분지점 문서 원본 보기

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[[복소해석학]]에서 '''분지점'''(分枝點, {{llang|en|ramification point}})은 두 [[리만 곡면]] 사이의 [[정칙 함수]]가 국소적으로 [[피복 공간]]을 이루지 못하는 점이며, 그 [[상 (수학)|상]]을 '''가지점'''(-點, {{llang|en|branch point}})이라고 한다. 이러한 [[정칙 함수]]의 [[역함수]]를 정의하려면, 가지점들을 잇는 선분 또는 반직선에서 정의되지 않거나 또는 이 점들에서 불연속적이게 된다. 이러한 선분 또는 반직선을 '''분지 절단'''(分枝切斷, {{llang|en|branch cut}})이라고 한다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 두 [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math>, <math>\Sigma'</math>
* [[정칙 함수]] <math>f\colon\Sigma\to\Sigma'</math>. 또한, <math>f</math>가 국소적으로 [[상수 함수]]가 아니라고 하자.
그렇다면, 점 <math>z\in\Sigma</math>에 대하여, 두 조건을 생각하자.
:제한 함수 <math>f\restriction f^{-1}(U)\colon f^{-1}(U)\to f(U)</math>가 [[피복 공간]]이 되는, <math>f(z)</math>의 [[근방]] <math>U\ni f(z)</math>가 존재한다.
이 조건이 성립하지 않는 점들의 집합은 <math>\Sigma</math> 속의 [[이산 공간]]을 이루며, 특히 만약 <math>\Sigma</math>가 [[콤팩트 공간]]이라면 [[유한 집합]]이다. 이 조건이 성립하지 못하는 점 <math>z\in\Sigma</math>를 <math>f</math>의 '''분지점'''(分枝點, {{llang|en|ramification point}})이라고 하며, 그 [[상 (수학)|상]] <math>f(z)\in\Sigma'</math>을 <math>f</math>의 '''가지점'''(-點, {{llang|en|branch point}})이라고 한다.

=== 분지점의 차수 ===
두 [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math>, <math>\Sigma'</math> 사이의 [[정칙 함수]] <math>f\colon\Sigma\to\Sigma'</math> 및 점 <math>z\in\Sigma</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>z</math> 근처에, 다음 조건을 만족시키는
* <math>z\in\Sigma'</math>의 [[열린 근방]] <math>U\ni z</math>
* [[열린집합]] <math>V\supseteq f(U)</math>
* [[복소평면]]의 0을 포함하는 두 [[열린집합]] <math>\tilde U,\tilde V\subseteq\mathbb C</math>, <math>0\in\tilde U\cap\tilde V</math>
* [[전단사 함수|전단사]] [[정칙 함수]] <math>\iota_U\colon U\to \tilde U</math>, <math>\iota_V\colon V\to\tilde V</math>
* 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>
가 존재한다면, <math>z</math>의 '''분지 지표'''(分枝指標, {{llang|en|ramification index}})를 <math>n</math>이라고 한다.
:<math>\iota_V\circ f\circ \iota_U^{-1}=(z\mapsto z^n)</math>
만약 어떤 점의 분지 지표가 0이라면, <math>f</math>는 (그 점을 포함하는 [[연결 성분]]에 제한하면) [[상수 함수]]이다. 만약 어떤 점의 분지 지표가 1이라면, 이 점은 분지점이 아니다. 만약 어떤 점의 차수가 2 이상이라면, 이는 분지점이다.

분지 지표를 갖지 않는 점은 분지점이며, 이 경우를 '''초월 분지점'''(超越分枝點, {{llang|en|transcendental ramification point}})이라고 한다.

=== 분지 절단 ===
[[정칙 함수]]
:<math>f\colon\Sigma\to\Sigma'</math>
가 [[상수 함수]]가 아니며, [[전단사 함수]]도 아니라면, <math>f</math>는 분지점을 갖는다. 이 경우, <math>f</math>의 [[역함수]]를 잘 정의하기 위해서는, <math>f</math>의 가지점들 및 (비콤팩트 [[리만 곡면]]의 경우 무한대)를 잇는 선분 또는 반직선들을 제거하거나 또는 이 점들에서 불연속이게 해야 한다. 이 과정을 '''분지 절단'''({{llang|en|branch cut}}, 分枝切斷)이라고 한다. 즉, 이러한 선분 <math>L\subsetneq\Sigma'</math>을 골랐을 때, [[정칙 함수]]인 역함수
:<math>f^{-1}\colon(\Sigma'\setminus L)\times B\to\Sigma</math>
를 정의할 수 있다. 여기서 <math>B</math>는 피복 공간 <math>f^{-1}(\Sigma'\setminus L)\twoheadrightarrow\Sigma'\setminus L</math>의 올인 [[이산 공간]]이다.

