분할 거듭제곱 환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]에서 '''분할 거듭제곱 환'''(分割-環, {{llang|en|divided power ring}}, {{llang|fr|anneau à puissances divisées}})은 [[환의 표수|표수]]의 배수인 <math>n</math>의 경우에도, 적어도 어떤 [[아이디얼]]의 원소 <math>x</math>의 경우에는 “<math>x^n/n!</math>”과 유사한 연산이 가능하게 하는 구조가 주어진 [[가환환]]이다. [[환의 표수|표수]] 0의 체 위의 [[가환환|가환]] [[결합 대수]]의 경우에는 분할 거듭제곱 구조는 유일하지만, 양의 표수에서는 일반적으로 그렇지 않다.

== 정의 ==
'''분할 거듭제곱 환''' <math>(R,\mathfrak I,\gamma)</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[가환환]] <math>R</math>
* <math>R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak I\subseteq R</math>
* 각 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, [[함수]] <math>\gamma_n\colon\mathfrak I\to R</math>. 이를 <math>(R,\mathfrak I)</math> 위의 '''분할 거듭제곱 구조'''(分割-構造, {{llang|en|divided power structure}}, {{llang|fr|structure à puissances divisées}})라고 한다.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
:<math>\gamma_0(x) = 1\qquad\forall x\in\mathfrak I</math>
:<math>\gamma_1(x) = x\qquad\forall x\in\mathfrak I</math>
:<math>\gamma_n(x)\in\mathfrak I\qquad\forall n\in\mathbb Z^+,\;x\in\mathfrak I</math>
:<math>\gamma_n(x+y)=\sum_{i=0}^n\gamma_{n-i}(x)\gamma_n(y)\qquad\forall n\in\mathbb N,\;x,y\in\mathfrak I</math>
:<math>\gamma_n(rx)=r^n\gamma_n(x)\qquad\forall n\in\mathbb N,\;r\in R,\;x\in\mathfrak I</math>
:<math>\gamma_m(x) \gamma_n(x) = \binom{m+n}m \gamma_{m+n}(x)\qquad\forall m,n\in\mathbb N,\;x\in\mathfrak I</math>
:<math>\gamma_n(\gamma_m(x)) = \frac{(mn)!}{(m!)^nn!}\gamma_{mn}(x)\qquad\forall m\in\mathbb Z^+,\;n\in\mathbb N,\;x\in\mathfrak I</math>

간혹 <math>\gamma_n(x)</math> 대신 <math>x^{[n]}</math>와 같은 표기도 사용된다.

=== 분할 거듭제곱 환 준동형 ===
두 분할 거듭제곱 환 <math>(R,\mathfrak I,\gamma)</math>, <math>(S,\mathfrak J,\delta)</math> 사이의 '''준동형''' <math>f\colon R\to S</math>은 다음 두 조건을 만족시키는 [[환 준동형]]이다.
:<math>f(\mathfrak I)S\subseteq\mathfrak J</math>
:<math>f(\gamma_n(x))=\delta_n(f(x))\qquad\forall n\in\mathbb N,\;x\in\mathfrak I</math>

이에 따라, 분할 거듭제곱 환과 그 준동형들로 구성된 [[구체적 범주]]가 존재한다.

=== 분할 거듭제곱 스킴 ===
분할 거듭제곱 환의 개념을 [[스킴 (수학)|스킴]]으로 일반화시킬 수 있다.

'''분할 거듭제곱 스킴'''(分割-scheme, {{llang|en|divided power scheme}})은 다음 데이터로 주어진다.
* [[스킴 (수학)|스킴]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>
* <math>\mathcal O_X</math> 위의 [[아이디얼 층]] <math>\mathcal I</math>
* <math>X</math>의 각 (자리스키) [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여, [[분할 거듭제곱 구조]] <math>\gamma_n\colon\mathcal I(U)\to \mathcal O_X(U)</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 두 (자리스키) [[열린집합]] <math>V\subseteq U\subseteq X</math> 및 <math>n>0</math>에 대하여, 다음 그림이 가환한다. (즉, [[준층]]의 사상을 이룬다.)
*:<math>\begin{matrix}
\mathcal I(U)&\overset{\gamma_n}\to&\mathcal I(U)\\
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal I}}\downarrow\scriptstyle\color{White}{\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal I}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle\color{White}\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal I}}\downarrow\scriptstyle\operatorname{res}_{U,V}^{\mathcal I}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\
\mathcal I(V)&\underset{\gamma_n}\to&\mathcal I(V)
\end{matrix}</math>

