분수체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''분수체'''(分數體, {{llang|en|field of fractions}})는 [[정역]]에 대하여 정의할 수 있는 [[체 (수학)|체]]이다. 예를 들어, [[정수|정수환]]의 분수체는 [[유리수|유리수체]]다. 일반적인 [[가환환]]의 [[국소화 (환론)|국소화]]의 특수한 경우다.

== 정의 ==
(곱셈 항등원을 갖는) [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여,
:<math>S=R\setminus\left(\{r\in R\colon 0\in rR\}\cup \{r\in R\colon 0\in Rr\}\right)</math>
가 정칙원([[오른쪽 영인자]] 또는 [[왼쪽 영인자]]가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, <math>(R,S)</math>가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, <math>R</math>의 '''전분수환'''(全分數體, {{llang|en|total ring of fractions}}) <math>\operatorname{Frac}(R)</math>는 국소화 <math>S^{-1}R</math>이다. 이 경우, 오레 조건에 의하여 [[단사 함수]]인 [[환 준동형]]
:<math>R\to\operatorname{Frac}R</math>
이 존재하며, <math>R</math>는 그 전분수환의 [[부분환]]을 이룬다.

만약 <math>R</math>가 [[가환환]]일 경우, 오레 조건은 자동적으로 성립한다. [[가환환]]의 [[국소화 (환론)|국소화]]는 [[가환환]]이므로, 가환환의 전분수환은 항상 [[가환환]]이다. 특히, 만약 <math>R</math>가 (가환) [[정역]]일 경우 이는 [[체 (수학)|체]]를 이루며, <math>\operatorname{Frac}R</math>를 <math>R</math>의 '''분수체'''라고 한다.

=== 구성 ===
<math>R</math>가 [[정역]]일 경우, 분수체는 일반적인 [[국소화 (환론)|국소화]]보다 간단하게 구성할 수 있다.

순서쌍 <math>(a,b)</math> (<math>a,b\in R</math>, <math>b\ne0</math>)들에 대하여 다음과 같은 [[동치 관계]]를 정의하자.
:<math>(a,b)\sim(ar,br)\forall r\in R\setminus\{0\}</math>
이러한 순서쌍의 [[동치류]]를 <math>a/b</math>라고 쓰자.

이러한 순서쌍들의 동치류들의 집합에, 다음과 같이 [[체 (수학)|체]]의 구조를 줄 수 있다.
:<math>\frac ab\frac cd=\frac{ac}{bd}</math>
:<math>\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}</math>
이는 분수체 <math>\operatorname{Frac}R</math>이며, 표준적인 [[단사 함수|단사]] [[환 준동형]]
:<math>R\to\operatorname{Frac}R</math>
:<math>r\mapsto\frac r1</math>
이 존재한다.

== 성질 ==
환 <math>R</math>의 전분수환이 특별한 성질을 가질 [[충분조건]]은 다음과 같다.
{| class=wikitable
|-
! 충분조건 !! 전분수환의 성질 !! 비고
|-
| [[오른쪽 뇌터 환|오른쪽 뇌터]] [[반소환]]
| rowspan=2 | [[반단순환]] (즉,  [[아르틴-웨더번 정리]]에 따라 유한 개의 [[나눗셈환]]들에 대한 [[행렬환]]들의 [[직접곱]]과 동형)
| rowspan=2 | 골디 정리<ref name="CM"/>
|-
| [[왼쪽 뇌터 환|왼쪽 뇌터]] [[반소환]]
|-
| [[오른쪽 뇌터 환|오른쪽 뇌터]] [[소환 (환론)|소환]]
|rowspan=2| [[나눗셈환]] 위의 [[행렬환]]과 동형
|rowspan=2 | 골디 정리<ref name="CM"/>{{rp|Theorem 7.1}}
|-
| [[왼쪽 뇌터 환|왼쪽 뇌터]] [[소환 (환론)|소환]]
|-
|  [[가환환|가환]] [[뇌터 환|뇌터]] [[축소환]] || 가환 [[반단순환]] (즉, 유한 개의 [[체 (수학)|체]]들의 [[직접곱]]과 동형) ||<ref>{{서적 인용|이름=Hideyuki|성=Matsumura|기타=Miles Reid 역|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=8|제목=Commutative ring theory|출판사=Cambridge University Press|날짜=1989-06|isbn=978-0-521-36764-6|doi=10.1017/CBO9781139171762|mr=1011461|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|42, Exercise 6.5}}
|-
| 오른쪽 오레 조건을 만족시키는 [[영역 (환론)|영역]]
| rowspan=2 | [[나눗셈환]]
|-
| 왼쪽 오레 조건을 만족시키는 [[영역 (환론)|영역]]
|-
| [[정역]] || [[체 (수학)|체]]
|}

