분해 가능 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|하우스도르프 공간||두 점이 [[열린집합]]에 의해 분리되는 공간}}
[[일반위상수학]]에서 '''분해 가능 공간'''(分解可能空間, {{llang|en|separable space}})은 [[가산 집합]]이 [[조밀 집합]]일 수 있을 정도로 작은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''밀도'''(密度, {{llang|en|density}}) <math>d(X)</math>는 <math>X</math> 속의 [[조밀 집합]]의 최소 [[집합의 크기|크기]]인 [[기수 (수학)|기수]]이다. ([[기수 (수학)|기수]] 위의 순서는 [[정렬 순서]]이므로 이는 항상 존재한다.)

밀도가 <math>\aleph_0</math> 이하인 위상 공간을 '''분해 가능 공간'''이라고 한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|192}} 즉, 분해 가능 공간은 [[가산 집합|가산]] [[조밀 집합]]을 갖는 공간이다.

== 성질 ==
=== 제2 가산성과의 관계 ===
모든 [[제2 가산 공간]]은 분해 가능 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|192}}

[[제1 가산 공간]]인 [[위상군]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|195}}
* 분해 가능 공간이다.
* [[제2 가산 공간]]이다.

[[거리화 가능성]]을 가정한다면, 다음이 성립한다.
:[[콤팩트 공간]] <math>\subsetneq</math><ref name="Munkres"/>{{rp|194}} [[제2 가산 공간]] = 분해 가능 공간 = [[린델뢰프 공간]]<ref name="Munkres"/>{{rp|191–192}}

=== 분해 가능성을 보존하는 연산 ===
두 위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 [[조밀 집합]] <math>D\subseteq X</math>이 주어졌을 때, 그 [[상 (수학)|상]] <math>f(D)\subseteq f(X)</math>는 [[치역]] <math>f(X)</math> 속의 조밀 집합이다. 따라서
:<math>d(f(X))\le d(X)</math>
이다. 특히, 분해 가능 공간의 연속적 상은 분해 가능 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|194}}

위상 공간 <math>X</math>의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math> 및 [[조밀 집합]] <math>D\subseteq X</math>가 주어졌을 때, <math>U\cap D</math>는 <math>U</math>의 조밀 집합이다. 따라서 다음이 성립한다.
:<math>d(U)\le d(X)</math>
특히, 분해 가능 공간의 [[열린집합]]은 분해 가능 공간이다.<ref name="Willard">{{서적 인용 | last=Willard | first=Stephen | title=General Topology | url=https://archive.org/details/generaltopology00will_0 | publisher=Addison-Wesley | isbn=978-0-201-08707-9 | mr=0264581 | 날짜=1970|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 16.4b}} 분해 가능 공간의 [[열린집합]]이 아닌 부분 집합은 분해 가능 공간이 아닐 수 있다. 다만, 분해 가능 [[거리화 가능 공간]]의 모든 부분 집합은 분해 가능 공간이다.

