분포 (해석학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''분포'''(分布, {{문화어|초함수}}<ref>{{웹 인용|url=http://www.nktech.net/science/science/science_v.jsp?refid=N0203279|제목=초함수 (distribution, generalized function )|웹사이트=과학백과|출판사=북한과학기술네트워크|언어=ko}}{{깨진 링크|url=http://www.nktech.net/science/science/science_v.jsp?refid=N0203279 }}</ref>, {{llang|en|distribution}})는 [[함수]]와 [[확률 분포]] 등을, [[디랙 델타 분포]]와 같이 특이점을 가질 수 있게 일반화한 것이다.

== 정의 ==
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 속의 [[열린집합]] <math>U\subset\mathbb R^n</math>이 주어졌다고 하자. <math>U</math> 위의 실수 값 [[콤팩트 지지]] [[매끄러운 함수]]들의 실수 [[벡터 공간]]을 <math>\mathcal C^\infty_0(U)</math> 또는 <math>\mathcal D(U)</math>라고 쓰고, 그 원소를 <math>U</math> 위의 '''시험 함수'''(試驗函數, {{llang|en|test function}})라고 한다.

여기에 다음과 같은 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 주자. 함수열 <math>f_i\in\mathcal D(U)</math>이 <math>f\in\mathcal D(U)</math>로 [[수렴]]할 [[필요충분조건]]은 다음 두 조건이 모두 성립하는 것과 [[동치]]이다.
* 어떤 [[콤팩트 집합]] <math>K\subset U</math>에 대하여,
*:<math>\bigcup_{i=0}^\infty\operatorname{supp}f_i\subseteq K</math>
* 모든 [[다중지표]] <math>\alpha\in\mathbb N^n</math>에 대하여, <math>\partial^\alpha f_i\xrightarrow{\text{unif}}f</math>
여기서 <math>\operatorname{supp}</math>은 [[지지 집합]]을 뜻하며, <math>\xrightarrow{\text{unif}}</math>은 [[균등 수렴]]을 뜻한다.
이 위상에 따라, 시험 함수 공간 <math>\mathcal D(U)</math>는 [[완비 거리화 가능]] [[국소 볼록 공간]]을 이룬다.

<math>\mathcal D(U)</math>의 [[연속 쌍대 공간]] <math>\mathcal D'(U)</math>를 '''분포 공간'''(分布空間, {{llang|en|space of distributions}})이라고 하고, 그 원소를 '''분포'''(分布, {{llang|en|distribution}})라고 한다. 분포 <math>F</math> 및 시험 함수 <math>f\in\mathcal D(U)</math>에 대하여, <math>F(f)</math>는 보통 다음과 같이 표기한다.
:<math>F(f)=\int_UF(x)f(x)\,d^nx</math>
물론 <math>x\in U</math>에 대하여 <math>F(x)</math>라는 대상은 엄밀히 정의되지 않으므로 우변의 표기법은 단순히 표기법에 불과하다.

== 연산 ==
=== 지지 집합 ===
분포 <math>F\in\mathcal D'(U)</math>의 '''[[지지 집합]]'''(支持集合, {{llang|en|support}}) <math>\operatorname{supp}F</math>은 다음과 같이 정의된다. <math>x\not\in\operatorname{supp}F</math>라는 것은 다음 조건과 일치한다.

* <math>x</math>의 어떤 [[열린 근방]] <math>V\ni x</math>에 대하여, <math>F(f)=0\qquad\forall f\in\mathcal D(V)</math>이다.
분포의 지지 집합은 ([[열린집합]]들의 합집합의 [[여집합]]이므로) 항상 <math>U</math> 속의 [[닫힌집합]]이다.

분포 <math>F\in\mathcal D'(U)</math>의 '''특이 지지 집합'''(特異支持集合, {{llang|en|singular support}}) <math>\operatorname{sing\,supp}F</math>은 다음과 같이 정의된다. <math>x\not\in\operatorname{sing\,supp}F</math>라는 것은 다음 조건과 동치이다.
* <math>x</math>의 어떤 [[열린 근방]] <math>V\ni x</math>에 대하여, <math>F|_V</math>는 [[매끄러운 함수]]이다. 즉, <math>T_f=F|_V</math>가 되는 <math>f\in\mathcal C^\infty(V)</math>가 존재한다.
분포의 특이 지지 집합 역시 <math>U</math> 속의 [[닫힌집합]]이다.