== 예 ==
=== 제곱근 ===
[[정의역]]과 [[공역]]이 [[리만 구]] <math>\mathbb{CP}^1</math>인 [[정칙 함수]]
:<math>f\colon\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^1</math>
:<math>f\colon z\mapsto z^2</math>
를 생각하자. 이는 두 개의 분지점을 가지며, 그 분지 지표는 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 분지점 <math>z</math> || 가지점 <math>f(z)</math> || 분지 지표
|-
| 0 || 0 || 2
|-
| ∞ || ∞ || 2
|}
이 경우, 역함수 <math>f^{-1}</math>, 즉 복소수 [[제곱근]] 함수를 정의하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 분지 절단을 가해야 한다. 흔히 이는 음의 실수 반직선
:<math>\mathbb R^-</math>
으로 한다. 이렇게 하면, 복소수 제곱근 함수
:<math>f^{-1}\colon\mathbb{CP}^1\setminus\mathbb R^-\to\mathbb{CP}^1</math>
:<math>f^{-1}\colon z\mapsto z^{1/2}</math>
를 정의할 수 있다. 이 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다.
:<math>f^{-1}\colon
\begin{cases}r\exp(\mathrm i\theta)\mapsto\sqrt r\exp(\mathrm i\theta/2)&r\in[0,\infty),\;\theta\in(-\pi,\pi)\\
\infty\mapsto\infty
\end{cases}</math>
물론, 다른 분지 절단을 고를 수 있다. 예를 들어, 양의 실수 반직선을 대신 절단할 수도 있다. 이렇게 하여 얻는 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다.
:<math>f^{-1}\colon
\begin{cases}r\exp(\mathrm i\theta)\mapsto\sqrt r\exp(\mathrm i\theta/2)&r\in[0,\infty),\;\theta\in(0,2\pi)\\
\infty\mapsto\infty
\end{cases}</math>

=== 로그 ===
[[정의역]]과 [[공역]]이 [[복소평면]]인 [[정칙 함수]]
:<math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>
:<math>f\colon z\mapsto\exp z</math>
를 생각하자. 그 유일한 분지점은 <math>z=0</math>이며, 이는 초월 분지점이다. (이 복소수 [[지수 함수]]는 ∞에서 [[본질적 특이점]]을 가져, <math>\mathbb{CP}^1</math> 위의 정칙 함수로 정의할 수 없다.)

그 역함수 <math>f^{-1}</math>, 즉 복소수 [[자연 로그]] 함수를 정의하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 분지 절단을 가해야 한다. 흔히 이는 음의 실수 반직선
:<math>\mathbb R^-</math>
으로 한다. 이렇게 하면, 복소수 [[자연 로그]] 함수
:<math>f^{-1}\colon\mathbb C\setminus\mathbb R^-\to\mathbb C</math>
:<math>f^{-1}\colon z\mapsto\ln z</math>
를 정의할 수 있다. 이 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다.
:<math>f^{-1}\colon r\exp(\mathrm i\theta)\mapsto (\ln r)+\mathrm i\theta\qquad\left(r\in[0,\infty),\;\theta\in(-\pi,\pi)\right)</math>

=== 복잡한 예 ===
다음과 같은 역함수를 갖는 함수를 생각하자.
:<math>f^{-1}\colon z\mapsto\sqrt z\sqrt{1-z}</math>
이 함수 <math>f</math>의 정의역은 사실 리만 구의 2겹 분지 피복 공간이 되는, 종수 0의 [[리만 곡면]] <math>\Sigma_0</math>이다. 구체적으로, 집합으로서 이는 다음과 같다.
:<Math>\Sigma_0=\left(\mathbb{CP}^1\setminus[0,1]\right)\times\{\mathsf A,\mathsf B\}\sqcup (0,1)\times \{\mathsf C,\mathsf D\}+\{0,1,\infty\}</math>
여기서 <math>\mathsf A</math>, <math>\mathsf B</math>, <math>\mathsf C</math>, <math>\mathsf D</math>는 임의의 네 기호이다.

