분수 아이디얼 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]과 [[대수적 수론]]에서 '''분수 아이디얼'''(分數ideal, {{llang|en|fractional ideal}})은 분모가 허용되는, [[아이디얼]]의 일반화이다. [[아이디얼 유군]]을 정의할 때 사용된다.

== 정의 ==
=== 분수 아이디얼 ===
[[가환환]] <math>R</math>가 주어졌다고 하고, 그 [[전분수환]]을 <math>\operatorname{Frac}(R)</math>라고 하자. <math>R</math>의 '''분수 아이디얼''' <math>\mathfrak I\subseteq\operatorname{Frac}R</math>는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.
* <math>\mathfrak I</math>는 <math>R</math>에 대한 [[가군]]을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
** <math>I</math>는 덧셈에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 <math>a,b\in\mathfrak I</math>에 대하여, <math>a+b\in\mathfrak I</math>이다.
** 임의의 <math>r\in R</math> 및 <math>a\in\mathfrak I</math>에 대하여, <math>ra\in\mathfrak I</math>이다.
* <math>r\mathfrak I\subseteq R</math>인 <math>r\in R</math>가 존재한다.

두 분수 아이디얼 <math>\mathfrak I,\mathfrak J</math>의 '''곱'''은 다음과 같다.
:<math>\mathfrak I\mathfrak J=\left\{a_1b_1+\cdots+a_nb_n\colon a_1,\dots,a_n\in\mathfrak I,\;b_1,b_2,\dots,b_n\in\mathfrak J,\;n\in\mathbb N\right\}</math>
이는 [[결합 법칙]]과 [[교환 법칙]]을 만족시키며, <math>R</math>는 곱셈에 대한 항등원을 이룬다 (<math>\mathfrak IR=R\mathfrak I=\mathfrak I</math>). 따라서, [[정역]] <math>R</math>의 분수 아이디얼들의 집합 <math>\operatorname{FracIdeal}(R)</math>은 곱셈에 대하여 [[가환 모노이드]]를 이룬다.

분수 아이디얼들의 [[가환 모노이드]]의 [[가역원]]을 '''가역 분수 아이디얼'''({{llang|en|invertible fractional ideal}})이라고 하며, 가역 분수 아이디얼들은 [[아벨 군]] <math>\operatorname{FracIdeal}(R)^\times\subsetneq\operatorname{FracIdeal}(R)</math>을 이룬다.

두 분수 아이디얼 <math>\mathfrak I,\mathfrak J\subseteq\operatorname{Frac}R</math>의 '''합'''
:<math>\mathfrak I+\mathfrak J=\{a+b\colon a\in\mathfrak I,b\in\mathfrak J\}</math>
역시 분수 아이디얼을 이룬다. (이는 만약 <math>r,s\in R</math>에 대하여 <math>r\mathfrak I,s\mathfrak J\subseteq R</math>라면 <math>rs(\mathfrak I+\mathfrak J)\subseteq R</math>이기 때문이다.) 이는 [[결합 법칙]]과 [[교환 법칙]]을 만족시키며, [[영 아이디얼]] <math>\{0\}</math>은 그 항등원을 이룬다. 또한, 곱셈에 대하여 [[분배 법칙]] 역시 성립하므로, <math>\operatorname{FracIdeal}(R)</math>는 [[반환 (수학)|반환]]을 이룬다.

유한 또는 무한 개의 분수 아이디얼들 <math>(\mathfrak I_i)_{i\in I}</math>의 [[교집합]]
:<math>\bigcap_{i\in I}\mathfrak I</math>
역시 분수 아이디얼을 이룬다. 그러나 (<math>\operatorname{Frac}R</math> 자체는 일반적으로 분수 아이디얼이 아니므로) 이 연산은 일반적으로 항등원을 갖지 않는다.

=== 주 분수 아이디얼 ===
다음과 같은 곱셈 [[모노이드 준동형]]이 존재한다.
:<math>(\operatorname{Frac}R,\times)\to(\operatorname{FracIdeal}(R),\times)</math>
:<math>a\mapsto Ra=\{ra\colon r\in R\}</math>
:<math>(Ra)(Rb)=R(ab)\qquad\forall a,b\in R</math>
그러나 일반적으로 <math>Ra+Rb\ne R(a+b)</math>이므로 이는 [[반환 (수학)|반환]]의 준동형을 이루지 못한다.