[[곱공간]]
:<math>X=\prod_{i\in I}X_i</math>
및 [[무한 기수]] <math>\kappa</math>가 주어졌다고 하자. '''휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리'''({{llang|en|Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem}})에 따르면, 만약
:<math>d(X_i)\le\kappa\qquad(\forall i\in I)</math>
:<math>|I|\le 2^\kappa</math>
라면,
:<math>d(X)\le\kappa</math>
이다. 특히, <math>2^{\aleph_0}</math>개 이하의 분해 가능 공간들의 [[곱공간]]은 분해 가능 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|194}}<ref name="Willard"/>{{rp|109, Theorem 16.4c}} [[곱위상]] 대신 [[상자 위상]]을 사용하는 경우 이 명제들은 더 이상 성립하지 않는다.
{{증명|제목=휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리의 증명|각주=<ref name="Engelking">{{서적 인용
|이름1=Ryszard
|성1=Engelking
|제목=General topology
|언어=en
|판=개정 완결
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=6
|출판사=Heldermann Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}</ref>{{rp|81, Theorem 2.3.15}}}}
편의상 <math>|I|=2^\kappa</math>라고 하자. (나머지 경우는 이 경우에서 연속적 상을 취한다.) 크기가 <math>\kappa</math> 이하인 [[조밀 집합]] <math>D_i\subseteq X_i</math>들의 곱집합 <math>\textstyle D=\prod_{i\in I}D_i\subseteq X</math>는 조밀 집합이다. 따라서, <math>D</math>의 크기 <math>\kappa</math> 이하의 [[조밀 집합]]을 찾으면 족하다. 이제, <math>Y</math>가 크기 2의 [[이산 공간]]이라고 하고, <math>Z^{Y^\kappa}</math>가 <math>2^\kappa</math>개의 크기 <math>\kappa</math>의 [[이산 공간]] <math>Z</math>들의 [[곱공간]]이라고 하자. 그렇다면 [[전사 함수|전사]] [[연속 함수]]
:<math>Z^{Y^\kappa}\to D</math>
가 존재한다. 따라서 <math>Z^{Y^\kappa}</math>에서 크기 <math>\kappa</math> 이하의 [[조밀 집합]]을 찾으면 족하다. [[곱공간]] <math>Y^\kappa</math>는 크기 <math>\kappa</math> 이하의 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B</math>를 가진다 (예를 들어, 표준적인 기저의 크기는 <math>\kappa</math>이다). 이제,
:<math>A\subseteq Z^{Y^\kappa}</math>
가 다음 두 조건을 만족시키는 유한 개의 [[서로소 집합]]들의 집합 <math>\{B_1,\dots,B_n\}\subset\mathcal B</math>가 존재하는 원소
:<math>f\in Z^{Y^\kappa}</math>
들의 집합이라고 하자.
* 각 <math>f|_{B_i}\colon B_i\to Z</math>는 [[상수 함수]]이다.
* <math>f|_{Y^\kappa\setminus(B_1\cup\cdots\cup B_n)}\colon Y^\kappa\setminus(B_1\cup\cdots\cup B_n)\to Z</math>는 [[상수 함수]]이다.
그렇다면, <math>A\subseteq Z^{Y^\kappa}</math>가 [[조밀 집합]]이며, <math>|\mathcal B|\le\kappa</math>이므로 <math>|A|\le\kappa</math>이다.
{{증명 끝}}

=== 크기 관련 성질 ===
모든 [[비이산 공간]]은 분해 가능 공간이므로, 분해 가능성은 [[집합의 크기]]에 상한을 가하지 않는다. 그러나 추가 조건을 가한다면 다음과 같은 상한을 얻을 수 있다.
* [[제1 가산]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] 분해 가능 공간의 크기는 <math>2^{\aleph_0}</math> 이하이다.
* [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] 분해 가능 공간의 크기는 <math>2^{2^{\aleph_0}}</math> 이하이다.

또한, 분해 가능성은 다음과 같은 다양한 크기 관련 상한들을 함의한다.
* 분해 가능 공간 속의 [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]]들로 구성된 [[집합족]]은 항상 [[가산 집합]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|194}}
* 분해 가능 공간 <math>X</math>가 주어졌을 때, <math>X</math> 위의 [[실수]] 값 [[연속 함수]]의 집합의 크기는 <math>2^{\aleph_0}</math> 이하이다.
*:<math>\mathcal C(X,\mathbb R)\le2^{\aleph_0}</math>
이는 실수 값 [[연속 함수]]는 이를 [[조밀 집합]]에 국한한 함수로부터 결정되기 때문이다. 이에 따라, [[정규 공간|정규]] 분해 가능 공간 속의 [[닫힌집합]]이 [[이산 공간]]을 이룬다면, 이는 항상 [[가산 집합]]이다.

임의의 위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 분해 가능 공간 <math>\tilde X</math> 및 [[단사 함수]] <math>\iota\colon X\hookrightarrow\tilde X</math>를 찾을 수 있다.<ref>{{서적 인용 | last=Sierpiński | first=Wacław | authorlink=바츠와프 시에르핀스키 | title=General topology | publisher=University of Toronto Press | 총서=Mathematical Expositions |권=7 | mr=0050870 | 날짜=1952|언어=en}}</ref>{{rp|49}}
* <math>|X|=|\tilde X|</math>이며, <math>\tilde X\setminus\iota(X)</math>는 [[가산 집합]]이다.
* <math>X</math>는 그 [[상 (수학)|상]] <math>\iota(X)</math>와 [[위상 동형]]이다.
* 만약 <math>X</math>가 [[하우스도르프 공간]]이라면, <math>\tilde X</math>역시 [[하우스도르프 공간]]이다.

