분수 푸리에 변환 문서 원본 보기

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'''분수 푸리에 변환'''(Fractional Fourier transform, '''FRFT''')은 [[수학]]의 [[조화해석학|조화 해석학]] 영역에서 [[푸리에 변환]]을 일반화한 일련의 [[선형 변환]]이다. 이는 ''n'' 의 거듭제곱까지의 푸리에 변환으로 생각할 수 있는데, 여기서 ''n은'' 반드시 [[정수]]일 필요가 없고 따라서 함수를 시간과 [[진동수|주파수]] 사이의 '''중간''' 도메인으로도 변환할 수 있다. 분수 푸리에 변환의 적용 분야는 [[필터 설계]] 및 [[신호 처리|신호 분석]]에서 위상 검색 및 [[패턴 인식]]에 이르기까지 다양하다.

FRFT는 분수 [[합성곱|콘볼루션]], 분수 [[상관 분석|코릴레이션]] 및 기타 오퍼레이션을 정의하는 데 사용할 수 있으며 이를 더욱 일반화하여 LCT([[선형 캐노니컬 변환]])로도 할 수도 있다. FRFT의 초기 정의는 [[콘돈]]<ref>{{저널 인용|제목=Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations|저널=[[Proc. Natl. Acad. Sci. USA]]|성=Condon|이름=Edward U.|저자링크=Edward Condon|날짜=1937|권=23|호=3|쪽=158–164|bibcode=1937PNAS...23..158C|doi=10.1073/pnas.23.3.158|pmc=1076889|pmid=16588141}}</ref>에 의해 위상 공간 회전에 대한 [[그린 함수]]를 풀어서 하는 방식으로, 또는 나미아스<ref>{{저널 인용|제목=The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics|저널=IMA Journal of Applied Mathematics|성=Namias|이름=V.|날짜=1980|권=25|호=3|쪽=241–265|doi=10.1093/imamat/25.3.241}}</ref>에 의해 [[노버트 위너|위너]]<ref>{{저널 인용|제목=Hermitian Polynomials and Fourier Analysis|저널=Journal of Mathematics and Physics|성=Wiener|이름=N.|날짜=April 1929|권=8|호=1–4|쪽=70–73|doi=10.1002/sapm19298170}}</ref>의 [[에르미트 다항식|에르미드 다항식]]을 일반화하는 방식으로 소개되었다.

그러나 1993년경 여러 그룹에 의해 독립적으로 재도입되기 전까지는 신호 처리에서 널리 인식되지 않았는데,<ref>{{저널 인용|제목=The fractional Fourier transform and time–frequency representations|저널=IEEE Trans. Signal Process.|성=Almeida|이름=Luís B.|날짜=1994|권=42|쪽=3084–3091|bibcode=1994ITSP...42.3084A|doi=10.1109/78.330368}}</ref> 그 이후에 분수 푸리에 영역에서 대역 제한이 있는 신호에 대한 [[섀논의 샘플링 정리|'''섀논의 샘플링 정리''']]<ref>{{저널 인용|제목=Sampling and sampling rate conversion of band limited signals in the fractional Fourier transform domain|저널=IEEE Transactions on Signal Processing|성=Tao|이름=Ran|성2=Deng|이름2=Bing|날짜=2008|권=56|쪽=158–171|bibcode=2008ITSP...56..158T|doi=10.1109/TSP.2007.901666|성3=Zhang|이름3=Wei-Qiang|성4=Wang|이름4=Yue}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Sampling and reconstruction of sparse signals in fractional Fourier domain|저널=IEEE Signal Processing Letters|성=Bhandari|이름=A.|성2=Marziliano|이름2=P.|날짜=2010|권=17|쪽=221–224|bibcode=2010ISPL...17..221B|doi=10.1109/LSP.2009.2035242}}</ref>를 확장하면서 관심이 급증했다.