특이 지지 집합과 관련된 개념으로 '''[[파면 집합]]'''이 있다. 이는 특이 지지 집합과 달리, 특이성이 발생하는 방향에 대한 정보를 담고 있다.

=== 국소화 ===
[[열린집합]] <math>U</math> 위에 정의된 분포 <math>F\in\in\mathcal D'(U)</math>와 열린 [[부분 집합]] <math>V\subseteq U</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 시험 함수에 대하여 다음과 같은 자연스러운 포함 관계가 존재한다.
:<math>\iota_{VU}\colon\mathcal D(V)\hookrightarrow\mathcal D(U)</math>
:<math>\iota_{VU}\colon f\mapsto\left(x\mapsto\begin{cases}f(x)&x\in V\\0&x\in U\setminus V\end{cases}\right)</math>
<math>F</math>의 <math>V</math>에 대한 '''제한'''({{llang|en|restriction}})은 다음과 같다.
:<math>F|_V\in \mathcal D'(V)</math>
:<math>F|_V\colon f\mapsto F(\iota_{VU}f)</math>
이에 따라, 분포 공간은 [[실수 벡터 공간]]의 [[층 (수학)|층]]을 이룬다.

일반적으로, 분포 <math>F\in\mathcal D'(U)</math> 및 점 <math>x\in U</math>가 주어졌을 때, 분포의 <math>x</math>에서의 값 <math>F(x)</math>는 정의할 수 없다. 다만, 만약 <math>x\not\in\operatorname{sing\,supp}F</math>일 경우, <math>F(x)</math>를 해당하는 [[매끄러운 함수]]의 값으로 정의할 수 있다. 또한, 다른 [[층 (수학)|층]]과 마찬가지로, <math>F</math>의 <math>x</math>에서의 [[싹 (수학)|싹]]을 정의할 수 있다.

=== 미분 ===
[[부분 적분]] 공식에 따라, 분포의 '''[[미분]]'''은 다음과 같이 정의된다.
:<math>\frac\partial{\partial x^i}F\colon f\mapsto -F\left(\frac\partial{\partial x^i}f\right)</math>
이를 일반화하여, 임의의 [[다중지표]] <math>\alpha\in\mathbb N^n</math>에 대하여 분포 <math>F</math>의 미분 <math>\partial^\alpha F</math>를 정의할 수 있다.
:<math>\partial^\alpha F\colon f\mapsto(-1)^{|\alpha|}F(\partial^\alpha f)</math>

=== 곱셈 ===
두 분포의 곱셈은 일반적으로 정의할 수 없다.<ref name="Schwartz54"/> 구체적으로, 다음 조건들을 만족시키는 분포의 곱셈을 정의할 수 없다.
* 쌍선형이다.
* [[곱 규칙]]이 성립한다.
* 두 국소 적분 가능 함수의 (함수로서의) 곱셈은 분포로서의 곱셈과 일치한다.
예를 들어, 실수선 위의 [[단위 계단 함수]]
:<math>\theta(x)=\begin{cases}0&x<0\\1&x>1\end{cases}</math>
를 생각하자. 그렇다면 함수의 곱셈으로서 임의의 양의 정수 <math>n</math>에 대하여
:<math>\theta=\theta^n</math>
가 성립한다. 양변에 [[곱 규칙]]을 적용하고, <math>n>1</math>이라면
:<math>\delta=n\theta^{n-1}\delta=n\theta\delta</math>
가 된다 (<math>\delta</math>는 [[디랙 델타 분포]]). 이는 임의의 <math>n>1</math>에 대하여 성립하므로, <math>\delta=n\theta\delta=0</math>이 되어 모순이다.

