분해 (대수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]], 더 구체적으로 [[호몰로지 대수학]]에서 '''분해''' (또는 '''왼쪽 분해''', 쌍대으로 '''공분해''' 또는 '''오른쪽 분해'''<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Jacobson|2009|loc=§6.5}} uses ''coresolution'', though ''right resolution'' is more common, as in {{괄호 없는 하버드 인용|Weibel|1994|loc=Chap. 2}}</ref>)는 [[가군]] (또는 더 일반적으로 [[아벨 범주]]의 [[범주 (수학)|대상]])의 [[완전열]]이다. 이 범주의 특정 가군이나 대상의 구조를 특징짓는 [[불변량|불변성]]을 정의한다. 일반적으로 화살표가 오른쪽을 향할 때 열는 (왼쪽) 분해의 경우 왼쪽으로, 오른쪽 분해의 경우 오른쪽으로 무한하다고 가정된다. 그러나 '''유한 분해'''는 열에서 유한한 수의 대상만이 [[시작 대상과 끝 대상|영이 아닌]] 분해이다. 이는 일반적으로 가장 왼쪽 대상(분해의 경우) 또는 가장 오른쪽 대상(공동 분해의 경우)가 [[시작 대상과 끝 대상|영 대상]]인 유한하고 완전열로 표현된다.<ref>{{Nlab|id=projective+resolution|제목=projective resolution}}, {{Nlab|id=resolution}}</ref>

일반적으로 열의 대상은 어떤 성질 ''P'' (예: 자유)를 갖도록 제한된다. 따라서 ''P 분해를'' 말한다. 특히 모든 가군에는 '''자유 분해''', '''사영 분해''' 및 '''평면 분해'''가 있으며, 이는 각각 [[자유 가군]], [[사영 가군]] 또는 [[평탄 가군|평면 가군]]으로 구성된 왼쪽 분해이다. 마찬가지로 모든 가군에는 [[단사 가군]]으로 구성된 올바른 분해인 '''단사''' '''분해'''가 있다.

== 가군의 분해 ==

=== 정의 ===
환 <math>R</math> 위에 가군 ''<math>M</math>이'' 주어지면 ''<math>M</math>''의 '''왼쪽 분해''' (또는 간단히 '''분해''')는 ''<math>R</math>''-가군의 [[완전열]]

: <math>\cdots\overset{d_{n+1}}{\longrightarrow}E_n\overset{d_n}{\longrightarrow}\cdots\overset{d_3}{\longrightarrow}E_2\overset{d_2}{\longrightarrow}E_1\overset{d_1}{\longrightarrow}E_0\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}M\longrightarrow0.</math>

이다. 준동형사상 ''<math>d_i</math>''들은 경계 사상이라고 한다. 사상 ''<math>\varepsilon</math>을'' '''증강 사상''' 이라고 한다. 간결하게 하기 위해 위의 분해 방법은 다음과 같이 작성할 수 있다.

: <math>E_\bullet\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}M\longrightarrow0.</math>

이의 쌍대 개념은 '''올바른 분해''' (또는 '''공분해''' 또는 간단히 '''분해''' )에 대한 개념이다. 구체적으로, 환 ''<math>R</math>'' 위에 가군 ''<math>M</math>이'' 있는 경우 올바른 분해는 ''<math>R</math>''-가군의 완전열

: <math>0\longrightarrow M\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}C^0\overset{d^0}{\longrightarrow}C^1\overset{d^1}{\longrightarrow}C^2\overset{d^2}{\longrightarrow}\cdots\overset{d^{n-1}}{\longrightarrow}C^n\overset{d^n}{\longrightarrow}\cdots,</math>

이다. 여기서 각 ''<math>C^i</math>''는 ''<math>R</math>''-가군이다(분해의 쌍대 특성을 나타내기 위해 분해와 대상 사이의 사상에 위 첨자를 사용하는 것이 일반적이다). 간결하게 하기 위해 위의 분해 방법은 다음과 같이 작성할 수 있다.

: <math>0\longrightarrow M\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}C^\bullet.</math>

(공)분해는 관련된 가군 중 오직 유한한 수의 가군들이 0이 아닌 경우 '''유한''' 하다고 한다. 유한 분해의 '''길이'''는 유한 분해에서 0이 아닌 가군을 표시하는 최대 첨자 ''n''이다.