"분수 푸리에 변환"에 대한 완전히 다른 의미로는 베일리와 슈바르츠트라우버<ref>{{저널 인용|제목=The fractional Fourier transform and applications|저널=[[SIAM Review]]|성=Bailey|이름=D. H.|성2=Swarztrauber|이름2=P. N.|날짜=1991|권=33|호=3|쪽=389–404|doi=10.1137/1033097}} (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)</ref>에 의해 본질적으로 [[Z변환|'''z-변환''']]의 또 다른 이름으로 도입되었는데, 특히 주파수 공간에서 분수 양만큼 이동되어 있고(입력에 선형 처프를 곱함) 또한 소수점 세트의 주파수 포인트에서 평가를 하는(예: 스펙트럼의 작은 부분만 고려) [[이산 푸리에 변환|'''이산 푸리에 변환''']]에 해당하는 경우에 대하여 도입되었다. 이러한 변환은 Bluestein의 FFT 알고리즘 으로 효율적으로 평가할 수 있다. 하지만 이러한 용법은 대부분의 기술 문헌에서 사용되지 않게 되었으며 '''FRFT'''가 더욱 선호되고 있다. 이 문서의 나머지 부분에서는 FRFT에 대해 설명한다.

== 도입 ==
어떤 함수 <math>f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{C}</math>에 대한 연속 [[푸리에 변환]] <math>\mathcal{F}</math> 는 [[르베그 공간|<math>L^2</math>]] [[르베그 공간|공간]]의 [[유니터리 작용소|유니터리 연산자]]로, 이는 함수  <math>f</math> 를 주파수 번전 <math>\hat{f}</math> (모든 표현은 포인트와이즈가 아닌  <math>L^2</math> 에서의 의미이다)로 매핑한다:<math display="block">\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,\mathrm{d}x</math>그리고 <math>f</math> 는 역변환 <math>\mathcal{F}^{-1}\,</math>을 통해 <math>\hat{f}</math>에 의하여 결정된다,<math display="block">f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,\mathrm{d}\xi\, .</math>이제 이것의 ''n'' 번째 반복 <math>\mathcal{F}^{n}</math>에 대하여 고려하는데, 여기서  <math>\mathcal{F}^{n}[f] = \mathcal{F}[\mathcal{F}^{n-1}[f]]</math> 이고, <math>\mathcal{F}^{-n} = (\mathcal{F}^{-1})^n</math> 인데, 여기서 ''n'' 은 음이 아닌 정수이고 <math>\mathcal{F}^{0}[f] = f</math>이다.

이러한 시퀀스는 다음과 같이 유한한데, 이는 <math>\mathcal{F}</math> 4주기 [[자기 동형 사상|자기동형]] 즉, 모든 함수에 대해 <math>f</math>, <math>\mathcal{F}^4 [f] = f</math> 이기 때문이다.

보다 엄밀하게는 '''패리티 연산자 <math>\mathcal{P}</math>'''를 도입하는데, 이 연산자는 <math>x</math>를 반전하여, <math>\mathcal{P}[f]\colon x \mapsto f(-x)</math>가 된다. 그러면 다음 속성이 유지된다.<math display="block">\mathcal{F}^0 = \mathrm{Id}, \qquad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \qquad \mathcal{F}^2 = \mathcal{P}, \qquad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}</math><math display="block">\mathcal{F}^3 = \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P}.</math>FRFT는 FT의 정수가 아닌 <math>n = 2\alpha/\pi</math> 거듭제곱을 처리하기 위해 이 정의를 더욱 확장하는 선형 변환 계열을 제공한다.

== 정의 ==
일부 저작자들은 "각도 {{수학 변수|a}} " 대신 "차수 {{수학 변수|α}} "로 변환을 기술하므로 유의가 필요한데 이때의 {{수학 변수|α}} 는 일반적으로 {{수학 변수|a}} 곱하기 {{수학|''π''/2}}이다. 비록 이들 두개의 형식은 동일하지만 저자가 어떤 정의를 사용하는지 유의할 필요가 있다.