<math>R</math>의 '''주 분수 아이디얼'''(主分數ideal, {{llang|en|principal fractional ideal}})의 집합 <math>\operatorname{PrFracIdeal}(R)\subseteq\operatorname{FracIdeal}(R)</math>은 이 [[모노이드 준동형]]의 [[치역]]이다. 즉, 주 분수 아이디얼은 <math>Ra</math>의 꼴로 나타낼 수 있는 분수 아이디얼이다.

이 모노이드 준동형의 [[핵 (수학)|핵]]은 다음과 같다.
:<math>Ra=Rb\iff\exists u\in R^\times\colon a=ub</math>
즉, 다음과 같다.
:<math>\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times\cong\frac{\operatorname{Frac}(R)^\times}{R^\times}</math>

=== 인자 아이디얼 ===
<math>\operatorname{Frac}R</math>의 <math>R</math>-[[부분 가군]] <math>\mathfrak I</math>에 대하여, 다음 기호를 정의하자.
:<math>(R:\mathfrak I)=\{a\in\operatorname{Frac}R\colon a\mathfrak I\subseteq R\}</math>
즉, <math>(R:(R:\mathfrak I))</math>는 <math>\mathfrak I</math>를 [[부분 집합]]으로 포함하는 모든 주 분수 아이디얼들의 교집합이다.

만약 분수 아이디얼 <math>\mathfrak I</math>가
:<math>\mathfrak I=(R:(R:\mathfrak I))</math>
를 만족시킨다면, <math>\mathfrak I</math>를 '''인자 아이디얼'''(因子ideal, {{llang|en|divisorial ideal}})이라고 한다. 그 집합을 <math>\operatorname{DivIdeal}(R)</math>로 표기하자.

<math>\operatorname{DivIdeal}(R)</math> 위에 다음과 같은 곱을 정의할 수 있다.
:<math>\mathfrak I\cdot\mathfrak J=(R:(R:\mathfrak I\mathfrak J))</math>
이 곱에 대하여 <math>\operatorname{DivIdeal}(R)</math>는 [[가환 모노이드]]를 이룬다. 만약 <math>R</math>가 [[뇌터 환|뇌터]] [[정수적으로 닫힌 정역]]의 경우 이는 [[아벨 군]]을 이루며, 이 경우 <math>I</math>의 역원은 <math>(R:I)</math>이다.

<math>a\in(\operatorname{Frac}R)^\times</math>에 대하여 <math>(R:Ra)=Ra^{-1}</math>이므로, 모든 가역 주 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이다. 보다 일반적으로, 모든 가역 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이며, 이 경우 <math>(R:\mathfrak I)=\mathfrak I^{-1}</math>이다.

== 성질 ==
임의의 [[정역]] <math>R</math>에서, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:<math>\begin{matrix}
&\operatorname{FracIdeal}(R)^\times&\subseteq&\operatorname{DivIdeal}(R)&\subsetneq&\operatorname{FracIdeal}(R)\\
&\cup&&&&\cup\\
\operatorname{PrFracIdeal}(R)\cap\operatorname{FracIdeal}(R)^\times=&\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times&&\subsetneq&&\operatorname{PrFracIdeal}(R)
\end{matrix}</math>

=== 크룰 정역 ===
[[크룰 정역]]에서, [[인자 (대수기하학)|인자]]의 이론은 인자 아이디얼을 통해 전개할 수 있다. [[크룰 정역]] <math>R</math>에서 [[아이디얼의 높이|높이]]가 1인 [[소 아이디얼]]들은 인자 아이디얼을 이루며, <math>\operatorname{DivIdeal}(R)</math>를 생성한다.

이 경우, [[몫군]]
:<math>\frac{\operatorname{DivIdeal}(R)}{\operatorname{PrFracIdeal}(R)^\times}=\operatorname{Div}(R)</math>
을 <math>R</math>의 '''[[인자 유군]]'''이라고 하며, 이는 [[아이디얼 유군]]을 부분군으로 갖는다.