'''골디 정리'''({{llang|en|Goldie’s theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* [[오른쪽 뇌터 환|오른쪽 뇌터]] [[반소환]] <math>R</math>는 오른쪽 오레 조건을 만족시키며, <math>\operatorname{Frac}(R)</math>는 [[반단순환]]이다.<ref name="CM">{{저널 인용|제목=The quest for quotient rings (of noncommutative Noetherian rings) |이름=S. C.|성=Coutinho|이름2=J. C.|성2=McConnell|저널=The American Mathematican Monthly|jstor=3647879|doi=10.2307/3647879|권=110|호=4|날짜=2003-04|쪽=298–313|언어=en}}</ref>
** 특히, 만약 <math>R</math>가 [[오른쪽 뇌터 환|오른쪽 뇌터]] [[소환 (환론)|소환]]이라면 <math>\operatorname{Frac}(R)</math>는 [[나눗셈환]] 위의 [[행렬환]]과 동형이다.
* [[왼쪽 뇌터 환|오른쪽 뇌터]] [[반소환]]은 왼쪽 오레 조건을 만족시키며, <math>\operatorname{Frac}(R)</math>는 [[반단순환]]이다.
** 특히, 만약 <math>R</math>가 [[왼쪽 뇌터 환|왼쪽 뇌터]] [[소환 (환론)|소환]]이라면 <math>\operatorname{Frac}(R)</math>는 [[나눗셈환]] 위의 [[행렬환]]과 동형이다.

골디 정리에서, 만약 <math>R</math>가 가환환이라고 한다면, [[반소환]] 조건은 [[축소환]] 조건과 같아진다. [[가환환]]의 [[국소화 (환론)|국소화]]는 [[가환환]]이므로, 만약 <math>R</math>가 [[가환환|가환]] [[뇌터 환|뇌터]] [[축소환]]인 경우, <math>\operatorname{Frac}R</math>는 유한 개의 [[체 (수학)|체]]들의 [[직접곱]]이다. 구체적으로, <math>R</math>의 [[소 아이디얼]] 가운데, 포함 관계에 따라 [[극소 원소]]인 것을 <math>\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_n</math>이라고 하자. (그 수는 항상 유한함을 보일 수 있다.) 그렇다면
:<math>\operatorname{Frac}(R)\cong\prod_{i=1}^n\operatorname{Frac}(R/\mathfrak p_i)</math>
이다. 우변에서 <math>R/\mathfrak p_i</math>는 모두 [[정역]]이므로, 우변은 유한 개의 [[체 (수학)|체]]들의 [[직접곱]]이다.

만약 <math>R</math>가 왼쪽 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시키는 [[영역 (환론)|영역]]이라면, <math>\operatorname{Frac}(R)</math>는 항상 [[나눗셈환]]이며, <math>R</math>는 그 [[부분환]]을 이룬다. (오레 조건 없이는 이는 일반적으로 성립하지 않는다.) 만약 <math>R</math>가 [[정역]]이라면 물론 <math>\operatorname{Frac}(R)</math>는 [[체 (수학)|체]]이다.

