분해체 문서 원본 보기

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[[대수적 수론]]에서, 주어진 [[다항식]]의 '''분해체'''(分解體, {{llang|en|splitting field}})는 그 다항식을 완전히 [[인수 분해]]할 수 있는 [[체의 확대]] 중 가장 작은 것이다.

== 정의 ==
<math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]라고 하고, <math>p(x)\in K[x]</math>가 하나의 변수에 대한 <math>n</math>차 [[다항식]]이라고 하자. 그렇다면 <math>p</math>의 <math>K</math>에 대한 '''분해체''' <math>L/K</math>는 다음을 만족시키는 <math>K</math>의 [[체의 확대|확대]]이다.
# 다항식 <math>p</math>가 <math>p(x)=\prod_{i=1}^{\deg p}(x-a_i)\in L[x]</math>로 완전 [[인수 분해]]된다.
# <math>L</math>은 위 성질은 만족시키는 [[체의 확대]] 가운데 그 차수가 가장 작다.
이 성질은 만족시키는 [[체의 확대]]는 (동형인 것을 제외하면) 유일함을 보일 수 있다.

=== 구성 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 및 [[기약 다항식]] <math>p\in K[x]</math>에 대하여, 다음과 같은 [[체의 확대]] <math>L/K</math>가 존재한다.
:<math>L\cong K[x]/(p(x))</math>
여기서 <math>(p(x))</math>는 <math>p(x)</math>에 의해 생성되는 <math>K[x]</math>의 [[소 아이디얼]]이다. <math>K[x]</math>는 [[주 아이디얼 정역]]이고, 주 아이디얼 정역에서 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 [[극대 아이디얼]]이며, [[극대 아이디얼]]에 대한 [[몫환]]은 [[체 (수학)|체]]를 이루므로, <math>L</math>이 체임을 알 수 있다. 또한, <math>a=x+(p(x))\in L</math>은 <math>p</math>의 근이므로, <math>p</math>는 <math>L</math>에서 하나 이상의 근을 가지며, <math>\{1,a,a^2,\dotsc,a^{\deg p-1}\}\subseteq L</math>은 <math>L</math>의 <math>K</math>-[[기저 (선형대수학)|기저]]를 이룬다. 그러나 <math>L/K</math>는 <math>p</math>의 분해체가 아닐 수 있다.

이제, [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한, <math>n</math>차 [[다항식]] <math>p\in K[x]</math>의 분해체 <math>L</math>를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
* <math>K_0=K</math>
* <math>p(x)/((x-a_1)\dotsm(x-a_i))\in K_i[x]</math>의 기약 인자 <math>f_i(x)\in K_i[x]</math>를 고른다.
* <math>K_{i+1}=K_i[x]/(f_i(x))</math>
* <math>a_{i+1}=x+(f_i(x))\in K_{i+1}</math>
* <math>L=K_n</math>
이는 <math>f_i</math>의 선택에 (체의 확대의 동형을 무시하면) 관계없음을 보일 수 있다.

== 예 ==
복소수체 <math>\mathbb C</math>는 실수체 <math>\mathbb R</math>에 대하여 [[기약 다항식]] <math>x^2+1</math>의 분해체다. 즉,
:<math>\mathbb C\cong\mathbb R[x]/(x^2+1)</math>
이다.

유리수체 <math>\mathbb Q</math>에 대하여 [[기약 다항식]] <math>x^3-2</math>의 분해체는
:<math>\mathbb Q(\sqrt[3]2,\exp(2\pi i/3))</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[최소 다항식]]
* [[정규 확대]]
* [[갈루아 확대]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Splitting field of a polynomial}}
* {{매스월드|id=SplittingField|title=Splitting field}}

[[분류:체론]]