다만, 두 분포의 [[파면 집합]]이 적절한 조건을 만족시킨다면 그 곱셈을 정의할 수 있다.<ref name="BNH">{{저널 인용|arxiv=1404.1778|제목=A smooth introduction to the wavefront set|이름=Christian |성=Brouder|저자2=Nguyen Viet Dang|이름3=Frédéric|성3=Hélein|doi=10.1088/1751-8113/47/44/443001|저널=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|권=47|호=44|쪽=443001|날짜=2014-11-07|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 13}} 특히, 두 분포 가운데 하나가 [[매끄러운 함수]]라면, 분포와 함수의 곱셈을 다음과 같이 정의할 수 있다. 임의의 <math>F\in\mathcal D'(U)</math> 및 <math>f\in \mathcal C^\infty(U)</math>에 대하여,
:<math>fF\colon g\mapsto F(fg)</math>
이에 따라, <math>\mathcal D'(U)</math>는 [[가환환]] <math>\mathcal C^\infty(U)</math> 위의 [[가군]]을 이루며, 나아가 가환환층 <math>\mathcal C^\infty(U)</math> 위의 [[가군층]]을 이룬다.

=== 푸리에 변환 ===
{{본문|조절 분포}}
시험 함수의 푸리에 변환은 일반적으로 시험 함수가 아니므로, 분포 공간 전체에 푸리에 변환을 정의할 수 없다. 그러나 시험 함수 대신 푸리에 변환에 대하여 닫힌 더 큰 공간인 [[슈바르츠 함수]]를 사용하면, '''[[조절 분포]]'''라는, 푸리에 변환에 대하여 닫혀 있는 분포 공간의 부분 공간을 얻는다.

== 성질 ==
=== 분포 공간의 위상 ===
분포 공간 <math>\mathcal D'(U)</math>는 [[연속 쌍대 공간]]이므로, 그 위에 다양한 위상이 존재한다. 흔히 사용되는 위상은 다음과 같다.
* [[약한-* 위상]]. 이 경우 <math>\mathcal D'(U)</math>는 [[국소 볼록 공간]]이지만, [[거리화 가능 공간]]이 아니다.
* 콤팩트 집합 위에서의 [[균등 수렴 위상]]. 이 경우, <math>\mathcal D'(U)</math>는 [[국소 볼록 공간]]이며, 추가로 [[핵공간]]({{llang|en|nuclear space}})이자 [[몽텔 공간]]({{llang|en|Montel space}})이다. 그러나 이는 [[거리화 가능 공간]]이 아니다.

=== 함수 공간의 매장 ===
<math>U</math> 위의 '''국소 적분 가능 함수'''({{llang|en|locally integrable function}})란 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>f\colon U\to\mathbb R</math>를 말한다.
* 임의의 [[콤팩트 집합]] <math>K\subset U</math>에 대하여, <math>(|f|)|_K</math>는 [[르베그 적분 가능]] 함수이다.
모든 [[연속 함수]]와 임의의 <math>p</math>에 대하여 [[Lp 공간|L<sup>p</sup> 함수]]는 국소 적분 가능 함수이다. 국소 적분 가능 함수의 공간을 <math>\mathcal L^1_{\text{loc}}(U)</math>로 쓰자. [[Lp 공간|L<sup>p</sup> 공간]]과 마찬가지로, 임의의 <math>f,g\in\mathcal L^1_{\text{loc}}(U)</math>에 대하여 <math>f-g</math>가 [[거의 어디서나]] 0인 경우 <math>f\sim g</math>로 정의하고,
:<math>L^1_{\text{loc}}(U)=\mathcal L^1_{\text{loc}}(U)/{\sim}</math>
으로 정의하자.

국소 적분 가능 함수 <math>f</math>에 대하여, 대응하는 분포 <math>T_f\in\mathcal D'(U)</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>T_f\colon\mathcal D(U)\to\mathbb R</math>
:<math>T_f\colon g\mapsto\int_Ufg</math>
(이는 항상 [[연속 함수]]라는 것을 보일 수 있다.) 따라서, 이는 실수 벡터 공간의 [[단사 함수|단사]] [[선형 변환]]
:<math>T\colon L^1_{\text{loc}}(U)\hookrightarrow\mathcal D'(U)</math>
을 정의한다.