분할 거듭제곱 스킴 사이의 '''사상''' 역시 분할 거듭제곱 환 사이의 준동형과 유사하게 정의된다.

== 성질 ==
임의의 분할 거듭제곱 환 <Math>(R,\mathfrak I,\gamma)</math>에서, 다음이 성립한다.
:<math>r^n=n!\gamma_n(r)\qquad(\forall n\in\mathbb N,\;r\in\mathfrak I)</math>
물론, 만약 <math>R</math>에서 <math>n!=0</math>이라면, 좌변과 우변 둘 다 0이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
분할 거듭제곱 구조의 공리에 따라,
:<math>r\gamma_n(r)=\gamma_1(r)\gamma_n(r)=\binom{n+1}1\gamma_{n+1}(r)=(n+1)\gamma_{n+1}(r)</math>
이다. 이를 반복하면
:<math>r^n=1\cdot r^{n-1}\gamma_1(r)=1\cdot2\cdot r^{n-2}\gamma_2(r)=\dotsb=n!\gamma_n(r)</math>
을 얻는다.
</div></div>

=== 분할 거듭제곱 포락 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 분할 거듭제곱 환 <math>(A,\mathfrak I,\gamma)</math>
* [[가환환]] <math>B</math>
* [[환 준동형]] <math>f\colon A\to B</math>
* <math>B</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak J\subseteq B</math>. 또한, <math>f(\mathfrak I)B\subseteq\mathfrak J</math>라고 하자.
그렇다면, 다음 [[보편 성질]]을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 <math>(\bar B,\bar{\mathfrak J},\delta)</math>가 항상 존재함을 보일 수 있다.
:임의의 분할 거듭제곱 환 <math>(C,\mathfrak K,\varepsilon)</math>에 대하여,
::<math>\hom_{\operatorname{PDRing}/(A,\mathfrak I,\gamma)}\left((\bar B,\bar{\mathfrak J},\delta),(C,\mathfrak K,\varepsilon)\right)=\hom_{\operatorname{CRingIdeal}/(A,\mathfrak I)}\left((B,\mathfrak J),(C,\mathfrak K)\right)</math>
여기서
* <math>\operatorname{PDRing}</math>은 분할 거듭제곱 환의 범주이다.
* <math>\operatorname{CRingIdeal}</math>은 [[가환환]]의 [[아이디얼]]들의 범주이다. 즉,
** <math>\operatorname{CRingIdeal}</math>의 대상 <math>(R,\mathcal I)</math>은 [[가환환]] <math>R</math>와 그 속의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak I\subseteq R</math>의 [[순서쌍]]이다.
** <math>\operatorname{CRingIdeal}</math>의 사상 <math>f\colon (R,\mathcal I)\to (S,\mathfrak J)</math>은 <math>f(\mathfrak I)S\subseteq\mathfrak J</math>인 [[환 준동형]] <math>f\colon R\to S</math>이다.
* <math>/</math>은 [[조각 범주]]를 뜻한다.

이 [[보편 성질]]을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 <math>(\bar B,\bar{\mathfrak J},\delta)</math>을 <math>(B,\mathfrak J)</math> 위의 '''분할 거듭제곱 포락'''(分割-包絡, {{llang|en|divided power envelope}})이라고 한다. 즉, 이는 아이디얼에 분할 거듭제곱 구조를 “가장 자연스럽게” 부여한 것이다.