== 예 ==
[[수체]] <math>K</math>의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_K</math>의 분수체는 <math>K</math>이다.
:<math>\operatorname{Frac}\mathcal O_K=K</math>
특히, (유리수의) [[정수환]] <math>\mathbb Z=\mathcal O_{\mathbb Q}</math>의 분수체는 [[유리수체]]이다.
:<math>\operatorname{Frac}\mathbb Z=\mathbb Q</math>
체의 분수체는 스스로이다. 즉, 임의의 체 <math>K</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Frac}K=K</math>
[[다항식환]]의 분수체는 [[유리 함수체]]이다. 즉, 임의의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Frac}K[x_1,x_2,\dots,x_n]=K(x_1,x_2,\dots,x_n)</math>

== 응용 ==
[[대수기하학]]에서, 분수체의 개념은 [[스킴 (수학)|스킴]]의 [[유리 함수층]]의 개념으로 일반화된다. 만약 스킴이 아핀 [[정역 스킴]]인 경우 이는 단순히 각 [[열린집합]]에서 단면 가환환의 분수체를 취하는 것이다. 스킴이 [[정역 스킴]]이 아닌 경우, 일반적으로는 단순히 전분수환을 취하는 것보다 더 복잡한 구성을 취해야 한다.

== 역사 ==
1927년에 하인리히 그렐({{llang|de|Heinrich Grell}}, 1903~1974)이 [[정역]]의 분수체를 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=H.|성=Grell|제목=Beziehungen zwischen Idealen verschiedener Ringen|url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1927_97/page/n496|저널=Mathematische Annalen|권=97|날짜=1927|쪽=490–523|doi=10.1007/BF01447879|issn=0025-5831|언어=de}}</ref><ref name="CM"/>{{rp|299}}<ref name="Eisenbud">{{서적 인용|이름=David|성=Eisenbud|저자링크=데이비드 아이젠버드|제목=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=150|출판사=Springer-Verlag|날짜= 1995|isbn=978-0-387-94269-8|mr=1322960|doi=10.1007/978-1-4612-5350-1|issn=0072-5285 |언어=en}}</ref>{{rp|57}}

[[에미 뇌터]]는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>{{rp|300}} 오레 조건을 만족시키는 [[영역 (환론)|영역]]의 전분수환은 [[외위스테인 오레]](1899~1968)가 1937년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Linear equations in non-commutative fields|이름=Oystein|성=Ore|저자링크=외위스테인 오레|jstor=1968245|doi=10.2307/1968245|저널=Annals of Mathematics|권=32|호=3|날짜=1937-07|쪽=463–477|언어=en}}</ref>{{rp|466}}<ref name="CM">{{저널 인용|제목=The quest for quotient rings (of noncommutative Noetherian rings) |이름=S. C.|성=Coutinho|이름2=J. C.|성2=McConnell|저널=The American Mathematican Monthly|jstor=3647879|doi=10.2307/3647879|권=110|호=4|날짜=2003-04|쪽=298–313|언어=en}}</ref>{{rp|299}} ([[람짓윈]]은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 [[어구전철]]이 된다는 사실을 지적하였다.<ref name="Lam"/>{{rp|300}})

골디 정리는 앨프리드 윌리엄 골디({{llang|en|Alfred William Goldie}}, 1920~2005)가 도입하였다.<ref>{{저널 인용| last=Goldie | first = A.W. | title=The structure of prime rings under ascending chain conditions | journal=Proceedings of the London Mathematical Society | volume=8 | year=1958 | pages=589–608 | doi=10.1112/plms/s3-8.4.589 | issue=4 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용| last=Goldie | first = A.W. | title=Semi-prime rings with maximal conditions | journal=Proceedings of the London Mathematical Society | volume=10 | year=1960 | pages=201–220 | doi=10.1112/plms/s3-10.1.201|언어=en }}</ref><ref name="CM"/>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Rings of fractions|이름=P. M.|성=Cohn|저널=The American Mathematical Monthly|권=78|호=6|쪽=596–615|jstor=2316568|doi=10.2307/2316568|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/cohnmont.pdf|날짜=1971-06|언어=en|확인날짜=2016-03-07|보존url=https://web.archive.org/web/20160307105128/http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/cohnmont.pdf|보존날짜=2016-03-07|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Field of fractions}}
* {{eom|title=Fractions, ring of}}
* {{매스월드|id=FieldofFractions|title=Field of fractions}}
* {{매스월드|id=RingofFractions|title=Ring of fractions}}
* {{매스월드|id=TotalRingofFractions|title=Total ring of fractions}}
* {{nlab|id=field of fractions|title=Field of fractions}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:체론]]