=== 측도 공간의 매장 ===
<math>U</math> 위의 임의의 [[라돈 측도]] <math>\mu</math>에 대하여, 대응하는 분포 <math>T_\mu\in\mathcal D'(U)</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>T_\mu\colon\mathcal D(U)\to\mathbb R</math>
:<math>T_\mu\colon g\mapsto\int_Ug\,d\mu</math>
반대로, 분포 <math>F\in\mathcal D'(U)</math>가 다음 성질을 만족시킨다고 하자.
:<math>\forall f\in\mathcal D(U)\colon(\forall x\in U\colon f(x)\ge0)\implies F(f)\ge0</math>
그렇다면, <math>T_\mu=f</math>가 되는 [[라돈 측도]] <math>\mu</math>가 존재한다. 이는 [[리스 표현 정리]]와 유사하다.

하지만 위 조건이 성립하지 않을 경우, 일반적인 분포는 (부호 붙은) 측도로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 실수선 위의, [[디랙 델타 분포]]의 미분 <math>\delta'</math>은 부호 붙은 측도로 나타낼 수 없다.

=== 연속 함수로의 표현 ===
열린집합 <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 위의 임의의 분포 <math>F\in\mathcal D'(U)</math>는 유한 개의 [[다중지표]]와 [[연속 함수]]들 <math>(\alpha_1,f_1),\dots,(\alpha_k,f_k)</math>로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>F=\sum_{i=1}^k\partial^{\alpha_k}f_k</math>
다시 말해, 분포 공간은 [[연속 함수]]들의 모든 유한차 미분을 포함하는 최소의 [[벡터 공간]]이다.

== 예 ==
=== 함수와 측도 ===
모든 [[국소 적분 가능 함수]]는 분포를 이룬다. 마찬가지로, 모든 [[라돈 측도]] 역시 분포를 이룬다. 보다 일반적으로, 부호 붙은 라돈 측도, 즉 두 라돈 측도의 차 <math>\mu_+-\mu_-</math> 역시 분포를 이룬다.

=== 디랙 델타 함수와 그 도함수 ===
실수선 위에 다음과 같은 [[연속 함수]]를 생각하자.
:<math>f(x)=\max\{x,0\}</math>
이 함수에 도함수를 취하면, 다음과 같은 분포들을 얻는다.
* <math>f'(x)</math>는 [[단위 계단 함수]]이다. 이는 국소 적분 가능 함수로 나타낼 수 있지만, 연속 함수가 아니다.
* <math>f''(x)=\delta(x)</math>는 [[디랙 델타 분포]]이다. 이는 더 이상 함수가 아니지만, [[라돈 측도]]이며, 다음과 같다.
*:<math>\int\delta(x)g(x)=g(0)</math>
* <math>f''(x)=\delta'(x)</math>는 디랙 델타의 도함수이다. 이는 더 이상 [[라돈 측도]]조차 아니며, 다음과 같다.
*:<math>\int\delta'(x)g(x)=-\int g'(x)\delta(0)=-g'(0)\qquad\forall g\in\mathcal D(\mathbb R)</math>
* 계속해서 도함수를 취하면, 다음과 같다.
*:<math>\int\delta^{(n)}(x)g(x)=(-1)^ng^{(n)}(0)\qquad\forall g\in\mathcal D(\mathbb R)</math>