=== 자유 분해, 투사 분해, 단사 분해, 평면 분해 ===
많은 상황에서 주어진 가군 ''<math>M</math>''을 분해하는 조건이 가군 ''<math>E_i</math>''들에 부과된다. 예를 들어, 가군 ''<math>M</math>''의 ''자유 분해는'' 모든 가군 ''<math>E_i</math>''가 자유 ''<math>R</math>''-가군인 왼쪽 분해이다. 마찬가지로, ''사영'' 및 ''평면'' 분해는 모든 ''<math>E_i</math>''가 각각 [[사영 가군|사영]] 및 [[평탄 가군|평면]] ''<math>R</math>''-가군인 왼쪽 분해이다. 단사 분해는 ''<math>C^i</math>''가 모두 [[단사 가군]] 인 ''올바른'' 분해이다.

모든 ''<math>R</math>''-가군에는 자유 왼쪽 분해가 있다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Jacobson|2009|loc=§6.5}}</ref> 게다가 모든 가군은 사영 및 평면 분해도 허용한다. 증명 아이디어는 ''<math>E_0</math>''을 ''<math>M</math>''의 원소에 의해 생성된 자유 ''<math>R</math>''-가군으로 정의하고, ''<math>E_1</math>''을 자연 사상 ''<math>E_0\rightarrow M</math>'' 등의 핵 원소에 의해 생성된 자유 ''<math>R</math>''-가군으로 정의하는 것이다. 쌍대로, 모든 ''<math>R</math>'' 가군에는 단사 분해가 있다. 사영 분해(더 일반적으로는 평면 분해)를 사용하여 [[Tor 함자]]를 계산할 수 있다.

가군 ''<math>M</math>''의 사영 분해는 [[유도 범주|사슬 호모토피]]를 기준으로 유일하다. 즉, ''<math>M</math>''의 주어진 두 사영 분해들 ''<math>P_0\rightarrow M</math>''과 ''<math>P_1 \rightarrow M </math>'' 사이에 사슬 호모토피가 존재한다.

분해은 [[호몰로지 차원]]을 정의하는 데 사용된다. 가군 ''<math>M</math>''의 유한 사영 분해의 최소 길이를 ''[[사영 가군|사영 차원]]''이라고 하며 ''<math>\text{pd}(M)</math>''으로 표시한다. 예를 들어, 가군은 사영 가군인 경우에만 사영 차원이 0이다. ''<math>M</math>이'' 유한한 사영 분해를 허용하지 않으면 사영 차원은 무한이다. 예를 들어, 가환 [[국소환]] ''<math>R</math>''의 경우 사영 차원은 ''<math>R</math>이'' [[정칙 국소환|정칙]]적이고 이 경우 ''<math>R</math>''의 [[크룰 차원]]과 일치하는 경우에만 유한하다. 유사하게, [[단사 가군|단사 차원]] ''<math>\text{id}(M)</math>'' 및 평면 차원 ''<math>\text{fd}(M)</math>''도 가군에 대해 정의된다.

단사 및 사영 차원은 ''<math>R</math>''의 오른쪽 [[호몰로지 차원|대역 차원]]이라고 불리는 ''<math>R</math>''에 대한 호몰로지 차원을 정의하기 위해 오른쪽 ''<math>R</math>''-가군의 범주에서 사용된다. 마찬가지로 평면 차원은 [[약한 전역 차원|약한 대역 차원]]을 정의하는 데 사용된다. 이러한 차원의 행동은 환의 특성을 반영한다. 예를 들어, 환은 [[반단순 가군|반단순 환]]인 경우에만 올바른 대역 차원 0을 가지며 환은 [[절대평탄환]] 경우에만 약한 대역 차원 0을 갖는다.

''<math>M</math>을'' [[등급 대수]]에 대한 [[등급 대수|등급 가군]] 로 가정한다. 이는 양의 원소에 의해 [[체 (수학)|체]]에 걸쳐 생성된다. 그러면 ''<math>M</math>은'' ''<math>d_i</math>''와  ''<math>\varepsilon</math>''가 [[등급 가군|등급 선형 사상]]이 되는 방식으로 자유 가군 ''<math>E_i</math>''가 등급화될 수 있는 자유 분해를 갖는다. 이러한 등급 자유 분해 중 '''최소 자유 분해'''는 각 ''<math>E_i</math>''의 기저 원소 수가 최소인 분해이다. 각 ''<math>E_i</math>''의 기저 원소 수와 그 차수는 등급 가군의 모든 최소 자유 분해에 대해 동일하다.

