분쇄곱 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''분쇄곱'''(粉碎-, {{llang|en|smash product}})은 두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 곱을 취하는 방법의 하나다. [[점을 가진 공간]]의 범주의 [[텐서곱]]을 이룬다.

== 정의 ==
위상 공간으로 이뤄진 범주 <math>\mathcal C_\bullet</math> 속의 두 대상 <math>(X,x_0)</math>, <math>(Y,y_0)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 둘의 '''분쇄곱''' <math>X\wedge Y</math>는 다음과 같다.
:<math>X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y)</math>
여기서 <math>X\times Y</math>는 <math>\mathcal C_\bullet</math>에서의 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]이다. <math>X\vee Y</math>는 [[쐐기합]]으로, <math>X \vee Y \cong X\times\{y_0\}\cup\{x_0\}\times Y\subset X\times Y</math>와 같은 포함 관계를 가진다.

분쇄곱의 구체적 정의는 사용하는 범주 <math>\mathcal C_\bullet</math>에 따라 달라진다. 만약 모든 [[점을 가진 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}_\bullet</math>을 사용한다면, 분쇄곱은 [[결합 법칙]]을 따르지 않게 된다. 대신 [[콤팩트 생성 공간]]의 범주나 [[점렬 공간]]의 범주는 [[데카르트 닫힌 범주]]를 이루며, 이러한 범주(의 점을 가진 범주)를 사용하게 되면 결합 법칙을 따르게 된다. 다만, 이러한 범주에서는 [[곱집합]] 위의 위상이 [[곱공간]] 위상과 일반적으로 다르다.

== 성질 ==
[[점을 가진 공간]]의 범주에서의 분쇄곱은 [[교환 법칙]]을 따르고, 대부분의 위상 공간에 대하여 [[결합 법칙]]을 따른다. 다만, 특수한 경우에는 결합 법칙이 깨질 수 있다.

[[점을 가진 공간]]의 적절한 [[데카르트 닫힌 범주]] ([[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[콤팩트 생성 공간]] 등) <math>\mathcal C</math>에서, [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]은 [[텐서곱]]을 이룬다. (이는 항상 [[곱집합]] 위의 위상 공간이지만, 범주에 따라서 [[곱공간]]과 다를 수 있다.) 즉, 위상 공간 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여 다음과 같은 [[수반 함자]]가 존재한다.
:<math>(-\times X)\dashv\hom(X,-)</math>

이 범주 <math>\mathcal C</math>에 대하여 [[점을 가진 공간]]의 범주 <math>\mathcal C_\bullet</math>을 취하자. 이 점을 가진 범주에서의 [[텐서곱]]은 분쇄곱이다. 즉, 점을 가진 공간 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여 다음과 같은 [[수반 함자]]가 존재한다.
:<math>(-\wedge X)\dashv\hom(X,-)</math>
구체적으로, 다음과 같은 함수 공간의 [[위상 동형]]이 존재한다.
:<math>\hom(A\wedge X,B)\cong\hom(A,\hom(X,B))</math>
따라서, 분쇄곱을 통해 <math>\mathcal C_\bullet</math>은 [[닫힌 모노이드 범주]]를 이룬다.

또한, 분쇄곱은 [[쐐기합]]에 대하여 (적절한 조건 아래) 다음과 같은 [[분배 법칙]]을 따른다.
:<math>(X\vee Y)\wedge Z\cong (X\wedge Z)\wedge(Y\wedge Z)</math>
구체적으로, 모든 위상 공간의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>에서 위 분배 법칙이 성립할 [[충분조건]]은 <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>의 밑점이 각각 모두 [[닫힌집합|닫힌]] [[한원소 집합]]인 것이다.<ref>{{서적 인용|제목=General Topology and Homotopy Theory|이름=Ioan Mackenzie|성=James|doi=10.1007/978-1-4613-8283-6|날짜=1984|출판사=Springer|언어=en}}</ref>{{rp|68–69, Proposition (3.2)}} 특히, 모든 공간이 [[T1 공간]]이라면 모든 점이 닫혀 있으며, 따라서 분배 법칙이 성립한다.

== 예 ==
[[파일:Visualization of the smash product of two circles.gif|섬네일|<math>S^1 \wedge S^1 = (S^1 \times S^1) / (S^1 \vee S^1) \cong S^2</math>]]

[[초구]]들의 분쇄곱은 또다른 [[초구]]다. 즉,
:<math>S^m\wedge S^n=S^{m+n}</math>
이다. 또한, 0차원 초구 <math>S^0=\{\bullet\}\sqcup\{\bullet\}</math>는 분쇄곱의 [[항등원]]이다.
:<math>X\wedge S^0=X</math>

=== 결합 법칙의 실패 ===
[[자연수]] 집합 <math>\mathbb N</math>과 [[유리수]] 집합 <math>\mathbb Q</math>에 표준적인 위상(즉, [[실직선]]의 부분 공간 위상)을 부여하자. 또, 각 집합에 0을 밑점으로 삼자. 그렇다면 <math>\mathbb N\wedge(\mathbb Q\wedge\mathbb Q)</math>와 <math>(\mathbb N\wedge\mathbb Q)\wedge\mathbb Q</math>는 서로 [[위상 동형]]이 아니다.<ref>{{저널 인용|성=Puppe|이름=Dieter|저자링크=디터 푸페|제목=Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen I|저널=Mathematische Zeitschrift|권=69|호=1|날짜=1958|doi=10.1007/BF01187411|쪽=299–344|issn=0025-5874|언어=de}}</ref>{{rp|336}}<ref>{{서적 인용|url=http://www.math.uchicago.edu/~may/EXTHEORY/MaySig.pdf|제목=Parametrized Homotopy Theory|이름=J. P.|성=May|이름2=J.|성2=Sigurdsson|언어=en|확인날짜=2016-01-02|보존url=https://web.archive.org/web/20160304031205/http://www.math.uchicago.edu/~may/EXTHEORY/MaySig.pdf|보존날짜=2016-03-04|url-status=dead}}</ref>{{rp|§1.7}} 이 경우, 표준적인 [[전단사]] [[연속 함수]]
:<math>\mathbb N\wedge(\mathbb Q\wedge\mathbb Q)\to(\mathbb N\wedge\mathbb Q)\wedge\mathbb Q</math>
가 존재하지만, 그 [[역함수]]는 [[연속 함수]]가 아니다. 즉, <math>\mathbb N\wedge(\mathbb Q\wedge\mathbb Q)</math>가 더 섬세한 위상을 가진다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=smash product|title=Smash product}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/196084/counterexample-for-associativity-of-smash-product|제목=Counterexample for associativity of smash product|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-01-02|보존url=https://web.archive.org/web/20150911094728/http://mathoverflow.net/questions/196084/counterexample-for-associativity-of-smash-product|보존날짜=2015-09-11|url-status=dead}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:호모토피 이론]]