이 조각들을 다음과 같이 이어붙인다.
:<math>\lim_{b\to 0^+} (a+\mathrm ib, \mathsf A)= 
\lim_{b\to 0^+} (a-\mathrm ib, \mathsf B)
=(a,\mathsf C)\qquad\left(0<a<1\right)</math>
:<math>\lim_{b\to 0^+} (a+\mathrm ib, \mathsf B)= 
\lim_{b\to 0^+} (a-\mathrm ib, \mathsf A)
=(a,\mathsf D)\qquad\left(0<a<1\right)</math>

:<math>\lim_{b\to0^+}(b,\mathsf C)=\lim_{b\to0^+}(b,\mathsf D)
=\lim_{z\to 0} (z, \mathsf A)
=\lim_{z\to 0} (z, \mathsf B)
=0</math>
:<math>\lim_{b\to1^-}(b,\mathsf C)=\lim_{b\to1^-}(b,\mathsf D)
=\lim_{z\to 1} (z, \mathsf A)
=\lim_{z\to 1} (z, \mathsf B)
=1</math>
이는 두 개의 분지점, 즉 0과 1을 갖는다. 두 분지점의 분지 지표는 둘 다 2이다. 분지점 밖에서, <math>f\colon\Sigma_0\to\mathbb{CP}^1</math>는 2겹 [[피복 공간]]을 정의한다.

반대로, 그 역함수 <math>f^{-1}</math>를 정의하려면, [[열린구간]] <math>(0,1)</math>에 분지 절단을 가해야 한다.

위상수학적으로, <math>\Sigma_0</math>은 하나의 “홈”이 파인 두 [[리만 구]]를 짜깁기한 것이다. “홈”이 파인 [[리만 구]]는 반구와 [[위상 동형]]이므로, <math>\Sigma_0</math>은 위상수학적으로 구를 이룬다 (즉, [[리만 구]]이다). 사실, 임의의 종수의 콤팩트 [[리만 곡면]]을 위와 같이 [[리만 구]] <math>\mathbb{CP}^1</math>의 분지 피복으로 나타낼 수 있다. 구체적으로, 종수 <math>g</math>의 리만 곡면 <math>\Sigma_g</math>의 경우, 위와 같은 “홈”이 <math>g+1</math>개 파인 두 [[리만 구]]를 짜깁기하여 얻는다.

== 역사 ==
제곱근이나 로그 등, 복소수에 대한 여러 함수가 일반적으로 어떤 점에서 정의되지 못하거나, 또는 “여러 개의 값을 갖는다”는 현상은 복소수의 발견 이후 곧 알려졌다. [[베른하르트 리만]]이 1851년에 [[리만 곡면]]을 도입하였으며, 이 현상을 엄밀하게 묘사하였다.

“분지”(分枝)는 나뭇가지([[:wiktionary:ko:枝|枝]])가 갈라진다([[:wiktionary:ko:分|分]])는 뜻으로, 이는 분지점의 [[상 (수학)|상]] 근처에서 정칙 함수의 “[[역함수]]”가 “여러 값을 갖는” 모양을 빗댄 것이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=복소함수론 강의|판=1|저자=김용인|출판사=경문사|isbn=89-7282-772-X |날짜=2007|언어=ko}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Branch point }}
* {{eom|title=Transcendental branch point}}
* {{eom|title=Logarithmic branch point}}
* {{eom|title=Algebraic branch point }}
* {{매스월드|id=BranchPoint|title=Branch point}}
* {{매스월드|id=BranchCut|title=Branch cut}}
* {{매스월드|id=RamificationIndex|title=Ramification index|이름=Helena|성=Verrill}}
* {{nlab|id=branched cover of the Riemann sphere|title=Branched cover of the Riemann sphere}}

[[분류:복소해석학]]
[[분류:역함수]]