=== 분할 거듭제곱 미분 ===
고전적인 [[켈러 미분]]의 이론은 양의 [[환의 표수|표수]]에서 잘 작동하지 않는다. 분할 거듭제곱 환의 이론을 사용하면, 양의 표수에서도 [[공사슬 복합체]]를 이루는 '''분할 거듭제곱 드람 복합체'''를 정의할 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <Math>K</math>
* 분할 거듭제곱 환 <math>(R,\mathfrak I,\gamma)</math>
* [[환 준동형]] <math>f\colon K\to R</math>
[[켈러 미분]]의 가군과 유사하게, '''분할 거듭제곱 미분 가군'''(分割-微分加群, {{llang|en|module of divided-power differentials}}) <math>\Omega^1_{R/K,\mathfrak I,\gamma}</math>를 다음과 같은 항등식들을 만족시키는 <math>\mathrm db</math>들로 생성되는 <math>K</math>-[[가군]]으로 정의할 수 있다.
:<math>\mathrm d(r+s)=\mathrm db+\mathrm ds\qquad(r,s\in R)</math>
:<math>\mathrm d(rs)=(\mathrm dr)s+r(\mathrm ds)\qquad(r,s\in R)</math>
:<math>\mathrm df(\lambda)=0\qquad\forall \lambda\in K</math>
:<math>\mathrm d(\gamma_n(r))=\gamma_{n-1}\mathrm dr\qquad\forall n\in\mathbb Z^+,\;r\in R</math>
이것이 보통 [[켈러 미분]]하고 다른 점은 넷째 조건 밖에 없다.

이제, [[켈러 미분]]과 마찬가지로
:<math>\Omega^n_{R/K,\mathfrak I,\gamma}=\bigwedge^n_R\Omega^1_{R/K,\mathfrak I,\delta}</math>
:<math>\mathrm d\colon\left(r_0(\mathrm dr_1\wedge \dotsb \wedge \mathrm dr_n)\right)\mapsto\mathrm dr_0\wedge \mathrm dr_1\wedge \cdots \wedge \mathrm dr_n\qquad(r_0,r_1,\dotsc,r_n\in R)</math>
를 정의하면, 이것이 다음과 같은 [[공사슬 복합체]]를 이룸을 보일 수 있다.
:<math>\Omega^0_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\xrightarrow{\mathrm d}\Omega^1_{R/K,J,\delta}\xrightarrow{\mathrm d}\Omega^2_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\xrightarrow{\mathrm d}\Omega^3_{R/K,\mathfrak I,\gamma}\xrightarrow{\mathrm d}\dotsb</math>
이를 '''분할 거듭제곱 드람 복합체'''(分割-de Rham複合體, {{llang|en|divided-power de Rham complex}})라고 한다.

이 드람 복합체의 존재는 궁극적으로 구조층 <math>\mathcal O_{R/S}</math>가 [[결정 코호몰로지|결정 위치]] 위의 [[결정 코호몰로지|결정]]이기 때문이다.

== 예 ==
=== 표수 0의 대수 ===
표수 0의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 가환 [[결합 대수]] <math>A</math>의 임의의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak I\subseteq A</math> 위에는 유일한 분할 거듭제곱 구조가 존재하며, 다음과 같다.
:<math>\gamma_n(x) = \frac1{n!} \cdot x^n</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>A</math>에서는 <math>n!</math>이 [[가역원]]이다. 이에 따라 <math>x^n=n!\gamma_n(x)</math>이므로 <math>\gamma_n(x)=x^n/n!</math>이다.
</div></div>
물론, 이 경우 <math>\mathfrak I=A</math>로 놓을 수 있다.

=== 자유 분할 거듭제곱 구조 ===
[[가환환]]
:<math>\mathbb Z\langle{x}\rangle:=\mathbb Z\left[x,\frac{x^2}{2},\ldots,\frac{x^n}{n!},\dotsc\right]\subset \mathbb Q[x]</math>
의 [[주 아이디얼]] <math>(x)</math> 위에는 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조가 존재한다.
:<math>\gamma_n(x) = \frac{x^n}{n!}\qquad\forall n\in\mathbb N</math>
이 분할 거듭제곱 대수는 하나의 생성원에 대한 자유 <math>\mathbb{Z}</math>-분할 거듭제곱 대수이다. 여기서 “자유”라는 것은, [[범주 이론]]의 의미로 붙인 것이다.