임의의 [[실수]] {{수학 변수|α}} 에 대해 함수 ƒ의 {{수학 변수|α}} 각도 분수 푸리에 변환은  <math>\mathcal{F}_\alpha (u)</math> 로 표시되며, 아래와 같이 정의된다.{{공식 상자|border|indent=::|equation=<math>\mathcal{F}_\alpha[f](u) = 
\sqrt{1-i\cot(\alpha)} e^{i \pi \cot(\alpha) u^2}
\int_{-\infty}^\infty
e^{-2\pi i\left(\csc(\alpha) u x - \frac{\cot(\alpha)}{2} x^2\right)}
f(x)\, \mathrm{d}x
</math>|cellpadding=6|border colour=#0073CF}}형식적으로 이 공식은 입력 함수가 충분히 좋은 공간(예: [[르베그 공간|L1]] 또는 [[슈바르츠 공간|Schwartz 공간]] )에 있고 일반적인 경우에 통상의 [[푸리에 변환]]과 유사한 방식으로 밀도 인수를 통해 정의된 경우에만 유효하다(기사 참조).<ref>{{학위논문 인용|last= Missbauer |first= Andreas |title= Gabor Frames and the Fractional Fourier Transform |date= 2012 |type= MSc |publisher= [[University of Vienna]] |url=https://www.univie.ac.at/nuhag-php/bibtex/open_files/13586_Missbauer_Diplom_final.pdf |access-date=2018-11-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181103131426/https://www.univie.ac.at/nuhag-php/bibtex/open_files/13586_Missbauer_Diplom_final.pdf |archive-date=2018-11-03 |url-status=dead }}</ref>

만일 {{수학 변수|α}}가 π의 정수배이면 위의 [[삼각함수|코탄젠트]] 함수와 [[삼각함수|코시컨트]] 함수는 발산하지만, 이는 [[함수의 극한|극한을]] 취하는 방식으로 처리할 수 있으며 피적분 함수에서 [[디랙 델타 함수|Dirac 델타 함수]]로 이어진다.

더 직접적으로는, <math>\mathcal{F}^2(f)=f(-t) </math>이므로, <math> \mathcal{F}_{\alpha} ~ (f) </math>는 반드시 {{수학 변수|π}} 의 [[홀수와 짝수|짝수 또는 홀수]] 배수인 {{수학 변수|α}} 대해 단순히 {{수학|''f''(''t'')}} 또는 {{수학|''f''(−''t'')}}이어야 한다. {{수학|''α'' {{=}} ''π''/2}} 의 경우 이것은 정확하게 '''연속 푸리에 변환'''의 정의가 되고 {{수학|''α'' {{=}} −''π''/2}} 의 경우 '''역 연속 푸리에 변환'''의 정의가 된다.

FRFT의 인수 {{수학 변수|u}} 는 공간 {{수학 변수|x}} 도 주파수 {{수학 변수|ξ}} 도 아니다. 여기서는 이것이 두 좌표 {{수학|(''x'',''ξ'')}} 의 선형 결합으로 해석될 수 있는 이유를 살펴본다. {{수학 변수|α}} -각도 분수 도메인을 구별하고 싶을 때, <math>x_a</math>가 <math>\mathcal{F}_\alpha</math> 의 인수를 나타내도록 한다.

'''비고:''' 주파수 규약 대신에 각 주파수 ω 규약을 사용하면 FRFT 공식은 Mehler 커널이 된다.<math display="block">\mathcal{F}_\alpha(f)(\omega) = 
\sqrt{\frac{1-i\cot(\alpha)}{2\pi}}
e^{i \cot(\alpha) \omega^2/2}
\int_{-\infty}^\infty
e^{-i\csc(\alpha) \omega t + i \cot(\alpha) t^2/2}
f(t)\, dt~.
</math>

=== 성질 ===
{{수학|''α''}} 차 분수 푸리에 변환 연산자, <math>\mathcal{F}_\alpha</math>는 다음과 같은 성질을 갖는다.

