분할 완전열 문서 원본 보기

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[[호몰로지 대수학]]에서 '''분할 완전열'''(分割完全列, {{llang|en|split exact sequence}})은 일부 [[사상 (수학)|사상]]이 일종의 [[역원]]을 가져서, 가운데의 대상을 좌·우의 대상들의 합성으로 볼 수 있게 하는 [[짧은 완전열]]이다.

== 정의 ==
[[핵 (수학)|핵]]과 [[여핵]]이 존재하는 [[범주 (수학)|범주]]에서, 다음과 같은 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to X\xrightarrow aY\xrightarrow bZ\to0</math>
이 존재한다고 하자. 이 완전열에 대하여,
* 만약 <math>a</math>가 [[분할 단사 사상]]이라면 (즉, <math>\tilde a\circ a=1_X</math>인 <math>\tilde a\colon Y\to X</math>가 존재한다면), 이 완전열이 '''왼쪽 분할 완전열'''({{llang|en|left-split exact sequence}})이라고 한다.
* 만약 <math>b</math>가 [[분할 전사 사상]]이라면 (즉, <math>b\circ\tilde b=1_Z</math>인 <math>\tilde b\colon Z\to Y</math>가 존재한다면), 이 완전열이 '''오른쪽 분할 완전열'''({{llang|en|right-split exact sequence}})이라고 한다.

'''분할 보조정리'''에 따르면, [[아벨 범주]]에서의 짧은 완전열 <math>0\to X\to Y\to Z\to0</math>에 대하여 다음 명제들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X\to Y\to Z</math>는 왼쪽 분할 완전열이다.
* <math>X\to Y\to Z</math>는 오른쪽 분할 완전열이다.
* <math>Y\cong X\oplus Z</math>이며, 이 경우 <math>\tilde a</math>와 <math>b</math>는 <math>X\oplus Z</math>에서 <math>X</math> 또는 <math>Z</math>로 가는 사영 사상이다.
아벨 범주에서, 이 조건을 만족시키는 짧은 완전열을 '''분할 완전열'''이라고 한다. 즉, 분할 완전열에서는 다음과 같은 사상들이 존재한다.
:<math>0\to X{\xrightarrow a\atop\xleftarrow[\tilde a]{}}Y{\xrightarrow b\atop\xleftarrow[\tilde b]{}}Z\to0</math>

== 군의 범주에서의 분할 완전열 ==
군의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>는 [[아벨 범주]]가 아니며, 분할 보조정리가 성립하지 않는다. 군의 범주에서는 다음 두 명제가 서로 [[동치]]이다.
* <math>X\to Y\to Z</math>는 왼쪽 분할 완전열이다.
* <math>Y\cong X\times Z</math>이며, 이 경우 <math>\tilde a</math>와 <math>b</math>는 <math>X\times Z</math>에서 <math>X</math> 또는 <math>Z</math>로 가는 사영 사상이다.
군의 범주에서는 다음 두 명제가 서로 동치이다.
* <math>X\to Y\to Z</math>는 오른쪽 분할 완전열이다.
* <math>Y</math>는 [[반직접곱]] <math>X\rtimes Z</math>와 동형이다. 이 경우 <math>\tilde b</math>는 포함 사상 <math>Z\hookrightarrow Y</math>이다.
왼쪽 분할 조건은 오른쪽 분할 조건을 함의하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Split sequence}}
* {{매스월드|id=SplitExactSequence|title=Split exact sequence}}
* {{nlab|id=split exact sequence|title=Split exact sequence}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:보조정리]]