''<math>I</math>가'' 체 위의 [[다항식환|다항식 환]]에서 [[등급 대수|동차 이데알]]이면, ''<math>I</math>''로 정의된 [[대수다양체|사영 대수 집합]]의 Castelnuovo-Mumford 규칙성은 ''<math>I</math>''의 최소 자유 분해에서 ''<math>E_i</math>''의 기저 원소의 차수가 모두 ''<math>r-i</math>'' 보다 작은 최소 정수 ''<math>r</math>''이다.

=== 예 ===
자유 분해의 전형적인 예는 [[국소환]]의 [[정칙렬]] 또는 체 위에서 유한 생성된 [[등급 대수]]에서 동차 정칙렬의 [[코쥘 복합체]]로 제공된다.

''<math>X</math>''를 [[비구면 공간]]이라고 하자. 즉, 그 [[피복 공간|보편 덮개]] ''<math>E</math>''는 [[축약 가능 공간|축약 가능]]하다. 그러면 ''<math>E</math>''의 모든 [[특이 호몰로지|특이]] (또는 [[단체 호몰로지|단체]]) 사슬 복합체는 환 '''''<math>\Z</math>'''''에 대한 가군 '''''<math>\Z</math>'''''의 자유 분해일 뿐만 아니라 [[군환]] '''''<math>\Z[\pi_1(X)]</math>'''''에 대한 가군 '''''<math>\Z</math>'''''의 자유 분해이다.

== 아벨 범주의 분해 ==
[[아벨 범주]] ''<math>A</math>''에서 대상 ''<math>M</math>''의 분해 정의는 위와 동일하지만 ''<math>E_i</math>''와 ''<math>C^i</math>''는 ''<math>A</math>''의 대상이고 관련된 모든 사상은 ''<math>A</math>''의 [[사상 (수학)|사상]]이다.

사영 및 단사 가군의 유사한 개념은 사영 및 [[단사 대상]]이며, 따라서 사영 및 단사 분해이다. 그러나 그러한 분해는 일반 아벨 범주 ''<math>A</math>''에 존재할 필요가 없다. ''<math>A</math>''의 모든 대상가 투사(각각 단사) 분해를 갖는 경우 ''<math>A</math>는'' 충분한 사영 (각각 [[단사 대상|충분한 단사]])를 가지고 있다고 한다. 설령 존재하더라도 그러한 결의안은 실행하기 어려운 경우가 많다. 예를 들어 위에서 지적한 것처럼 모든 ''<math>R</math>''-가군에는 단사 분해가 있지만 이 분해는 [[함자 (수학)|함자]]적이지 않다. 즉, 단사 분해와 함께 준동형사상 ''<math>M\rightarrow M'</math>''이 제공된다.

: <math>0 \rightarrow M \rightarrow I_*, \ \ 0 \rightarrow M' \rightarrow I'_*,</math>

일반적으로 <math>I_*</math>와 <math>I'_*</math> 사이의 사상을 얻는 함자적인 방법은 없다.

=== 일반적으로 사영적 분해가 없는 아벨 범주 ===
사영적 분해가 없는 아벨 범주의 예 중 하나는 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math> 위의 [[연접층]]의 범주 <math>\text{Coh}(X)</math>과 같다. 예를 들어, <math>X = \mathbb{P}^n_S</math>이 사영 공간이면, <math>X</math> 위의 연접층 <math>\mathcal{M}</math>은 완전열로 프레젠테이션이 제공된다.

: <math>\bigoplus_{i,j=0} \mathcal{O}_X(s_{i,j}) \to \bigoplus_{i=0} \mathcal{O}_X(s_i) \to \mathcal{M} \to 0.</math>

<math>s > 0</math>일 때 <math>H^n(\mathbb{P}^n_S,\mathcal{O}_X(s)) \neq 0</math>이므로 처음 두 항은 일반적으로 사영이 아니다. 그러나 두 항 모두 국소적으로 자유롭고 국소적으로 평평하다. 두 종류의 층은 특정 계산을 위해 사용될 수 있으며 일부 유도 함자를 계산하기 위한 사영 분해를 대체한다.

