분할 리 대수 문서 원본 보기

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[[리 대수]] 이론에서, '''분할 리 대수'''(分割Lie代數, {{llang|en|split Lie algebra}})는 특별한 형태의 [[카르탕 부분 대수]]를 갖춘 [[리 대수]]이다. [[복소수체]] 위의 [[반단순 리 대수]]는 항상 분할 리 대수의 구조를 갖는다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 유한 차원 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''분할 카르탕 부분 대수'''라고 한다.
* 임의의 <math>x\in\mathfrak h</math>에 대하여, <math>\operatorname{ad}_{\mathfrak g} = [x,-] \colon \mathfrak g\to\mathfrak g</math>가 [[삼각 행렬]]이 되는 <math>\mathfrak g</math>의 <math>K</math>-[[기저 (선형대수학)|기저]]가 존재한다.
분할 카르탕 부분 대수를 갖는 [[리 대수]]를 '''분할 리 대수'''라고 한다.

== 연산 ==
유한 개의 분할 리 대수 <math>(\mathfrak g_i,\mathfrak h_i)_{i\in I}</math>가 주어졌을 때, 그 [[직합]]
:<math>(\mathfrak g,\mathfrak h)</math>
:<math>\mathfrak g=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak g_i</math>
:<math>\mathfrak h=\bigoplus_{i\in I}\mathfrak h_i</math>
역시 분할 리 대수를 이룬다.

== 성질 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 모든 [[반단순 리 대수]]는 분할 리 대수의 구조를 가질 수 있다. 그러나 이는 [[대수적으로 닫힌 체]]가 아닌 체에 대하여 성립하지 않는다.

[[표수 0]]의 체 <math>K</math> 위에서, [[보렐 부분 리 대수]](즉, [[극대 원소|극대]] [[가해 리 대수|가해]] [[부분 리 대수]])를 갖는 [[리 대수]]를 '''준분할 리 대수'''({{llang|en|quasisplit Lie algebra}})라고 한다. 이 경우, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:분할 리 대수 ∪ <math>\bar K</math>-반단순 리 대수 ⊆ 준분할 리 대수 ⊆ 반단순 리 대수
(여기서 <math>\bar K</math>는 <math>K</math>의 [[대수적 폐포]]이다.) 만약 <math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]](예를 들어, [[복소수체]])라면, 위 포함 관계들은 모두 등호가 된다. 그러나 만약 <math>K=\mathbb R</math>일 때, 이는 모두 등호가 아니다. 

== 예 ==
각 복소수 [[단순 리 대수]]는 정확히 하나의 분할 실수 형식을 갖는다. 그러나 이들은 하나 이상의 준분할 실수 형식을 가질 수 있다.

복소수 [[단순 리 대수]]들 가운데, 분할이 아닌 준분할 실수 형식을 갖는 것들은 다음과 같다.

{| class=wikitable style="text-align: center"
! 복소수 [[단순 리 대수]] !! 분할 실수 형식 !! 분할이 아닌 준분할 실수 형식
|-
| <math>\mathfrak{sl}(n;\mathbb C)</math> || <math>\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak{su}(\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil)</math>
|-
| <math>\mathfrak o(2n;\mathbb C)</math> || <math>\mathfrak o(n,n)</math> || <math>\mathfrak o(n-1,n+1)</math>
|-
| <math>\mathfrak e_6</math> || <math>\mathfrak e_{6(6)}</math> || <math>\mathfrak e_{6(2)}</math>
|}

== 같이 보기 ==
* [[분할복소수]]
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Split group}}
* {{eom|title=Quasi-split group}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]