=== 힐베르트 공간 ===
{{참고|힐베르트 공간}}
(실수 또는 복소수) [[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal H</math>의 힐베르트 차원이 <math>\aleph_0</math> 이하이다. (힐베르트 차원은 [[벡터 공간]]의 하멜 차원과 일반적으로 다르다.)
* <math>\mathcal H</math>는 분해 가능 공간이다.

특히, 모든 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 및 [[L2 공간|L<sup>2</sup> 공간]] <math>L^2(\mathbb R)</math>는 분해 가능 공간이다. 유클리드 공간의 경우 <math>\mathbb Q^n\subsetneq\mathbb R^n</math>은 가산 조밀 집합을 이룬다. 힐베르트 공간은 힐베르트 차원에 의하여 완전히 분류되므로, 이는 분해 가능 힐베르트 공간의 목록이다.

== 예 ==
임의의 위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음이 자명하게 성립한다.
:<math>d(X)\le|X|</math>
따라서, [[가산 집합|가산]] 개의 점을 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]은 분해 가능 공간이다.

[[이산 공간]] 속의 [[조밀 집합]]은 전체밖에 없으므로, [[이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 그 [[집합의 크기]]와 같다.
:<math>|X|=d(X)</math>
특히, 가산 이산 공간은 분해 가능 공간이지만, 비가산 이산 공간은 분해 가능 공간이 아니다.
[[비이산 공간]]에서 [[공집합]]이 아닌 모든 부분 집합은 [[조밀 집합]]이다. 따라서, [[비이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 다음과 같다.
:<math>d(X)=\min\{1,|X|\}</math>
따라서, 모든 [[비이산 공간]]은 자명하게 분해 가능 공간이다.

== 역사 ==
휴잇-마르체프스키-폰디체리 정리는 랠프 필립 보애스 주니어({{llang|en|Ralph Philip Boas Jr.}}, 1912~1992),<ref name="Pondiczery">{{저널 인용
|성1=Pondiczery
|이름1=E. S.
|제목=Power problems in abstract spaces
|언어=en
|저널=Duke Mathematical Journal
|권=11
|쪽=835–837
|날짜=1944
|issn=0012-7094
|doi=10.1215/S0012-7094-44-01171-3
|mr=0011104
|zbl=0060.39601
}}</ref> 에드윈 휴잇({{llang|en|Edwin Hewitt}}, 1920~1999),<ref name="Hewitt">{{저널 인용
|성1=Hewitt
|이름1=Edwin
|제목=A remark on density characters
|언어=en
|저널=Bulletin of the American Mathematical Society
|권=52
|쪽=641–643
|날짜=1946
|issn=0002-9904
|doi=10.1090/S0002-9904-1946-08613-9
|mr=0017329
|zbl=0060.39602
}}</ref> 에드바르트 마르체프스키({{llang|pl|Edward Marczewski}}, 1907~1976, <math>\kappa=\aleph_0</math>)<ref name="Marczewski">{{저널 인용
|성1=Marczewski
|이름1=Edward
|제목=Separabilité et multiplication cartesienne des espaces topologiques
|언어=fr
|저널=Fundamenta Mathematicae
|권=34
|쪽=127–143
|날짜=1947
|issn=0016-2736
|doi=10.4064/fm-34-1-127-143
|mr=0021680
|zbl=0032.19104
}}</ref>가 독자적으로 증명하였다. E. S. 폰디체리({{llang|en|E. S. Pondiczery}})는 보애스가 이 논문에서 사용한 필명이며, 인도의 지명 [[퐁디셰리]]에서 유래한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Separable space}}
* {{eom|title=Density (of a topological space)}}
* {{매스월드|id=SeparableSpace|title=Separable space}}
* {{nlab|id=separable space|title=Separable space}}
* {{웹 인용|url=https://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Separable_Space|제목=Definition: separable space|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2015-01-10|archive-date=2015-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20150110111939/https://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Separable_Space|url-status=}}
* {{플래닛매스|urlname=HewittMarczewskiPondiczeryTheorem|제목=Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem}}
* {{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/1452235/a-question-about-compactness-and-separability-with-respect-to-box-and-product-to|제목=A question about compactness and separability with respect to box and product topology|영어=en|웹사이트=Stack Exchange}}

== 같이 보기 ==
* [[제1 가산 공간]]
* [[제2 가산 공간]]

[[분류:위상 공간의 성질]]