=== 코시 주요값 ===
{{본문|코시 주요값}}
실수선 위에, <math>f(x)=x(\ln|x|-1)</math>는 [[연속 함수]]를 이룬다. 이 함수의 도함수들은 다음과 같다.
* <math>f'(x)=\ln|x|</math>는 연속 함수가 아니지만, [[국소 적분 가능 함수]]이다.
* <math>f''(x)=\operatorname{pv}1/x</math>는 다음과 같다. (여기서 <math>\operatorname{pv}</math>는 [[코시 주요값]]이다.)
*:<math>\begin{align}
\int f''(x)g(x)&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\int_{-\epsilon}^\epsilon f''(x)g(x) + \int_\epsilon^\infty\frac{g(x)-g(-x)}x\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\frac{g(\epsilon)-g(-\epsilon)}{2\epsilon}2\epsilon\ln|\epsilon|
-\left(g'(\epsilon)+g'(-\epsilon)\right)\epsilon(\ln|\epsilon|-1)
+\int_{-\epsilon}^\epsilon x(\ln|x|-1)g''(x) + \int_\epsilon^\infty\frac{g(x)-g(-x)}x\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)-g(-x)}x\\
&=\operatorname{pv}\int \frac{g(x)}x
\end{align}</math>
* <math>f'''(x)=-\operatorname{fp}1/x^2</math>는 다음과 같다. (여기서 <math>\operatorname{fp}</math>는 [[아다마르 유한 성분]]({{llang|fr|partie finie}})이다.)
*:<math>
\begin{align}
\int f'''(x)g(x)&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\int_{-\epsilon}^\epsilon f'''(x)g(x)-\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
[f''(x)g(x)]_{-\epsilon}^\epsilon
-[f'(x)g'(x)]_{-\epsilon}^\epsilon
+[f(x)g''(x)]_{-\epsilon}^\epsilon
-\int_{-\epsilon}^\epsilon f(x)g'''(x)
-\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
\frac{g(\epsilon)+g(-\epsilon)}{\epsilon}
+0+0+0
-\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
2g(0)/\epsilon
+0+0+0
-\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+g(-x)}{x^2}\right)\\
&=-\operatorname{pf}\int\frac{g(x)}{x^2}
\end{align}</math>
* 보다 일반적으로, <math>f^{(n)}=(-1)^n\operatorname{pf}x^{1-n}</math>는 다음과 같다.
*:<math>
\begin{align}
\int f^{(n)}(x)g(x)&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\int_{-\epsilon}^\epsilon f^{(n)}(x)g(x)+\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+(-1)^{n-1}g(-x)}{x^{n-1}}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
\sum_{i=0}^{n-1}
(-)^i[f^{(n-1-i)}g^{(i)}]_{-\epsilon}^\epsilon
+(-1)^n\int_{-\epsilon}^\epsilon f(x)g^{(n)}(x)+\int_\epsilon^\infty\frac{g(x)+(-1)^{n-1}g(-x)}{x^{n-1}}\right)\\
&=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(
2
\sum_{j=0}^{\lfloor(n-3)/2\rfloor}
\epsilon^{-2j-1}
g^{(n-2j-3)}(0)
\sum_{k=0}^{n-2j-3}
\frac1{k!}
+\int_\epsilon^\infty\frac{(-1)^ng(x)-g(-x)}{x^{n-1}}\right)\\
\end{align}
</math>

== 관련 개념 ==
'''[[사토 초함수]]'''({{llang|en|Sato hyperfunction}})는 분포와 유사하지만, [[정칙 함수]]를 기반으로 하는 이론이다.

'''[[콜롱보 대수]]'''({{llang|en|Colombeau algebra}})는 분포와 달리 곱셈이 정의되는 일반화 함수 이론이다. 콜롱보 대수의 원소는 분포로 수렴하는 함수열로 구성되는데, 콜롱보 대수에서의 곱셈은 일반적으로 함수열에 의존한다.

'''흐름'''({{llang|en|current}})은 분포의 개념을 [[미분 형식]]으로 일반화한 것이며, [[조르주 드 람]]이 도입하였다. <math>n</math>차원 [[유클리드 공간]]에서 <math>n</math>차 흐름과 분포는 일치하지만, 임의의 [[매끄러운 다양체]]에서는 이는 성립하지 않는다.

== 응용 ==
모든 [[적분]] 가능한 함수는 분포들의 공간에서 [[미분]]을 가지며, 이를 이용해 [[편미분 방정식]]의 해를 구할 수 있다. [[물리학]]이나 [[공학]]에서 나타나는 비연속적인 문제들을 [[미분 방정식]]으로 나타나면 이는 분포를 해로 갖는 경우가 많으며, 대표적인 예로 [[디랙 델타 분포]]가 있다.