=== 분할 거듭제곱 다항식환 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>R</math>
* [[유한 집합]] <math>I</math>
그렇다면, '''분할 거듭제곱 단항식'''(分割-單項式, {{llang|en|divided power monomial}})은 다음과 같은 꼴의 형식적 단항식이다.
:<math>r\prod_{i\in I}x_i^{[n_i]}\qquad((n_i)_{i\in I}\in \mathbb N^I,\;r\in R)</math>
이와 같은 분할 거듭제곱 단항식들의 (유한 개의) 합들로 구성된 [[가환환|가환]] <Math>R</math>-[[결합 대수]] <math>R\langle (x_i)_{i\in I}\rangle</math>를 '''분할 거듭제곱 다항식환'''(分割-多項式環, {{llang|en|divided power polynomial ring}})이라고 한다.

이 속에서, 양의 차수(즉, <math>\textstyle\sum_in_i>0</math>인 것)인 분할 거듭제곱 단항식들로 구성된 [[아이디얼]]을 생각할 수 있다. 이 위에는
:<math>\lambda_n(x_i^{[m]})=\frac{(mn)!}{(m!)^nn!}x_i^{[mn]}\qquad(m,n\in\mathbb N,\;i\in I)</math>
와 같은 표준적인 분할 거듭제곱 구조가 주어진다.

=== 양의 표수 ===
양의 표수의 [[체 (수학)|체]] 위의 가환 [[결합 대수]]의 경우, <math>x^n = n! \gamma_n(x)</math>는 성립하더라도, <math>n!</math>로 나눌 수 없는 경우가 생길 수 있으므로, 분할 거듭제곱 구조는 유일하지 않을 수 있다.

예를 들어, 만약
* [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>의 [[환의 표수|표수]]를 갖는 [[가환환]] <math>A</math>
* <math>\mathfrak I^p=0</math>인 [[멱영 아이디얼]] <math>\mathfrak I\subseteq A</math>
에 대하여, 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조를 정의할 수 있다.
:<math>\gamma_n(x)=\begin{cases}
x^n/n!&n<p\\
0&n\ge p
\end{cases}</math>

일반적으로 양의 표수의 환에서 주의할 점 하나는, 아이디얼 <math>\mathfrak I^p</math>과, 모든 <math> x \in\mathfrak I </math>에 대해 <math> x^p </math>로 생성된 아이디얼 사이에는 차이가 있다는 점이다. 전자는 0이 아닐 수 있지만, 후자의 경우는 분할 거듭제곱 구조가 존재한다면 항상 0이 된다는 것을 증명할 수 있다.

== 응용 ==
분할 거듭제곱 구조는 분할 거듭제곱 [[미분 연산자]]의 이론이나 [[결정 코호몰로지]] 이론에서 기본적인 도구로 사용된다. 이를 이용하여, 양의 표수를 가지는 환에서의 기술적인 어려움들이 극복될 수 있다.

구체적으로, 양의 표수 <math>p</math>의 경우, 에탈 코호몰로지는 <math>\ell\ne p</math>인 경우에서만 유용하다. 직관적으로, [[환의 표수|표수]] <math>p</math>의 [[가환환]] <math>A</math> 위의 [[다항식환]] <math>A[x]</math>에서, 미분의 [[곱 규칙]]
:<math>(x^n)'=nx^{n-1}</math>
을 생각하자. 만약 <math>p\mid n</math>일 경우
:<math>(x^n)'=0</math>
이 된다. 이 때문에 쿠머 열({{llang|en|Kummer sequence}})이 <math>\ell=p</math>에서는 [[에탈 위상]] 위에서 [[완전열]]이 되지 못하게 된다.