==== 가산성 ====
임의의 실수각 {{수학|''α, β''}} 에 대해,<math display="block">\mathcal{F}_{\alpha+\beta} = \mathcal{F}_\alpha \circ \mathcal{F}_\beta = \mathcal{F}_\beta \circ \mathcal{F}_\alpha.</math>

==== 선형성 ====
<math display="block">\mathcal{F}_\alpha \left [\sum\nolimits_k b_kf_k(u) \right ]=\sum\nolimits_k b_k\mathcal{F}_\alpha \left [f_k(u) \right ]</math>

==== 정수 차수 ====
{{수학|''α''}} 가  <math>\pi / 2</math> 의 정수배이면:<math display="block">\mathcal{F}_\alpha = \mathcal{F}_{k\pi/2} = \mathcal{F}^k = (\mathcal{F})^k</math>또한 다음과 같은 관계가 있다.<math display="block">\begin{align}
\mathcal{F}^2 &= \mathcal{P} && \mathcal{P}[f(u)]=f(-u)\\
\mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = (\mathcal{F})^{-1} \\ 
\mathcal{F}^4 &= \mathcal{F}^0 = \mathcal{I} \\
\mathcal{F}^i &= \mathcal{F}^j && i \equiv j \mod 4
\end{align}</math>

==== 역 ====
<math display="block">(\mathcal{F}_\alpha)^{-1}=\mathcal{F}_{-\alpha}</math>

==== 교환성 ====
<math display="block">\mathcal{F}_{\alpha_1}\mathcal{F}_{\alpha_2}=\mathcal{F}_{\alpha_2}\mathcal{F}_{\alpha_1}</math>

==== 결합성 ====
<math display="block"> \left (\mathcal{F}_{\alpha_1}\mathcal{F}_{\alpha_2} \right )\mathcal{F}_{\alpha_3} = \mathcal{F}_{\alpha_1} \left (\mathcal{F}_{\alpha_2}\mathcal{F}_{\alpha_3} \right )</math>

==== 유니테리티 ====
<math display="block">\int f(u)g^*(u)du=\int f_\alpha(u)g_\alpha^*(u)du</math>

==== 시간 반전 ====
<math display="block">\mathcal{F}_\alpha\mathcal{P}=\mathcal{P}\mathcal{F}_\alpha</math><math display="block">\mathcal{F}_\alpha[f(-u)]=f_\alpha(-u)</math>

==== 시프트된 함수의 변환 ====
시프트 연산자 및 위상 시프트 연산자를 다음과 같이 정의한다.<math display="block">\begin{align}
\mathcal{SH}(u_0)[f(u)] &= f(u+u_0) \\
\mathcal{PH}(v_0)[f(u)] &= e^{j2\pi v_0u}f(u)
\end{align}</math>따라서<math display="block">\begin{align}
\mathcal{F}_\alpha \mathcal{SH}(u_0) &= e^{j\pi u_0^2 \sin\alpha \cos\alpha} \mathcal{PH}(u_0\sin\alpha) \mathcal{SH}(u_0\cos\alpha) \mathcal{F}_\alpha,
\end{align}</math>즉,<math display="block">\begin{align}
\mathcal{F}_\alpha [f(u+u_0)] &=e^{j\pi u_0^2 \sin\alpha \cos\alpha} e^{j2\pi uu_0 \sin\alpha} f_\alpha (u+u_0 \cos\alpha)
\end{align}</math>

