자연수]] <math>n</math>의 [[진약수]]들의 합으로도 나타낼 수 없는 자연수 <math>m</math>을 불가촉 수라고 한다. 예를 들어 [[4]]는 불가촉 수가 아닌데, 4는 9의 진약수 1과 3의 합으로 표현될 수 있기 때문이다. 또한 불가촉 수가 아닌 어떤 자연수는 진약수의 합으로 표현될 수 있는 수가 두 가지 이상 존재하는 경우도 있다.

처음 열 개의 불가촉 수의 목록은 다음과 같다. {{OEIS|A005114}}

: [[2]], [[5]], [[52]], [[88]], [[96]], [[120]], [[124]], [[146]], [[162]], [[188]]
5는 유일한 홀수 불가촉 수로 생각되지만 증명되지 않았는데, 만약 [[골드바흐의 추측]]이 참이라면 증명이 된다. 또 이것이 증명 된다면 경우 2와 5를 제외한 모든 불가촉 수는 [[합성수]]라는 것도 역시나 자동으로 증명된다. 일단 예를 들어서 홀수 21에서 1을 빼면 20이 된다. 골드바흐의 추측에 의거하여 20을 두 소수의 합으로 나타내보면 3+17과 7+13으로 두 가지가 된다. 이 경우 각각 3×17=51은 진약수가 1, 3, 17이렇게 되고, 이를 더하면 21이며, 7×13=91일 때도 마찬가지로 91의 진약수는 1, 7, 13이고 이를 더하면 21 이렇게 되기 때문이다. 즉 이 말은 5보다 큰 홀수에서 1을 뺀 짝수를 두 소수 a, b의 합으로 나타내는 방식으로 표현될 수 있으연 해당 홀수는 a×b의 진약수 1, a, b의 합으로 나타낼 수 있으므로 불가촉 수가 될 수 없다는 이야기다. 단, 이때 두 소수 a, b는 반드시 서로 달라야 하기 때문에 원래의 [[골드바흐의 추측]]이 맞다는 사실만으로는 정확히 증명이 되지 않고, '6 보다 큰 모든 짝수는 '''서로 다른''' 두 소수의 합으로 표기될 수 있다'라는 좀 더 확장한 조건이 있어야 한다. 이것은 5가 유일한 홀수 불가촉 수가 확실하다는 사실을 증명을 하기 위한 충분한 조건일 뿐이다. 즉 [[골드바흐의 추측]]이 거짓이더라도 특정소수의 0제곱인 1부터 n제곱까지의 합과 2의 거듭제곱-1, 그리고 그 외의 약수가 6개 이상이면서 진약수의 총합이 홀수가 되는 수도 있으므로 5가 유일한 홀수 불가촉 수일 수도 있다는 말이다. 그리고 어떤 [[완전수]]도 불가촉 수가 될 수 없는데, 그 이유는 완전수의 정의가 자기 자신의 진약수의 합인 수이기 때문이다. 마찬가지로, [[친화수]]나 [[사교수]]도 불가촉 수가 될 수 없다. 또한, 특정 소수의 0제곱부터 n제곱까지를 모두 더한 총합 즉 첫 항이 1이고 [[메르센 수|2의 거듭제곱 - 1]]을 포함한 등비가 [[소수 (수론)|소수]]인 등비수열의 합. 다시 말해 <math>\tfrac{p^n-1}{p-1}</math>의 꼴(단, p는 소수)로 표현되고, p진법에서 1이 늘어선 형태를 하고 있는 수 역시 불가촉 수가 될 수 없다.

불가촉 수의 개수는 무한한데, 이것은 [[에르되시 팔]]에 의해 증명되었다.

== 같이 보기 ==
* [[약수]]
* [[합성수]]

[[분류:수론]]
[[분류:정수열]]