이를 해결하기 위해서는 앞에 붙는 <math>n</math>을 처리해야만 한다. 이러한 미분을 위해서, 다음과 같은 특수한 곱을 정의하자.
:<math>x^{[m]}y^{[n]}=\frac{(m+n)!}{m!n!}x^my^n</math>
그렇다면, 여기에 미분 구조를 주었다고 하면
:<math>(x^{[n]})'=x^{[n-1]}</math>
가 되며, 골칫거리인 <math>n</math>이 사라지게 된다.

즉, [[가환환]] <math>A</math>에 대하여, 다음과 같은 정의를 생각할 수 있다.
:<math>A\langle x_1,x_2,\cdots,x_n\rangle=\left\{\sum_{i_1,\cdots,i_n}a_{i_1,\cdots,i_n}x_1^{[i_1]}\cdots x_n^{[i_n]}|a_{i_1,\cdots,i_n}\in A\right\}</math>

이와 같은 구성을 조금 더 일반화하면, 분할 거듭제곱 환 및 분할 거듭제곱 스킴의 개념에 도달하게 된다.

보통, 대수기하학에서는 [[멱영 아이디얼]] 위의 분할 거듭제곱 구조만을 고려하는데, 이는 [[분할 거듭제곱 구조]]를 주어야 하는 곳은 한정되어야 하기 때문이다. 예를 들면, <math>A\langle x\rangle</math>같은 경우는 <math>x</math>로 생성되는 [[주 아이디얼]]에만 “작업을 가하면” 된다. 우리가 어려움을 겪는 이유는 <math>x</math>가 들어간 것의 미분 때문이기 때문이다. 아이디얼을 더 크게 잡으면, 망가지지 말아야 할 <math>A</math>의 연산도 망가지게 된다.

== 같이 보기 ==
* [[결정 코호몰로지]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | first1=Pierre | last1=Berthelot | first2=Arthur | last2=Ogus| title=Notes on Crystalline Cohomology | series=Annals of Mathematics Studies | publisher=Princeton University Press | year=1978 | zbl=0383.14010 |언어=en}}
* {{서적 인용 | title=Formal Groups and Applications | volume=78 | series=Pure and applied mathematics | first= Michiel | last= Hazewinkel | publisher=Elsevier | year=1978 | isbn=0123351502 | zbl=0454.14020 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | last1=Berthelot | first1=Pierre | title=Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique ''p''>0 | publisher=Springer-Verlag | series=Lecture Notes in Mathematics |권=407 | doi=10.1007/BFb0068636 | mr=0384804 | year=1974|isbn=978-3-540-06852-5 |언어=fr}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/06/22/divided-power-structures-1/|날짜=2011-06-22|제목=Divided power structures 1|이름=Matt|성=Ward|웹사이트=A Mind for Madness|언어=en|확인날짜=2017-06-06|보존url=https://web.archive.org/web/20141017150438/http://hilbertthm90.wordpress.com/2011/06/22/divided-power-structures-1/|보존날짜=2014-10-17|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/06/26/divided-power-structures-2/|날짜=2011-06-26|제목=Divided power structures 2|이름=Matt|성=Ward|웹사이트=A Mind for Madness|언어=en|확인날짜=2017-06-06|보존url=https://web.archive.org/web/20141017150429/http://hilbertthm90.wordpress.com/2011/06/26/divided-power-structures-2/|보존날짜=2014-10-17|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/07/04/divided-powers-3/|날짜=2011-07-04|제목=Divided powers 3|이름=Matt|성=Ward|웹사이트=A Mind for Madness|언어=en|확인날짜=2017-06-06|보존url=https://web.archive.org/web/20141024050614/http://hilbertthm90.wordpress.com/2011/07/04/divided-powers-3/|보존날짜=2014-10-24|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/07/07/divided-powers-4/|날짜=2011-07-07|제목=Divided powers 4|이름=Matt|성=Ward|웹사이트=A Mind for Madness|언어=en|확인날짜=2017-06-06|보존url=https://web.archive.org/web/20141017121653/http://hilbertthm90.wordpress.com/2011/07/07/divided-powers-4/|보존날짜=2014-10-17|url-status=dead}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:다항식]]