==== 스케일링된 함수의 변환 ====
스케일링 연산자 및 '''처프 곱''' 연산자를 다음과 같이 정의한다.<math display="block">\begin{align}
M(M)[f(u)] &= |M|^{-\frac{1}{2}} f \left (\tfrac{u}{M} \right) \\
Q(q)[f(u)] &= e^{-j\pi qu^2 } f(u)
\end{align}</math>즉,<math display="block">\begin{align}
\mathcal{F}_\alpha M(M) &= Q \left (-\cot \left (\frac{1-\cos^2 \alpha'}{\cos^2 \alpha}\alpha \right ) \right)\times M \left (\frac{\sin \alpha}{M\sin \alpha'} \right )\mathcal{F}_{\alpha'} \\ [6pt]
\mathcal{F}_\alpha \left [|M|^{-\frac{1}{2}} f \left (\tfrac{u}{M} \right) \right ] &= \sqrt{\frac{1-j \cot\alpha}{1-jM^2 \cot\alpha}} e^{j\pi u^2\cot \left (\frac{1-\cos^2 \alpha'}{\cos^2 \alpha}\alpha \right )} \times f_a \left (\frac{Mu \sin\alpha'}{\sin\alpha} \right )
\end{align}</math>


한편 <math>f(u/M)</math> 의 분수 푸리에 변환은  <math>f_\alpha (u)</math> 의 스케일된 버전으로 표현할 수 없다는 점에 주의한다. 오히려,  <math>f(u/M)</math>의 분수 푸리에 변환은 <math>f_{\alpha'}(u)</math>의 스케일링 되고 처프 변조 버전으로 밝혀졌는데, 여기서 <math>\alpha\neq\alpha'</math> 는 다른 차수이다.

=== 분수 커널 ===
FRFT는 [[적분 변환]]의 일종이다.<math display="block">\mathcal{F}_\alpha f (u) = \int K_\alpha (u, x) f(x)\, \mathrm{d}x</math>여기서 α -각 커널은<math display="block">K_\alpha (u, x) = \begin{cases}\sqrt{1-i\cot(\alpha)} \exp \left(i \pi (\cot(\alpha)(x^2+ u^2) -2 \csc(\alpha) u x) \right) & \mbox{if } \alpha \mbox{ is not a multiple of }\pi, \\
\delta (u - x) & \mbox{if } \alpha \mbox{ is a multiple of } 2\pi, \\
\delta (u + x) & \mbox{if } \alpha+\pi \mbox{ is a multiple of } 2\pi, \\
\end{cases}</math>여기서 다시  {{수학 변수|α}}가  {{수학 변수|π}} 의 배수에 접근하는 특수한 경우에는 극한 거동과 일치한다.

FRFT는 커널과 동일한 속성을 가진다:

* 대칭: <math>K_\alpha~(u, u')=K_\alpha ~(u', u)</math>
* 역: <math>K_\alpha^{-1} (u, u') = K_\alpha^* (u, u') = K_{-\alpha} (u', u) </math>
* 가산성: <math>K_{\alpha+\beta} (u,u') = \int K_\alpha (u, u'') K_\beta (u'', u')\,\mathrm{d}u''.</math>

=== 관련 변환 ===
또한 [[이산 푸리에 변환]]과 같은 유사한 변환에 관련된 분수 일반화가 존재한다.

* '''이산 분수 푸리에 변환'''은 [[제에프 잘레브스키]](Zeev Zalevsky)에 의해 정의된다. {{Sfn|Candan|Kutay|Ozaktas|2000}} {{Sfn|Ozaktas|Zalevsky|Kutay|2001}} 하위 다항 시간에서 이산 분수 푸리에 변환의 버전을 구현하는 양자 알고리즘은 소마(Somma)에 의해 설명된다.<ref>{{저널 인용|제목=Quantum simulations of one dimensional quantum systems|저널=Quantum Information and Computation|성=Somma|이름=Rolando D.|날짜=2016|권=16|쪽=1125–1168|arxiv=1503.06319v2}}</ref>
* 분수 웨이블릿 변환 (FRWT)은 분수 푸리에 변환 영역에서 고전적인 [[웨이블릿 변환|웨이블릿 변환을]] 일반화한 것이다.<ref>{{저널 인용|제목=A novel fractional wavelet transform and its applications|저널=Sci. China Inf. Sci.|성=Shi|이름=Jun|성2=Zhang|이름2=NaiTong|날짜=June 2012|권=55|쪽=1270–1279|doi=10.1007/s11432-011-4320-x|성3=Liu|이름3=Xiaoping}}</ref>
* [[웨이블릿 변환]]의 관련된 일반화를 위한 chirplet 변환.