== 비순환적 분해 ==
많은 경우에 우리는 분해에 나타나는 대상에 실제로 관심이 있는 것이 아니라 주어진 [[함자 (수학)|함자]]에 대한 분해의 행동에 관심이 있다. 따라서 많은 상황에서 '''비순환 분해'''의 개념이 사용된다. 두 개의 아벨 범주 사이에 [[완전 함자|왼쪽 완전 함자]] ''<math>F:A\rightarrow B</math>''가 주어지면 ''<math>A</math>''의 대상 ''<math>M</math>''의 분해

: <math>0 \rightarrow M \rightarrow E_0 \rightarrow E_1 \rightarrow E_2 \rightarrow \cdots</math>

는 [[유도 함자]] ''<math>R_iF(E_n)</math>''가 모든 ''i'' 에 대해 사라지면 ''<math>F</math>''-비순환이라고 한다.&nbsp;>&nbsp;0과 ''n''&nbsp;≥&nbsp;0. 쌍대적으로 왼쪽 분해는 유도 함자가 분해의 대상에서 사라지는 경우 오른쪽 완전 함자에 대해 비순환적이다.

예를 들어 <math>R</math>-가군 ''<math>M</math>''이 주어지면 텐서 곱 <math>\otimes_R M</math>은 다음과 같다. 완전 함자 ''<math>\bold{\text{Mod}} (R) \rightarrow \bold{\text{Mod}} (R)</math>''이다. 모든 평면 분해는 이 함자와 관련하여 비순환적이다. ''평탄한 분해는'' ''<math>M</math>'' 마다 텐서 곱에 대해 비순환적이다. 마찬가지로, 모든 함자 ''<math>\bold{\text{Hom}} (\cdot,M) </math>''은 사영 분해이고 함자 ''<math>\bold{\text{Hom}} (M, \cdot) </math>''은 단사 분해이다.

모든 단사(사영) 분해는 왼쪽 완전(각각 오른쪽 완전) 함자에 대해 ''<math>F</math>'' -비순환이다.

비순환 분해의 중요성은 왼쪽 완전 함자의 유도 함자 ''<math>R_iF</math>''(마찬가지로 오른쪽 완전 함자의 유도함자 ''<math>L_iF</math>'')가 ''<math>F</math>-''비순환 분해의 호몰로지성에서 얻을 수 있다는 사실에 있다. 대상 ''<math>M</math>''의 분해 <math>E_*</math> 에 대해

: <math>R_i F(M) = H_i F(E_*)</math>.

여기서 오른쪽은 복합체 <math>F(E_*)</math>의 ''i'' 번째 호몰로지 대상이다.

이 상황은 많은 상황에 적용된다. 예를 들어, [[미분 다양체]] ''<math>M</math>'' 위의 [[상수층]] <math>R</math>는 매끄러운 [[미분 형식]] 층 <math>\mathcal C^*(M)</math>에 의해 분해될 수 있다:

: <math>0 \rightarrow R \subset \mathcal C^0(M) \stackrel d \rightarrow \mathcal C^1(M) \stackrel d \rightarrow \cdots \stackrel d \rightarrow \mathcal C^{\dim M}(M) \rightarrow 0.</math>

층 <math>\mathcal C^*(M)</math>들은 [[층 (수학)|대역 단면]] 함자 <math>\Gamma: \mathcal F \mapsto \mathcal F(M)</math>와 관련하여 비순환적인 것으로 알려진 [[단사층|세밀 층]]이다. 따라서 대역 단면 함자 &#x393;의 인 [[층 코호몰로지]]는 <math>\mathrm H^i(M, \mathbf R) = \mathrm H^i( \mathcal C^*(M)).</math>과 같이 계산된다.

마찬가지로 고데먼트 분해는 대역 단면 함자와 관련하여 비순환적이다.

== 같이 보기 ==

* [[막대 복합체|표준 분해]]
* 힐베르트-버크 정리
* 힐베르트 시지지 정리
* 행렬 인수분해(대수학)

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고문헌 ==

* {{인용|author=Iain T. Adamson|title=Elementary rings and modules|series=University Mathematical Texts|publisher=Oliver and Boyd|year=1972|isbn=0-05-002192-3}}
* {{인용|last1=Eisenbud|first1=David|author1-link=David Eisenbud|title=Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|isbn=3-540-94268-8|mr=1322960|year=1995|volume=150|zbl=0819.13001}}
* {{인용|last=Jacobson|first=Nathan|author-link=Nathan Jacobson|title=Basic algebra II|year=2009|edition=Second|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-47187-7|orig-year=1985}}
* Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, <nowiki>ISBN 978-0-201-55540-0</nowiki>, Zbl 0848.13001
* Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. <nowiki>ISBN 978-0-521-55987-4</nowiki>. MR 1269324. OCLC 36131259.
[[분류:가군론]]
[[분류:호몰로지 대수학]]