분모의 유리화 문서 원본 보기

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'''유리화'''(Rationalization)는 [[무리수]]가 있는 [[분수 (수학)|분수]]에서, 분모 부분을 [[유리수]]로 바꾸는 과정을 지칭한다. 단, 분모가 <math>\pi</math>, <math>e</math>, 또는 [[근호|제곱근 기호]]가 없이 그냥 [[무리수]]인 수는(예를 들어, <math>0.01001000100001000001\cdots</math>.)유리화가 불가하다.

== 단항식 근호의 유리화 ==
중등 교과에 나오는 기법으로서, 분모에 단항식의 근호가 있을 경우 동일한 값을 분모와 분자에 모두 곱한다. 이러한 과정을 통하여도 분수 자체의 값에는 변화가 없다. 예를 들어 다음과 같은 분수가 있다고 하자.
:<math>\frac{10}{\sqrt{5}}</math>
이 경우 분모와 분자에 모두 <math>\sqrt{5}</math>를 곱한다. 그리하여,
: <math>\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{{10\sqrt{5}}}{\sqrt{5}^2}</math>
위와 같이 계산된다. 제곱근을 제곱했으므로 근호가 사라지고 다음과 같이 간단하게 값이 바뀐다.
:<math>\frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}</math>

이 방법보다 더 쉬운 방법은 <math>10=2\sqrt{5}\times\sqrt{5}</math>이므로 <math>\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}\times\cancel{\sqrt{5}}}{\cancel{\sqrt{5}}}=2\sqrt{5}</math>.

또, <math>a<0, b<0</math>인 경우를 제외하고는 모두 <math>\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}</math>이고, <math>a>0, b<0</math>인 경우를 제외하면 모두 <math>\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}</math>이므로, 다음과 같다.

<math>\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{5}}</math>. <math>a, b</math> 모두 [[양수 (수학)|양수]]이므로, <math>\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{100}{5}}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\sqrt{5}=2\sqrt{5}</math>.

== 다항식 근호의 유리화 ==
=== 두 개의 항이 있는 경우 ===
인수분해 공식 <math>(a + b)(a - b) = a^2 - b^2</math>를 이용하면 두 개의 제곱근을 포함한 분모를 유리화 할 수 있다. 즉, 분모와 분자에 그 켤레([[:en:Conjugate (algebra)|conjugate]])를 곱하여 분모를 유리수로 만들 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 수가 있다고 하자.
:<math>\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}</math>
이 경우 분모와 분자에 모두 <math>{\sqrt{3}-\sqrt{5}}</math>를 곱하여 해결한다. 그러므로
:<math>\frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{\sqrt{3}^2 - \sqrt{5}^2}= \frac{ 3 (\sqrt{3} - \sqrt{5} ) }{ 3 - 5 } = \frac{ 3( \sqrt{3}-\sqrt{5} )}{-2}</math>
=== 세 개 이상의 항이 있는 경우 ===
이 경우 두 개의 항을 하나의 항으로 보고 묶어서 계산할 수 있다. 다음의 예가 있다.
:<math>\frac{1}{1+\sqrt{2} + \sqrt{5}}</math>
이 경우 <math>1+\sqrt{2}</math>를 하나의 항으로 보고 계산한다. 즉,
:<math>\frac{1}{1+\sqrt{2} + \sqrt{5}} = \frac{1}{(1+\sqrt{2}) + \sqrt{5}} \cdot \frac{(1+\sqrt{2}) - \sqrt{5}}{(1+\sqrt{2}) - \sqrt{5}} = \frac{1+\sqrt{2} - \sqrt{5}}{(1+\sqrt{2})^2 - \sqrt{5}^2}</math>

:<math>\frac{1+\sqrt{2} - \sqrt{5}}{3+2\sqrt{2} - 5} = \frac{1+\sqrt{2} - \sqrt{5}}{-2+2\sqrt{2}}</math>
가 되므로 이 이후로는 이제 두 개의 항이 있는 경우와 동일하게 계산하면 된다.

또, <math>\sqrt{2}+\sqrt{5}</math>를 하나의 항으로 보고 계산할 수도 있다.

<math>\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{5}}</math><math>=\frac{1}{1+(\sqrt{2}+\sqrt{5})}\times \frac{1-(\sqrt{2}+\sqrt{5})}{1-(\sqrt{2}+\sqrt{5})}</math><math>=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{5}}{(1)^2-(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2}</math><math>=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{5}}{1-(2-2\sqrt{10}+5)}</math><math>=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{5}}{1-(7-2\sqrt{10})}</math><math>=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{5}}{1-7+2\sqrt{10}}</math><math>=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{5}}{-6+2\sqrt{10}}</math>.

=== 삼중근을 포함하는 경우 ===
분모에 삼중근을 포함하는 경우 <math>(a^2 + ab + b^2)(a - b) = a^3 - b^3</math>등 과 같은 다양한 인수분해 공식을 활용하여 공격할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 값이 주어져 있다고 하자.
:<math>\frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{3}}</math>
이 경우, 인수분해 공식을 활용하여 다음과 같이 계산한다.
:<math>\frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{2 - 3}=-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{9}</math>
위와 같이 계산된다.

{{토막글|대수학}}

[[분류:초등대수학]]
[[분류:분수]]