=== 일반화 ===
푸리에 변환은 [[중첩 원리]] 및 관련 간섭 패턴과 일관성이 있으므로 기본적으로 [[보손|보손 적]] 변환이다. [[페르미온]] 푸리에 변환도 있다.<ref name="xyz">{{저널 인용|제목=Fourier transform and related integral transforms in superspace|저널=Journal of Mathematical Analysis and Applications|성=De Bie|이름=Hendrik|날짜=1 September 2008|권=345|호=1|쪽=147–164|arxiv=0805.1918|bibcode=2008JMAA..345..147D|doi=10.1016/j.jmaa.2008.03.047}}</ref> 이들은 [[초대칭]] FRFT 및 초대칭 [[라돈 변환]]으로 일반화되었다.<ref name="xyz" /> 또한 분수 라돈 변환, symplectic FRFT 및 symplectic [[웨이블릿 변환]]도 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Optical transformation from chirplet to fractional Fourier transformation kernel|저널=Journal of Modern Optics|날짜=2009|권=56|호=11|쪽=1227–1229|arxiv=0902.1800|bibcode=2009JMOp...56.1227F|doi=10.1080/09500340903033690}}</ref> [[양자 회로]]는 [[유니터리 작용소|단위 연산]]을 기반으로 하기 때문에, 양자 회로는 [[적분 변환|적분 변환을]] 계산하는 데 유용하며 이는 적분변환이 [[함수 공간]]의 단위 연산자이기 때문이다. FRFT를 구현하는 [[양자 회로]]도 설계되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Engineering Functional Quantum Algorithms|저널=Physical Review A|성=Klappenecker|이름=Andreas|성2=Roetteler|이름2=Martin|날짜=January 2002|권=67|호=1|쪽=010302|arxiv=quant-ph/0208130|doi=10.1103/PhysRevA.67.010302}}</ref>

== 해석 ==
[[파일:Rect_turning_into_a_sinc.webm|섬네일|A rect function turns into a sinc function as the order of the fractional Fourier transform becomes 1]]
'''푸리에 변환'''의 일반적인 해석은 시간 영역 신호를 [[주파수 영역]] 신호로 변환하는 것이다. 반면 '''역 푸리에 변환'''의 해석은 주파수 도메인 신호를 시간 도메인 신호로 변환하는 것이다. 분수 푸리에 변환은 신호(시간 영역 또는 주파수 영역)를 시간과 주파수 사이의 영역으로 변환한다. 이는 시간-주파수 영역 에서 회전이다. 이 관점은 분수 푸리에 변환을 일반화하고 회전 이외의 시간-주파수 영역의 선형 변환을 허용하는 선형 정준 변환에 의해 일반화된다.

아래 그림을 예로 들어 보면, 시간 영역의 신호가 직사각형이면(아래와 같이) 주파수 영역에서 [[싱크함수|싱크 함수]]가 된다. 그러나 분수 푸리에 변환을 직사각형 신호에 적용하면 변환 출력은 시간과 주파수 사이의 영역에 있게 된다.
[[파일:FracFT_Rec_by_stevencys.jpg|가운데|섬네일|600x600픽셀| 분수 푸리에 변환]]
분수 푸리에 변환은 시간-주파수 분포에 대한 회전 연산에 해당하여, 위의 정의에서 ''α'' =0 이면 분수 푸리에 변환을 적용한 후 변화가 없지만, 반면에 ''α'' = ''π'' /2인 경우에 '''분수''' 푸리에 변환은 다음과 같이 시간-주파수 분포를 ''π'' /2 회전시키는 '''일반적인''' 푸리에 변환이 된다. 다른 값 ''α''의 경우, 분수 푸리에 변환은 α에 따라 시간-주파수 분포를 회전시킨다.