== 역사 ==
[[편미분 방정식]]의 이론이 발달하면서, 1830년대에 발명된 [[그린 함수]]와 같은 개념을 엄밀히 정의할 필요가 대두되었다. [[세르게이 소볼레프]]는 1936년에 2차 쌍곡 [[편미분 방정식]]을 다루는 데 분포의 개념을 사용하였다.<ref>{{인용|first=S. |last=Soboleff|저자링크=세르게이 소볼레프 |title=Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales|journal= Математический сборник |volume= 1|호=1 |날짜=1936|pages= 39–72|url=http://mi.mathnet.ru/msb5358|zbl= 0014.05902|jfm=62.0568.01|언어=fr}}</ref> 이후 1950년에 [[로랑 슈바르츠]]는 분포의 이론을 체계적으로 엄밀히 개발하였고, 또 "분포"({{llang|fr|distribution|디스트리뷔시옹}})라는 용어를 고안하였다.<ref>{{서적 인용|first=Laurent|last=Schwartz|authorlink=로랑 슈바르츠|title=Théorie des distributions. Tome 1|publisher=Hermann et Compagnie|총서=Actualités scientifiques et industrielles|권=1091|날짜=1950|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|zbl=0037.07301|언어=fr}}</ref><ref>{{서적 인용|first=Laurent|last=Schwartz|authorlink=로랑 슈바르츠|title=Théorie des distributions. Tome 2|publisher=Hermann et Compagnie|총서=Actualités scientifiques et industrielles|권=1122|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|날짜=1951|zbl=0042.11405|언어=fr}}</ref> 1954년에 슈바르츠는 일반적으로 두 분포의 곱을 정의할 수 없음을 증명하였다.<ref name="Schwartz54">{{저널 인용|first=L.|last=Schwartz|year=1954|authorlink=로랑 슈바르츠|title=Sur l’impossibilité de la multiplication des distributions|journal=Comptes Rendus de l’Académie des Sciences|volume=239|pages=847–848|zbl=0056.10602|언어=fr}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Vasily S.|성=Vladimirov|날짜=2002-08-15|제목=Methods of the theory of generalized functions|출판사=Taylor & Francis|isbn=978-0-415-27356-5|url=https://www.crcpress.com/Methods-of-the-Theory-of-Generalized-Functions/Vladimirov/9780415273565|총서=Analytical Methods and Special Functions|언어=en}}
* {{서적 인용|first=Robert S.|last=Strichartz|날짜=2003-06|title=A guide to distribution theory and Fourier transforms|판=2|publisher=World Scientific|doi=10.1142/5314|isbn=978-981-238-421-8 |zbl=1029.46039|언어=en}}
* {{서적 인용|first=François|last=Trèves|title=Topological vector spaces, distributions and kernels|publisher=Academic Press|총서=Pure and Applied Mathematics|권=25|날짜=1967|zbl=0171.10402|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Generalized function}}
* {{eom|title=Generalized functions, space of}}
* {{eom|title=Generalized function, derivative of a}}
* {{eom|title=Generalized functions, product of}}
* {{eom|title=Generalized function algebras}}
* {{eom|title=Multiplication of distributions}}
* {{매스월드|id=GeneralizedFunction|title=Generalized function}}
* {{매스월드|id=SingularSupport|title=Singular support}}
* {{nlab|id=distribution|title=Distribution}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/distribution.pdf|제목=Distributions|이름=Terry|성=Tao|저자링크=테런스 타오|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/4706/what-examples-of-distributions-should-i-keep-in-mind|제목=What examples of distributions should I keep in mind?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/14586/when-can-a-function-be-recovered-from-a-distribution|제목=When can a function be recovered from a distribution?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[파면 집합]]
* [[디랙 델타 분포]]
* [[조절 분포]]
* [[측도]]

[[분류:함수해석학]]
[[분류:매끄러운 함수]]