=== 데데킨트 정역 ===
[[데데킨트 정역]]의 경우, 0이 아닌 모든 분수 아이디얼이 가역 분수 아이디얼이다. 즉, 다음이 성립한다.
:주 아이디얼 ⊆ 주 분수 아아디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼
구체적으로, [[정역]] <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
*  <math>R</math>는 데데킨트 정역이다.
* <math>R</math>의 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역 분수 아이디얼이다.
이 경우, [[몫군]]
:<math>\frac{\operatorname{FracIdeal}(R)}{\operatorname{PrFracIdeal}(R)}=\operatorname{Cl}(R)</math>
을 <math>R</math>의 '''[[아이디얼 유군]]'''이라고 한다.

두 [[데데킨트 정역]] <math>R\subseteq S</math>이 주어졌으며, <math>S</math>가 <math>R</math>의 ([[분수체]] <math>\operatorname{Frac}S</math> 속의) [[정수적 폐포]]라고 한다면, '''[[아이디얼 노름]]'''이라는 곱셈 [[모노이드 준동형]]
:<math>\operatorname N_{S/R}\colon\operatorname{FracIdeal}S\to\operatorname{FracIdeal}R</math>
을 정의할 수 있으며, 이는 (주 분수 아이디얼에 대하여 적용한다면) [[체 노름]]의 일반화이다.

=== 유일 인수 분해 정역 ===
[[유일 인수 분해 정역]]의 경우, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다. 즉, 유일 인수 분해 정역의 경우 다음이 성립한다.
:주 아이디얼 ⊆  {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 ⊆ 분수 아이디얼
구체적으로, [[정역]] <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>R</math>는 [[유일 인수 분해 정역]]이다.
* <math>R</math>는 [[크룰 정역]]이며, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다.

=== 주 아이디얼 정역과 체 ===
[[주 아이디얼 정역]]은 데데킨트 정역이자 유일 인수 분해 정역이므로, 다음이 성립한다.
:주 아이디얼 = 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼

[[체 (수학)|체]]에서는 아이디얼이 <math>(0)</math>과 <math>(1)</math>밖에 없다. 이 경우, 다음이 성립한다.
:주 아이디얼 = 아이디얼 = {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 = {(0), (1)}

== 예 ==
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math>의 경우, 임의의 유리수 <math>p/q\in\mathbb Q</math>에 대하여
:<math>(p/q)=\frac pq\mathbb Z=\{np/q\colon n\in\mathbb Z\}</math>
는 정수환의 분수 아이디얼이다. 이는 <math>p/q\in\mathbb Q</math>에 의하여 생성되므로, 주 분수 아이디얼이다. 정수환은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 분수 아이디얼이 이러한 꼴이다.

만약 <math>p/q\ne0</math>이라면
:<math>(\mathbb Z:(p/q))=\frac qp\mathbb Z=(q/p)</math>
이며,
:<math>(\mathbb Z:(q/p))=\frac1n\mathbb Z</math>
이다. 따라서 이는 인자 아이디얼을 이룬다. 만약 <math>p/q=0</math>이라면,
:<math>(\mathbb Z:(0))=\mathbb Q</math>
:<math>(\mathbb Z:\mathbb Q)=(0)</math>
이므로, 영 아이디얼 역시 인자 아이디얼이다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Fractional ideal}}
* {{eom|title=Divisorial ideal}}
* {{매스월드|id=FractionalIdeal|title=Fractional ideal}}
* {{nlab|id=fractional ideal|title=Fractional ideal}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/12260/when-does-the-group-of-invertible-ideal-quotients-the-free-abelian-group-on-th|제목=When does the group of invertible ideal quotients = the free abelian group on the prime ideals?|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-04-26|보존url=https://web.archive.org/web/20160426171105/http://mathoverflow.net/questions/12260/when-does-the-group-of-invertible-ideal-quotients-the-free-abelian-group-on-th|보존날짜=2016-04-26|url-status=dead}}

[[분류:아이디얼]]
[[분류:가환대수학]]
[[분류:대수적 수론]]