아래의 그림은 서로 다른 ''α'' 값을 사용한 분수 푸리에 변환의 결과를 보여준다.
[[파일:FracFT_Rotate_by_stevencys.jpg|가운데|섬네일|600x600픽셀| 분수 푸리에 변환의 시간/주파수 분포]]

== 적용 ==
분수 푸리에 변환은 시간 주파수 분석 및 [[디지털 신호 처리|DSP]]에 사용할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Fractional Fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent developments|저널=Signal Processing|성=Sejdić|이름=Ervin|성2=Djurović|이름2=Igor|날짜=June 2011|권=91|쪽=1351–1369|doi=10.1016/j.sigpro.2010.10.008|성3=Stanković|이름3=LJubiša}}</ref> 노이즈 필터링에 유용하지만 시간-주파수 영역에서 원하는 신호와 겹치지 않는 조건이 있다. 다음의 사례를 보면, 노이즈를 제거하기 위해 필터를 직접 적용할 수는 없지만 분수 푸리에 변환의 도움으로 신호(원하는 신호 및 노이즈 포함)를 먼저 회전시킬 수 있다. 그런 다음 원하는 신호만 통과하도록 하는 특정 필터를 적용하면 노이즈가 완전히 제거된다. 그런 다음 분수 푸리에 변환을 다시 사용하여 신호를 다시 회전하면 원하는 신호를 얻을 수 있다.
[[파일:FracFT_App_by_stevencys.jpg|가운데|섬네일|600x600픽셀| DSP의 분수 푸리에 변환]]
따라서 시간 영역에서 절단만 사용하거나 주파수 영역에서 동등하게 [[로우패스 필터|저역 통과 필터를]] 사용하면 시간-주파수 공간에서 볼록 [[볼록 집합|집합을]] 잘라낼 수 있다. 대조적으로 분수 푸리에 변환 없이 시간 영역 또는 주파수 영역 도구를 사용하면 축에 평행한 사각형만 잘라낼 수 있다.

분수 푸리에 변환은 [[양자 물리학]]에도 적용되어, 예를 들어, 단일 광자를 사용한 고차원 [[양자 키 분배]] 방식에서<ref>{{저널 인용|제목=Schemes for quantum key distribution with higher-order alphabets using single-photon fractional Fourier optics|저널=Physical Review A|성=Walborn|이름=SP|성2=Lemelle|이름2=DS|날짜=13 June 2008|권=77|호=6|쪽=062323|doi=10.1103/PhysRevA.77.062323|성3=Tasca|이름3=DS|성4=Souto Ribeiro|이름4=PH}}</ref> 엔트로피 불확실성 관계를 공식화하기 위하여 사용되거나,<ref>{{저널 인용|제목=Entropic uncertainty relations in multidimensional position and momentum spaces|저널=Physical Review A|성=Huang|이름=Yichen|날짜=24 May 2011|권=83|호=5|쪽=052124|arxiv=1101.2944|bibcode=2011PhRvA..83e2124H|doi=10.1103/PhysRevA.83.052124}}</ref> 광자 쌍의 [[공간적 얽힘]]을 관찰할 때에 사용된다.<ref>{{저널 인용|제목=Detection of transverse entanglement in phase space|저널=Physical Review A|성=Tasca|이름=DS|성2=Walborn|이름2=SP|날짜=8 July 2008|권=78|호=1|쪽=010304(R)|arxiv=0806.3044|doi=10.1103/PhysRevA.78.010304|성3=Souto Ribeiro|이름3=PH|성4=Toscano|이름4=F}}</ref> 분수 푸리에 변환은 광학 시스템 설계, 홀로그램 스토리지 효율성 최적화에도 유용하다.<ref>{{저널 인용|제목=Optimizing holographic data storage using a fractional Fourier transform|저널=Optics Letters|성=Pégard|이름=Nicolas C.|성2=Fleischer|이름2=Jason W.|url=http://www.opticsinfobase.org/abstract.cfm?URI=ol-36-13-2551|날짜=2011|권=36|호=13|쪽=2551–2553|bibcode=2011OptL...36.2551P|doi=10.1364/OL.36.002551|pmid=21725476}}</ref>

== 같이 보기 ==

* 최소제곱 스펙트럼 분석
* [[분수계 미적분학|분수 미적분학]]
* 멜러 커널

기타 시간-주파수 변환:

* 선형 정식 변환
* 단시간 푸리에 변환
* [[웨이블릿 변환]]
* 처플릿 변환
* 원뿔형 분포 함수
* 2차 푸리에 변환

== 각주 ==
{{각주}}

== 서지 ==

* {{저널 인용|제목=The discrete fractional Fourier transform|저널=IEEE Transactions on Signal Processing|성=Candan|이름=C.|성2=Kutay|이름2=M. A.|url=http://repository.bilkent.edu.tr/bitstream/11693/11130/1/10.1109-78.839980.pdf|날짜=May 2000|권=48|호=5|쪽=1329–1337|bibcode=2000ITSP...48.1329C|doi=10.1109/78.839980|성3=Ozaktas|이름3=H. M.}}
* {{서적 인용|제목=Time frequency analysis and wavelet transform|성=Ding|이름=Jian-Jiun|날짜=2007|출판사=Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU)|위치=Taipei, Taiwan|종류=Class notes}}
* {{저널 인용|제목=Image rotation, Wigner rotation and the fractional Fourier transform|저널=J. Opt. Soc. Am.|성=Lohmann|이름=A. W.|날짜=1993|권=A|쪽=2181–2186|bibcode=1993JOSAA..10.2181L|doi=10.1364/JOSAA.10.002181}}
* {{서적 인용|url=http://www.ee.bilkent.edu.tr/~haldun/wileybook.html <!-- support page-->|제목=The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing|성=Ozaktas|이름=Haldun M.|저자링크=Haldun Ozaktas|성2=Zalevsky|이름2=Zeev|날짜=2001|총서=Series in Pure and Applied Optics|출판사=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-96346-2|성3=Kutay|이름3=M. Alper}}
* {{저널 인용|제목=Relations between fractional operations and time–frequency distributions, and their applications|저널=IEEE Trans. Signal Process.|성=Pei|이름=Soo-Chang|성2=Ding|이름2=Jian-Jiun|날짜=2001|권=49|쪽=1638–1655|bibcode=2001ITSP...49.1638P|doi=10.1109/78.934134}}
* {{저널 인용|제목=Fractional Fourier transform: A novel tool for signal processing|저널=J. Indian Inst. Sci.|성=Saxena|이름=Rajiv|성2=Singh|이름2=Kulbir|url=http://journal.library.iisc.ernet.in/vol200501/paper2/11.pdf|날짜=January–February 2005|권=85|쪽=11–26|보존url=https://web.archive.org/web/20110716112239/http://journal.library.iisc.ernet.in/vol200501/paper2/11.pdf|보존날짜=16 July 2011}}

== 외부 링크 ==
* [http://tfd.sourceforge.net/ DiscreteTFDs -- 분수 푸리에 변환 및 시간-주파수 분포를 계산하기 위한 소프트웨어]
* Enrique Zeleny의 " [http://demonstrations.wolfram.com/FractionalFourierTransform/ Fractional Fourier Transform] ", The Wolfram Demonstrations Project .
* [https://web.archive.org/web/20090215081459/http://mechatronics.ece.usu.edu/foc/FRFT/ YangQuan Chen 박사의 FRFT(Fractional Fourier Transform) 웹페이지]
* [http://ltfat.sourceforge.net/ LTFAT - 무료(GPL) Matlab/Octave 도구 상자] 여러 버전의 [http://ltfat.sourceforge.net/doc/fourier/ffracft.php 분수 푸리에 변환이] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20160304115744/http://ltfat.sourceforge.net/doc/fourier/ffracft.php}} 포함되어 있다.

[[분류:적분 변환]]
[[분류:시간-주파수 분석]]
[[분류:푸리에 해석학]]